数学课程设计中的数学对象多元表象互译能力培养
字数 2781 2025-12-14 13:17:30

数学课程设计中的数学对象多元表象互译能力培养

数学对象多元表象互译能力，是指学生在面对同一个数学对象（如概念、关系、问题）时，能够在其不同的外部表征形式（如图形、符号、文字、表格、实物等）之间进行灵活、准确的理解、转换和翻译，并能利用不同表征的优势来深化理解和解决问题的综合能力。这是数学深度理解与灵活应用的核心标志之一。下面，我将为你循序渐进地、细致地拆解这个概念及其培养路径。

第一步：理解“数学对象”与“多元表象”的内涵

  1. 数学对象：这是数学研究或学习的基本“实体”，它可以非常具体，也可以非常抽象。例如：

    • 具体概念：一个数字“5”、一个三角形、一个函数 f(x)=x²。
    • 抽象概念：加法运算、极限思想、向量空间。
    • 关系或情境：一个行程问题、一个概率模型、一个几何证明。

  2. 多元表象：指同一个数学对象可以有多种不同的、但相互联系的表达或呈现方式。常见的五种核心表象包括：

    • 情境表象：用一段现实生活或故事性语言描述的问题情境。例如：“小明以恒定速度步行去学校...”。
    • 操作/实物表象：用具体物品、动作或过程来体现。例如：用数小棒来演示加法，用折纸来理解对称。
    • 图形/图像表象：用图表、图形、图像来表示。例如：函数图像、几何图形、统计条形图、思维导图。
    • 符号表象：用数学符号、公式、代数式来表达。例如：v=s/t，y=ax+b，△ABC≌△DEF。
    • 语言/文字表象：用日常或数学专业语言进行描述、定义或解释。例如：“速度等于路程除以时间”，“函数在某点的导数反映了其瞬时变化率”。

关键点：多元表象不是孤立的，它们共同指向同一个数学本质。学生必须认识到这一点。

第二步：明确“互译”能力的具体表现与认知过程

“互译”不是简单的、表层的对应，而是一个深刻的认知转换过程。它体现在以下几个层面：

  1. 识别与理解：能够识别同一对象在不同表象下的呈现，并理解每种表象所传达的数学信息。例如，看到二次函数 f(x)=x²-4x+3 的解析式，能想象出它是一条开口向上的抛物线。
  2. 转译与生成：能够主动将一种表象转换成另一种表象。这分为两种：
    • 单向转译：如将文字应用题“转化”为方程（情境→符号），或根据函数解析式“画出”其图像（符号→图形）。
    • 双向/多向转译：能在多种表象间自由切换。例如，看到函数图像，能说出其可能的情境意义，也能写出大致的解析式。
  3. 关联与整合：能够比较不同表象的异同，理解它们之间的互补性。例如，明白函数图像（图形）直观显示了趋势和关键点，而解析式（符号）则给出了精确的计算依据，两者结合才能全面把握函数性质。
  4. 选择与应用：在解决问题时，能够根据问题特点和解决需求，选择最合适、最高效的表象进行思考和操作，并能将不同表象中的信息综合起来推进解决过程。

第三步：构建在课程设计中培养此项能力的具体教学路径

这是一个循序渐进、螺旋上升的设计过程。

阶段一：奠基与感知（低年级/新概念引入）

  • 目标：让学生充分接触、感知同一数学对象的各种不同表象形式，建立初步的对应联系。
  • 教学策略：
    • 多元呈现：在引入一个新概念（如“分数1/2”）时，同时或相继呈现其多种表象：分蛋糕的图片（图形/情境），平均分成两份的折纸操作（操作），符号“1/2”，以及语言描述“一个整体被平均分成两份，取其中的一份”。
    • 匹配活动：设计活动让学生将同一概念的不同表象卡片进行匹配。例如，将“3+2=5”的算式卡，与“左边3个苹果，右边2个苹果，一共5个苹果”的图片卡配对。
    • 简单描述：鼓励学生用自己（不要求精确）的语言描述他们在实物或图形中看到的数学关系。

阶段二：转译与联系（中年级/概念深化）

  • 目标：训练学生在两种或三种常用表象之间进行有目的的转换，并理解不同表象的优缺点。
  • 教学策略：
    • 定向转译任务：明确提出转译要求。如：“请将这个行程问题的文字描述，用线段图表示出来”（情境→图形），“请根据这个统计表，绘制成折线图”（表格→图形），“请用字母和式子表示下面图形的面积计算公式”（图形→符号）。
    • 对比讨论：展示同一问题的不同表征解法，引导学生讨论：“用方程解和用线段图解，各有什么优点？你更喜欢哪一种？为什么？” 这有助于他们理解表象的工具性。
    • 填空与补全：设计不完整的表征，让学生补全。例如，给出函数图像的一部分和部分性质描述，让学生补全解析式或情境。

