量子力学中的Gauss和与路径积分
我将为你讲解量子力学中的Gauss和与路径积分，这是计算路径积分时极为重要的一类可精确求解的模型。我将从最基础的概念出发，逐步深入。
第一步：路径积分的回顾与Gauss积分的核心作用
在量子力学中，Feynman路径积分表述认为，一个粒子从初始点\(q_i\) 在时间 \(T\) 后传播到末点 \(q_f\) 的概率振幅，等于对所有可能路径 \(q(t)\) 的贡献求和（积分）：
\[K(q_f, T; q_i, 0) = \int \mathcal{D}q(t) \ e^{\frac{i}{\hbar} S[q(t)]} \]
其中 \(S[q]\) 是经典作用量。绝大多数情况下，这个无穷维路径积分无法严格计算。然而，当作用量 \(S[q]\) 是路径 \(q(t)\) 的二次型（即“高斯型”）时，这个积分可以被严格、精确地求出。这是因为，类似于有限维的高斯积分，路径积分在这种情况下可以归结为计算一个“行列式”。量子力学中许多可解模型（如自由粒子、谐振子）都依赖于这个事实。
第二步：有限维Gauss积分的类比
为了理解路径积分，我们先看有限维的n维高斯积分：
\[\int_{\mathbb{R}^n} d^nx \ e^{-\frac{1}{2} x^T A x + J^T x} = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}} e^{\frac{1}{2} J^T A^{-1} J} \]
这里 \(A\) 是一个对称正定矩阵。这个结果有两个关键特征：1) 积分结果由被积函数在“临界点”（此处是\(x=0\)）的值主导；2) 结果精确地由 \(A\) 的行列式和逆矩阵给出，不依赖级数展开的截断。在量子力学的路径积分中，我们将面对无穷维版本的类似积分，其中矩阵 \(A\) 被一个微分算子取代。
第三步：从有限维到路径积分：二次型作用量的例子
考虑最常见且重要的例子：谐振子。其拉格朗日量为 \(L = \frac{m}{2} \dot{q}^2 - \frac{m\omega^2}{2} q^2\)，作用量 \(S[q]\) 是 \(q(t)\) 的二次泛函。我们考虑围绕经典路径 \(q_{cl}(t)\) 的涨落。令 \(q(t) = q_{cl}(t) + y(t)\)，其中 \(y(0)=y(T)=0\)。由于运动方程是线性的，作用量可以精确地分离为：
\[S[q] = S[q_{cl}] + S[y] \]
这里 \(S[y] = \int_0^T dt \frac{m}{2} (\dot{y}^2 - \omega^2 y^2)\) 是纯二次型。传播子的路径积分于是因式化为：
\[K = e^{\frac{i}{\hbar} S[q_{cl}]} \int_{y(0)=0}^{y(T)=0} \mathcal{D}y(t) \ e^{\frac{i}{\hbar} S[y]} \]
关键点在于，第二部分路径积分（涨落部分）与端点 \(q_i, q_f\) 无关，它只是一个依赖于 \(T, m, \omega\) 的函数 \(F(T)\)。这个积分正是我们要计算的“高斯型路径积分”。
第四步：高斯路径积分的计算：时间切片与泛函行列式
通过时间切片离散化，将路径 \(y(t)\) 在 \(N\) 个时刻取值 \(y_1, ..., y_{N-1}\)（端点固定为0）。作用量 \(S[y]\) 离散后是关于 \(y_k\) 的二次型：
\[S_{\text{dis}} = \frac{m}{2} \sum_{k, j} y_k A_{kj} y_j \]
其中 \(A\) 是一个 \((N-1)\times(N-1)\) 的三对角矩阵，它来源于对 \(\dot{y}^2\) 和 \(\omega^2 y^2\) 的离散近似。于是路径积分测度定义为 \(\mathcal{D}y \propto \prod_{k=1}^{N-1} dy_k\)，而离散路径积分成为一个有限维高斯积分：
\[\int \prod_{k} dy_k \ e^{\frac{i}{\hbar} S_{\text{dis}}} \propto \frac{1}{\sqrt{\det A}} \]
（注意这里有一个与 \(\hbar, m,\) 时间步长相关的归一化因子）。最终，取连续极限 \(N\to \infty\)，我们得到：
