远期风险中性（Forward Risk Neutral）
让我们从最直观的金融交易——远期合约——开始，逐步深入到远期风险中性测度这个重要的理论概念。
第一步：从远期合约到远期价格
设想你需要在一年后买入一桶原油。为了避免未来价格波动的风险，你可以今天与对手方签订一个远期合约。这个合约规定，在一年后，无论当时市场价格是多少，你都将以合约中约定的价格（称为远期价格）买入这桶油。问题是，这个远期价格在今天该如何公平地确定？
一个经典的定价方式是“持有成本模型”。如果原油的当前现货价格是 \(S_0\)，储存一年的成本是 \(C\)，资金利率是 \(r\)，那么理论上，远期价格 \(F_0\) 应满足：
\[F_0 = S_0 e^{rT} + \text{持有成本现值} \]
这确保了无套利机会。但更关键的是，这个远期价格 \(F_0\) 可以被视为资产在未来时间 \(T\) 的期望价格吗？在现实世界中，由于风险偏好，直接期望可能不等于 \(F_0\)。这就引出了测度（衡量概率的方式）的问题。
第二步：重温风险中性定价与测度变换
在经典的风险中性定价中，我们有一个核心结论：任何资产的当前价格，等于其未来收益的期望值按无风险利率贴现。数学上，对于一个到期日为 \(T\) 的收益 \(V_T\)，有：
\[V_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T] \]
这里 \(\mathbb{Q}\) 就是我们熟知的**（即期）风险中性测度**。在这个测度下，所有资产（无论风险多高）的期望收益率都等于无风险利率 \(r\)。贴现因子 \(e^{-rT}\) 是从未来时刻 \(T\) 折现回当前时刻 0。
但考虑一个特殊的资产：零息债券。设 \(P(t, T)\) 为在 \(t\) 时刻价值1元的 \(T\) 时刻到期的零息债券价格。显然，\(P(T, T) = 1\)。在风险中性测度下，它的当前价格是 \(P(0, T) = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[1] = e^{-rT}\)。这个关系看似平常，却蕴含着一次重要的“视角转换”。
第三步：引入“远期测度”的直观想法
现在，我们把上面的定价公式变个形。两边同时除以 \(P(0, T)\) （即乘以 \(e^{rT}\)）：
\[\frac{V_0}{P(0, T)} = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T] \]
等式左边 \(V_0 / P(0, T)\) 是什么？它正是将资产当前价值 \(V_0\) 以零息债券为计价单位（Numeraire）表示的数量。因为 \(P(0, T)\) 是“今天购买1元未来货币”的成本。换句话说，它衡量的是“用未来T时刻的1元钱作为标尺，今天这个资产值多少未来元”。
这启发我们：如果选择零息债券 \(P(t, T)\) 作为计价单位，那么在对应的新测度下，任何资产以这个计价单位表示的价格过程，会是一个鞅（即未来期望等于当前值）。这个新的测度就叫做 T-远期测度，记作 \(\mathbb{Q}^T\)。
第四步：定义与核心定价公式
于是，在 \(T\)-远期测度 \(\mathbb{Q}^T\) 下，对于任意资产在 \(T\) 时刻的收益 \(V_T\)，其定价公式变得异常简洁：
\[V_0 = P(0, T) \cdot \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}[V_T] \]
解读：资产今天的价值，等于其在T时刻的收益的期望值（注意，期望是在远期测度 \(\mathbb{Q}^T\) 下计算的），再乘以从今天到T时刻的贴现因子（即零息债券价格 \(P(0, T)\)）。这里的关键是，期望和贴现分离了：贴现使用确定的债券价格，而期望操作在新的概率测度下进行。
这个测度为什么叫“远期风险中性”？因为在它下面对资产价格 \(V_t\) 进行期望时，有这样一个漂亮的性质：
\[\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}[V_T] = F_0 \]
其中 \(F_0\) 正是该资产在时间 \(T\) 到期的远期价格。也就是说，在 \(\mathbb{Q}^T\) 测度下，资产在未来 \(T\) 时刻的价格的期望值，恰好等于今天市场约定的远期价格。它为我们提供了一个直接对“远期价格”本身进行建模和计算的概率框架。
第五步：核心性质与应用场景
- 远期价格是鞅：在 \(\mathbb{Q}^T\) 下，资产的远期价格过程 \(F(t, T) = V_t / P(t, T)\) 是一个鞅。这意味着 \(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}[F(T, T)] = F(0, T)\)。由于 \(F(T, T)\) 就是到期时的现货价格 \(S_T\)，所以 \(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}[S_T] = F(0, T)\)。这正是我们之前提到的直观解释。
- 在利率衍生品定价中至关重要：这是远期测度最强大、最常用的领域。考虑一个基于LIBOR利率的利率上限（Caplet）。它的收益发生在时间 \(T_2\)，但取决于在 \(T_1\) 时刻观察到的 \(T_1\) 到 \(T_2\) 期间的LIBOR利率 \(L(T_1, T_2)\)（其中 \(T_1 < T_2\)）。
- 在经典的（即期）风险中性测度 \(\mathbb{Q}\) 下定价很复杂，因为贴现因子和利率本身是相关的，计算期望困难。
- 如果我们选择到期日为 \(T_2\) 的零息债券 \(P(t, T_2)\) 作为计价单位，切换到 \(T_2\)-远期测度 \(\mathbb{Q}^{T_2}\) 下，奇迹发生了。可以证明，LIBOR利率 \(L(t, T_1, T_2)\) 在 \(\mathbb{Q}^{T_2}\) 下是一个鞅。这使得我们可以方便地对它建模（例如，假设它服从对数正态分布，即Black模型），然后直接计算期望：
\[ \text{Caplet价值} = P(0, T_2) \cdot \tau \cdot \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_2}}[\max(L(T_1, T_2) - K, 0)] \]
这个期望就是一个标准的布莱克期权公式，定价变得极其简单。
第六步：总结与比较
让我们将三个关键测度放在一起比较，以巩固理解：
| 测度 | 计价单位 (Numeraire) | 核心定价公式 | 主要应用场景 |
|---|---|---|---|
| 现实世界测度 (\(\mathbb{P}\)) | 现金（货币） | 不直接用于定价 | 历史数据分析，风险管理 |
| (即期)风险中性测度 (\(\mathbb{Q}\)) | 货币市场账户 \(B_t = e^{rt}\) | \(V_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T]\) | 股票期权等简单衍生品 |
| T-远期风险中性测度 (\(\mathbb{Q}^T\)) | 零息债券 \(P(t, T)\) | \(V_0 = P(0, T)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}[V_T]\) | 利率衍生品、涉及未来多个现金流的产品 |
核心思想升华：远期风险中性测度是一种“视角切换”的数学工具。它通过巧妙地改变我们用来衡量价值的“标尺”（从不断增长的资金账户换成特定到期的零息债券），将复杂的、存在相关性的随机贴现问题，转化为在一个新的、更便利的概率世界下计算简单期望的问题。 这种变换是现代金融工程，特别是利率模型（如LIBOR市场模型）和通胀衍生品定价的基石。