分析学词条：费耶尔核与费耶尔求和

字数 2125 2025-12-14 14:27:13

分析学词条：费耶尔核与费耶尔求和

我们先从傅里叶级数的收敛性问题开始。对于一个在 \([0, 2\pi]\) 上可积的周期函数 \(f\)，其傅里叶级数 \(S_n f(x) = \sum_{k=-n}^{n} \hat{f}(k) e^{ikx}\) 可能不逐点收敛到 \(f(x)\)。费耶尔提出了一种通过“算术平均”来改善收敛性的强大方法。

第一步：从部分和到算术平均
傅里叶级数的第 \(n\) 项部分和 \(S_n f(x)\) 可以写成卷积形式：

\[S_n f(x) = (D_n * f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(x-t) \, dt \]

其中 \(D_n(\theta) = \frac{\sin((n+\frac{1}{2})\theta)}{\sin(\theta/2)}\) 是狄利克雷核。狄利克雷核不是非负的，这导致了收敛的困难。

费耶尔的突破性想法是：考虑前 \(n+1\) 个部分和的算术平均（即费耶尔和）：

\[\sigma_N f(x) = \frac{S_0 f(x) + S_1 f(x) + \dots + S_{N} f(x)}{N+1} \]

这个平均过程具有平滑效应。

第二步：费耶尔核的推导与性质
将部分和表达式代入平均公式，可得：

\[\sigma_N f(x) = (F_N * f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) F_N(x-t) \, dt \]

这里的积分核 \(F_N(\theta)\) 称为费耶尔核。通过计算（利用狄利克雷核的表达式及等比数列求和），可得到其显式公式：

\[F_N(\theta) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2\left( \frac{(N+1)\theta}{2} \right)}{\sin^2\left( \frac{\theta}{2} \right)} \]

费耶尔核具有三个关键性质，使其比狄利克雷核“更好”：

非负性：对任意 \(\theta\)，有 \(F_N(\theta) \ge 0\)。
归一性：\(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F_N(\theta) \, d\theta = 1\)。
凝聚性：对于任意固定的 \(\delta > 0\)，当 \(|\theta| \ge \delta\) 时，有 \(F_N(\theta) \to 0\) 一致成立（当 \(N \to \infty\)）。

这些性质使得 \(F_N\) 成为一个“逼近恒等”的核函数。

第三步：费耶尔定理
利用上述核函数的性质，可以证明费耶尔的主要定理：

定理（费耶尔，1904）：设 \(f\) 是周期为 \(2\pi\) 的连续函数，则其费耶尔和 \(\sigma_N f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致收敛到 \(f\)。即：

\[ \lim_{N \to \infty} \| \sigma_N f - f \|_{\infty} = 0 \]

更一般地，若 \(f\) 在点 \(x\) 处连续，则 \(\sigma_N f(x) \to f(x)\)；若 \(f\) 是勒贝格可积的，则其费耶尔和在 \(L^1\) 范数下收敛到 \(f\)。

证明思路是标准而优美的：利用核的归一性，将差 \(|\sigma_N f(x) - f(x)|\) 写为积分 \(\frac{1}{2\pi} \int |f(x-t)-f(x)| F_N(t) \, dt\)。由 \(f\) 在 \(x\) 点的连续性，对于 \(|t|\) 小的部分，积分可以控制；对于 \(|t|\) 大的部分，利用 \(f\) 的有界性和 \(F_N\) 在远离原点处的衰减性控制。一致连续性和一致收敛性由此可得。

第四步：重要意义与应用

逼近论：费耶尔定理是魏尔斯特拉斯逼近定理在三角多项式情形的一个构造性证明。它表明任何连续周期函数都可以用三角多项式（即费耶尔和）一致逼近。
傅里叶级数的可和性：它确立了傅里级数的**(C,1) 求和法**（第一种切萨罗平均）。即使傅里叶级数本身发散，其费耶尔和仍可能收敛到函数值，这极大地扩展了傅里叶分析的适用范围。
存在性证明：费耶尔核是证明许多分析学基本定理的有力工具。例如，可以用于构造一个连续函数，其傅里叶级数在某个给定点发散（通过与一致收敛性矛盾来证明存在性）。
到高维与其它群的推广：费耶尔求和的理念可以推广到高维环面、球面以及其他紧致群上，是调和分析中研究傅里叶级数或级数收敛性的基本技术之一。

总结来说，费耶尔核是一个构造精巧的非负积分核，由其定义的费耶尔求和通过算术平均的平滑作用，克服了傅里叶级数逐点收敛的困难，为连续函数的三角多项式逼近提供了一个强大、直观且广泛适用的工具。