\[\int \mathcal{D}y(t) \ e^{\frac{i}{\hbar} S[y]} = \mathcal{N} \cdot \frac{1}{\sqrt{\det \mathcal{O}}} \]
这里 \(\mathcal{O}\) 是一个微分算子，由对 \(S[y]\) 的二阶变分给出：\(\mathcal{O} = -\frac{d^2}{dt^2} - \omega^2\)，作用在满足 \(y(0)=y(T)=0\) 的函数空间上。\(\mathcal{N}\) 是一个（通常无穷的）归一化常数，\(\det \mathcal{O}\) 是这个算子的泛函行列式。
第五步：计算泛函行列式：Gelfand-Yaglom方法
直接计算无穷维算子的行列式是困难的。一个优美的方法是Gelfand-Yaglom定理。它指出，对于算子 \(\mathcal{O} = -\frac{d^2}{dt^2} - V(t)\)，在 \(y(0)=0, y(T)=0\) 的边界条件下，其行列式（与自由粒子算子 \(\mathcal{O}_0 = -\frac{d^2}{dt^2}\) 的行列式相比）由以下公式给出：
\[\frac{\det \mathcal{O}}{\det \mathcal{O}_0} = \frac{\psi(T)}{\psi_0(T)} \]
其中 \(\psi(t)\) 是初值问题 \(\mathcal{O}\psi=0, \psi(0)=0, \psi'(0)=1\) 的解；\(\psi_0(t)\) 是对应 \(V=0\) 的类似解（对自由粒子，\(\psi_0(t)=t\)）。对于谐振子，方程 \((-\frac{d^2}{dt^2} - \omega^2)\psi=0\) 的解满足 \(\psi(0)=0, \psi'(0)=1\) 的是 \(\psi(t) = \frac{\sin(\omega t)}{\omega}\)。因此，
\[\frac{\det \mathcal{O}_{\text{SHO}}}{\det \mathcal{O}_0} = \frac{\sin(\omega T)/\omega}{T} = \frac{\sin(\omega T)}{\omega T} \]
结合自由粒子的已知结果，我们可以精确得到谐振子的涨落行列式，进而得到完整的传播子：
\[K_{\text{SHO}} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i \hbar \sin(\omega T)}} \ e^{\frac{i}{\hbar} S[q_{cl}]} \]
这个精确解完美地展示了高斯路径积分（此处为谐振子）的可解性。
第六步：Gauss和与路径积分的深层联系
“Gauss和”本身是一个数论概念，形如 \(\sum_{n} e^{i\pi n^2 / N}\)。它与路径积分的联系出现在有限时间间隔的周期路径积分或量子统计力学（虚时间形式） 中。例如，在计算谐振子的配分函数 \(Z(\beta) = \text{Tr} e^{-\beta H}\) 时，通过路径积分表述，这等价于计算在虚时间 \(\tau = it\) 上、具有周期边界条件 \(q(0)=q(\beta\hbar)\) 的路径积分。此时作用量在欧几里得形式下是正定的二次型：
\[S_E[q] = \int_0^{\beta\hbar} d\tau \left[ \frac{m}{2} \dot{q}^2 + \frac{m\omega^2}{2} q^2 \right] \]
这个路径积分仍然是高斯型的。其计算最终归结为对算子的本征值的乘积（即行列式）的求和，而这个求和结果（配分函数 \(Z(\beta) = \frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)}\) ）的展开式具有类似Gauss和的结构——离散的能级求和与连续的路径积分表示通过泊松求和公式相联系，这深刻地反映了量子与经典、离散与连续之间的对偶性。在更复杂的场合（如规范理论在环面上），路径积分的计算直接约化为经典的Gauss和，这体现了数论结构在量子物理中的涌现。
总结来说，量子力学中的Gauss和与路径积分的核心思想是：当作用量为路径的二次型时，无穷维的路径积分可以严格计算，其结果由经典作用量和一个由微分算子行列式给出的涨落因子构成。这种可积性为量子力学、量子场论和统计物理中的精确解提供了基石，并揭示了物理与数学（特别是泛函分析和数论）之间的深刻联系。