阶段三：整合与灵活运用（高年级/综合应用）

  • 目标：培养学生根据情境和任务需求，主动、灵活地在多种表象间切换和整合，以支持复杂推理和问题解决。
  • 教学策略：
    • 多重表征问题解决：设计必须运用多种表征才能有效解决的复杂问题。例如，一个涉及函数最值的优化问题，可能需要经历：阅读文字理解情境（情境）→ 建立函数模型（符号）→ 绘制草图分析趋势（图形）→ 代数求解（符号）→ 回到情境解释答案（语言）。
    • 表征策略自评：在解决问题后，要求学生反思：“我使用了哪几种方式来思考这个问题？（如画图、列表、列方程）哪种方式对我的帮助最大？为什么？”
    • 论证与交流：要求学生不仅给出答案，还要用多种方式解释自己的思路。例如，证明几何定理时，既要写出严谨的演绎步骤（符号/语言），也鼓励辅以直观的图形标记（图形），并向同伴解释其逻辑（语言）。
    • 技术工具整合：利用动态几何软件、图形计算器等，实时展示当改变一个参数（符号变化）时，图形如何同步变化（图形变化），实现符号与图形表象的动态、可视互译，深化对两者内在联系的理解。

第四步：课程设计中的关键原则与注意事项

  1. 明确性：教师在设计活动时，自己必须明确每个任务旨在训练哪种或哪几种表象间的互译，并清晰地传达给学生。
  2. 渐进性：从两两互译（如图形-符号）开始，逐步过渡到多表象网络。从具体、熟悉的对象开始，过渡到抽象对象。
  3. 反思性：必须设计反思环节，引导学生思考不同表象之间的联系、差异和各自的作用，避免机械转换。这是培养“元表征意识”的关键。
  4. 容错性：在互译过程中，学生可能出现信息丢失、误解或产生不准确的表征。应将此视为有价值的诊断信息和教学契机，通过讨论和比较来纠正和深化理解。
  5. 整合于常态教学：此项能力的培养不应是孤立的专项训练，而应有机融入数与代数、图形与几何、统计与概率等所有领域的日常教学和问题解决之中。

总结：培养“数学对象多元表象互译能力”，本质上是帮助学生构建关于数学概念的、丰富的、相互联系的认知网络。一个能熟练进行多元表象互译的学生，意味着他对数学概念的理解是深刻的、灵活的和稳固的，他能从不同角度审视问题，并选择最有利的工具进行思考，这是通向数学精熟之路的重要桥梁。课程设计的核心，就是有意识、有结构地创造机会，引导和支撑学生完成从“感知多种形式”，到“练习相互转换”，再到“主动整合运用”的能力发展历程。