分析学词条：费耶尔核与费耶尔求和我们先从傅里叶级数的收敛性问题开始。对于一个在 \([ 0, 2\pi]\) 上可积的周期函数 \(f\)，其傅里叶级数 \(S_ n f(x) = \sum_ {k=-n}^{n} \hat{f}(k) e^{ikx}\) 可能不逐点收敛到 \(f(x)\)。费耶尔提出了一种通过“算术平均”来改善收敛性的强大方法。第一步：从部分和到算术平均傅里叶级数的第 \(n\) 项部分和 \(S_ n f(x)\) 可以写成卷积形式： \[ S_ n f(x) = (D_ n * f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(t) D_ n(x-t) \, dt \] 其中 \(D_ n(\theta) = \frac{\sin((n+\frac{1}{2})\theta)}{\sin(\theta/2)}\) 是狄利克雷核。狄利克雷核不是非负的，这导致了收敛的困难。费耶尔的突破性想法是：考虑前 \(n+1\) 个部分和的算术平均（即费耶尔和）： \[ \sigma_ N f(x) = \frac{S_ 0 f(x) + S_ 1 f(x) + \dots + S_ {N} f(x)}{N+1} \] 这个平均过程具有平滑效应。第二步：费耶尔核的推导与性质将部分和表达式代入平均公式，可得： \[ \sigma_ N f(x) = (F_ N * f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(t) F_ N(x-t) \, dt \] 这里的积分核 \(F_ N(\theta)\) 称为费耶尔核。通过计算（利用狄利克雷核的表达式及等比数列求和），可得到其显式公式： \[ F_ N(\theta) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2\left( \frac{(N+1)\theta}{2} \right)}{\sin^2\left( \frac{\theta}{2} \right)} \] 费耶尔核具有三个关键性质，使其比狄利克雷核“更好”：非负性：对任意 \(\theta\)，有 \(F_ N(\theta) \ge 0\)。归一性：\(\frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} F_ N(\theta) \, d\theta = 1\)。凝聚性：对于任意固定的 \(\delta > 0\)，当 \(|\theta| \ge \delta\) 时，有 \(F_ N(\theta) \to 0\) 一致成立（当 \(N \to \infty\)）。这些性质使得 \(F_ N\) 成为一个“逼近恒等”的核函数。第三步：费耶尔定理利用上述核函数的性质，可以证明费耶尔的主要定理：定理（费耶尔，1904）：设 \(f\) 是周期为 \(2\pi\) 的连续函数，则其费耶尔和 \(\sigma_ N f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致收敛到 \(f\)。即： \[ \lim_ {N \to \infty} \| \sigma_ N f - f \|_ {\infty} = 0 \] 更一般地，若 \(f\) 在点 \(x\) 处连续，则 \(\sigma_ N f(x) \to f(x)\)；若 \(f\) 是勒贝格可积的，则其费耶尔和在 \(L^1\) 范数下收敛到 \(f\)。证明思路是标准而优美的：利用核的归一性，将差 \(|\sigma_ N f(x) - f(x)|\) 写为积分 \( \frac{1}{2\pi} \int |f(x-t)-f(x)| F_ N(t) \, dt \)。由 \(f\) 在 \(x\) 点的连续性，对于 \(|t|\) 小的部分，积分可以控制；对于 \(|t|\) 大的部分，利用 \(f\) 的有界性和 \(F_ N\) 在远离原点处的衰减性控制。一致连续性和一致收敛性由此可得。第四步：重要意义与应用逼近论：费耶尔定理是魏尔斯特拉斯逼近定理在三角多项式情形的一个构造性证明。它表明任何连续周期函数都可以用三角多项式（即费耶尔和）一致逼近。傅里叶级数的可和性：它确立了傅里级数的** (C,1) 求和法** （第一种切萨罗平均）。即使傅里叶级数本身发散，其费耶尔和仍可能收敛到函数值，这极大地扩展了傅里叶分析的适用范围。存在性证明：费耶尔核是证明许多分析学基本定理的有力工具。例如，可以用于构造一个连续函数，其傅里叶级数在某个给定点发散（通过与一致收敛性矛盾来证明存在性）。到高维与其它群的推广：费耶尔求和的理念可以推广到高维环面、球面以及其他紧致群上，是调和分析中研究傅里叶级数或级数收敛性的基本技术之一。总结来说，费耶尔核是一个构造精巧的非负积分核，由其定义的费耶尔求和通过算术平均的平滑作用，克服了傅里叶级数逐点收敛的困难，为连续函数的三角多项式逼近提供了一个强大、直观且广泛适用的工具。