数学课程设计中的数学对象多元表象互译能力培养 数学对象多元表象互译能力，是指学生在面对同一个数学对象（如概念、关系、问题）时，能够在其不同的外部表征形式（如图形、符号、文字、表格、实物等）之间进行灵活、准确的理解、转换和翻译，并能利用不同表征的优势来深化理解和解决问题的综合能力。这是数学深度理解与灵活应用的核心标志之一。下面，我将为你循序渐进地、细致地拆解这个概念及其培养路径。 第一步：理解“数学对象”与“多元表象”的内涵 数学对象 ：这是数学研究或学习的基本“实体”，它可以非常具体，也可以非常抽象。例如： 具体概念 ：一个数字“5”、一个三角形、一个函数 f(x)=x²。 抽象概念 ：加法运算、极限思想、向量空间。 关系或情境 ：一个行程问题、一个概率模型、一个几何证明。 多元表象 ：指同一个数学对象可以有多种不同的、但相互联系的表达或呈现方式。常见的五种核心表象包括： 情境表象 ：用一段现实生活或故事性语言描述的问题情境。例如：“小明以恒定速度步行去学校...”。 操作/实物表象 ：用具体物品、动作或过程来体现。例如：用数小棒来演示加法，用折纸来理解对称。 图形/图像表象 ：用图表、图形、图像来表示。例如：函数图像、几何图形、统计条形图、思维导图。 符号表象 ：用数学符号、公式、代数式来表达。例如：v=s/t，y=ax+b，△ABC≌△DEF。 语言/文字表象 ：用日常或数学专业语言进行描述、定义或解释。例如：“速度等于路程除以时间”，“函数在某点的导数反映了其瞬时变化率”。 关键点 ：多元表象不是孤立的，它们共同指向同一个数学本质。学生必须认识到这一点。 第二步：明确“互译”能力的具体表现与认知过程 “互译”不是简单的、表层的对应，而是一个深刻的认知转换过程。它体现在以下几个层面： 识别与理解 ：能够识别同一对象在不同表象下的呈现，并理解每种表象所传达的数学信息。例如，看到二次函数 f(x)=x²-4x+3 的解析式，能想象出它是一条开口向上的抛物线。 转译与生成 ：能够主动将一种表象转换成另一种表象。这分为两种： 单向转译 ：如将文字应用题“转化”为方程（情境→符号），或根据函数解析式“画出”其图像（符号→图形）。 双向/多向转译 ：能在多种表象间自由切换。例如，看到函数图像，能说出其可能的情境意义，也能写出大致的解析式。 关联与整合 ：能够比较不同表象的异同，理解它们之间的互补性。例如，明白函数图像（图形）直观显示了趋势和关键点，而解析式（符号）则给出了精确的计算依据，两者结合才能全面把握函数性质。 选择与应用 ：在解决问题时，能够根据问题特点和解决需求，选择最合适、最高效的表象进行思考和操作，并能将不同表象中的信息综合起来推进解决过程。 第三步：构建在课程设计中培养此项能力的具体教学路径 这是一个循序渐进、螺旋上升的设计过程。 阶段一：奠基与感知（低年级/新概念引入） 目标 ：让学生充分接触、感知同一数学对象的各种不同表象形式，建立初步的对应联系。 教学策略 ： 多元呈现 ：在引入一个新概念（如“分数1/2”）时，同时或相继呈现其多种表象：分蛋糕的图片（图形/情境），平均分成两份的折纸操作（操作），符号“1/2”，以及语言描述“一个整体被平均分成两份，取其中的一份”。 匹配活动 ：设计活动让学生将同一概念的不同表象卡片进行匹配。例如，将“3+2=5”的算式卡，与“左边3个苹果，右边2个苹果，一共5个苹果”的图片卡配对。 简单描述 ：鼓励学生用自己（不要求精确）的语言描述他们在实物或图形中看到的数学关系。 阶段二：转译与联系（中年级/概念深化） 目标 ：训练学生在两种或三种常用表象之间进行有目的的转换，并理解不同表象的优缺点。 教学策略 ： 定向转译任务 ：明确提出转译要求。如：“请将这个行程问题的文字描述，用线段图表示出来”（情境→图形），“请根据这个统计表，绘制成折线图”（表格→图形），“请用字母和式子表示下面图形的面积计算公式”（图形→符号）。 对比讨论 ：展示同一问题的不同表征解法，引导学生讨论：“用方程解和用线段图解，各有什么优点？你更喜欢哪一种？为什么？” 这有助于他们理解表象的工具性。 填空与补全 ：设计不完整的表征，让学生补全。例如，给出函数图像的一部分和部分性质描述，让学生补全解析式或情境。 阶段三：整合与灵活运用（高年级/综合应用） 目标 ：培养学生根据情境和任务需求，主动、灵活地在多种表象间切换和整合，以支持复杂推理和问题解决。 教学策略 ： 多重表征问题解决 ：设计必须运用多种表征才能有效解决的复杂问题。例如，一个涉及函数最值的优化问题，可能需要经历：阅读文字理解情境（情境）→ 建立函数模型（符号）→ 绘制草图分析趋势（图形）→ 代数求解（符号）→ 回到情境解释答案（语言）。 表征策略自评 ：在解决问题后，要求学生反思：“我使用了哪几种方式来思考这个问题？（如画图、列表、列方程）哪种方式对我的帮助最大？为什么？” 论证与交流 ：要求学生不仅给出答案，还要用多种方式解释自己的思路。例如，证明几何定理时，既要写出严谨的演绎步骤（符号/语言），也鼓励辅以直观的图形标记（图形），并向同伴解释其逻辑（语言）。 技术工具整合 ：利用动态几何软件、图形计算器等，实时展示当改变一个参数（符号变化）时，图形如何同步变化（图形变化），实现符号与图形表象的动态、可视互译，深化对两者内在联系的理解。 第四步：课程设计中的关键原则与注意事项 明确性 ：教师在设计活动时，自己必须明确每个任务旨在训练哪种或哪几种表象间的互译，并清晰地传达给学生。 渐进性 ：从两两互译（如图形-符号）开始，逐步过渡到多表象网络。从具体、熟悉的对象开始，过渡到抽象对象。 反思性 ：必须设计反思环节，引导学生思考不同表象之间的联系、差异和各自的作用，避免机械转换。这是培养“元表征意识”的关键。 容错性 ：在互译过程中，学生可能出现信息丢失、误解或产生不准确的表征。应将此视为有价值的诊断信息和教学契机，通过讨论和比较来纠正和深化理解。 整合于常态教学 ：此项能力的培养不应是孤立的专项训练，而应有机融入数与代数、图形与几何、统计与概率等所有领域的日常教学和问题解决之中。 总结 ：培养“数学对象多元表象互译能力”，本质上是帮助学生构建关于数学概念的、丰富的、相互联系的认知网络。一个能熟练进行多元表象互译的学生，意味着他对数学概念的理解是深刻的、灵活的和稳固的，他能从不同角度审视问题，并选择最有利的工具进行思考，这是通向数学精熟之路的重要桥梁。课程设计的核心，就是有意识、有结构地创造机会，引导和支撑学生完成从“感知多种形式”，到“练习相互转换”，再到“主动整合运用”的能力发展历程。