模的Bass数
字数 2749 2025-12-14 12:17:26

模的Bass数

我们首先从基础的模论概念开始。设 \(R\) 是一个环（通常假设是交换诺特环），\(M\) 是一个 \(R\)-模。为了理解模的精细结构，同调代数提供了一系列不变量，其中“Bass数”就是一种用于刻画模的局部性质的数值不变量，它与模的内射维数和深度紧密相关。

第一步：回顾局部环、正则序列与深度
为了定义Bass数，需要一个局部性环境。设 \((R, \mathfrak{m}, k)\) 是一个交换诺特局部环，其中 \(\mathfrak{m}\) 是极大理想，\(k = R/\mathfrak{m}\) 是剩余域。对于一个有限生成的 \(R\)-模 \(M\)，其“深度”定义为 \(M\) 中极大正则序列的长度。更具体地说，一个序列 \(x_1, \dots, x_r \in \mathfrak{m}\) 称为 \(M\)-正则序列，如果：

  1. 对每个 \(i\)， \(x_i\) 不是 \(M/(x_1, \dots, x_{i-1})M\) 的零因子。
  2. \(M \neq (x_1, \dots, x_r)M\)。
    深度记为 \(\text{depth}_R(M)\)，满足 \(0 \le \text{depth}_R(M) \le \dim R\)。深度反映了模“距离”为一个自由模的程度，是衡量奇点性的重要指标。

第二步：内射维数与内射分解
一个 \(R\)-模 \(I\) 是内射的，如果对任意单射同态 \(N \to L\) 和同态 \(N \to I\)，存在同态 \(L \to I\) 使得图表交换。每个模 \(M\) 都有一个“内射分解”，即一个正合列

\[0 \to M \to I^0 \to I^1 \to I^2 \to \cdots \]

其中每个 \(I^j\) 是内射模。如果这个正合列在有限步后由内射模组成，则最短的长度称为 \(M\) 的“内射维数”，记为 \(\text{injdim}_R(M)\)。在局部环上，有限生成模的内射维数要么无限，要么至多为环的维数。

第三步：Ext函子与Bass数的定义
回顾 \(\text{Ext}^i_R(N, M)\) 是同调代数中的导出函子，可以通过对 \(N\) 取投射分解或对 \(M\) 取内射分解计算。对于局部环 \((R, \mathfrak{m}, k)\) 和有限生成 \(R\)-模 \(M\)，Bass数的定义依赖于用剩余域 \(k\) 来探测 \(M\) 的结构。
对每个非负整数 \(i\)，模 \(M\) 的第 \(i\) 个Bass数 \(\mu^i(\mathfrak{m}, M)\) 定义为：

\[\mu^i(\mathfrak{m}, M) := \dim_k \text{Ext}^i_R(k, M)。 \]

也就是说，我们计算函子 \(\text{Hom}_R(k, -)\) 的第 \(i\) 个右导出函子作用在 \(M\) 上，并取其作为 \(k\)-向量空间的维数。因为 \(k = R/\mathfrak{m}\) 是一个 \(R\)-模，这些Ext群是有限维的 \(k\)-向量空间，所以Bass数是有限数（或零）。

第四步：Bass数的解释与性质

  1. 与内射分解的关系：考虑 \(M\) 的一个极小内射分解

\[0 \to M \to I^0 \to I^1 \to I^2 \to \cdots。 \]

“极小”意味着每个同态 \(I^j \to I^{j+1}\) 的像包含在 \(\mathfrak{m} I^{j+1}\) 中。可以证明，在第 \(j\) 项的内射模 \(I^j\) 中，与极大理想 \(\mathfrak{m}\) 对应的内射包 \(E_R(k)\)（即剩余域的内射包）出现的直和项个数恰好是 \(\mu^j(\mathfrak{m}, M)\)。换言之，\(I^j \cong E_R(k)^{\mu^j(\mathfrak{m}, M)} \oplus (\text{其他项})\)。因此，Bass数记录了极小内射分解的“形状”。

  1. 与深度和内射维数的联系：

    • 深度为零 (\(\text{depth}(M)=0\)) 当且仅当 \(\mathfrak{m}\) 是 \(M\) 的关联素理想，这等价于 \(\mu^0(\mathfrak{m}, M) \neq 0\)。
    • 更一般地，深度可以定义为满足 \(\mu^i(\mathfrak{m}, M) = 0\) 的最小整数 \(i\)。也就是说，\(\text{depth}_R(M) = \min\{ i \ge 0 \mid \mu^i(\mathfrak{m}, M) \ne 0 \}\)。
    • 如果 \(M\) 的内射维数 \(d = \text{injdim}_R(M)\) 有限，则 \(\mu^i(\mathfrak{m}, M)=0\) 对所有 \(i > d\) 成立，且 \(\mu^d(\mathfrak{m}, M) \neq 0\)。实际上，在科恩-麦考利（Cohen-Macaulay）环的情况下，这个 \(d\) 正好是环的维数与模的深度之差。

  2. 对偶性：在局部环上，Bass数与另一个常见不变量“Betti数”存在对偶关系。Betti数 \(\beta_i(M) = \dim_k \text{Tor}_i^R(k, M)\) 记录了极小自由分解的信息，而Bass数记录了极小内射分解的信息。通过局部对偶定理，它们之间可以由模的典范模或对偶化复形联系起来。

第五步：应用举例
Bass数是研究模的局部结构与奇点的重要工具。例如：

  • 判断一个模是否是“极大科恩-麦考利模”（MCM模）。在Gorenstein环上，MCM模的内射维数有限，其Bass数具有特定的对称性。
  • 在交换代数和代数几何中，Bass数与局部上同调群密切相关，因为局部上同调 \(H_{\mathfrak{m}}^i(M)\) 的Matlis对偶恰好是 \(\text{Ext}_R^{d-i}(M, \omega_R)\)（其中 \(\omega_R\) 是典范模），这又关联到Bass数。
  • 它们也出现在“Bass猜想”中，该猜想（已被证明）断言：如果局部环有一个非零有限生成模具有有限内射维数，则该环必然是科恩-麦考利环。

总结来说，Bass数通过用剩余域“探测”模的内射分解，给出了模在局部环上精细的同调不变量。它们从深度和内射维数的计算，到对偶理论的应用，构成了理解模的局部结构和环的奇点性质的桥梁。

模的Bass数 我们首先从基础的模论概念开始。设 \(R\) 是一个环（通常假设是交换诺特环），\(M\) 是一个 \(R\)-模。为了理解模的精细结构，同调代数提供了一系列不变量，其中“Bass数”就是一种用于刻画模的局部性质的数值不变量，它与模的内射维数和深度紧密相关。 第一步：回顾局部环、正则序列与深度 为了定义Bass数，需要一个局部性环境。设 \((R, \mathfrak{m}, k)\) 是一个交换诺特局部环，其中 \(\mathfrak{m}\) 是极大理想，\(k = R/\mathfrak{m}\) 是剩余域。对于一个有限生成的 \(R\)-模 \(M\)，其“深度”定义为 \(M\) 中极大正则序列的长度。更具体地说，一个序列 \(x_ 1, \dots, x_ r \in \mathfrak{m}\) 称为 \(M\)-正则序列，如果： 对每个 \(i\)， \(x_ i\) 不是 \(M/(x_ 1, \dots, x_ {i-1})M\) 的零因子。 \(M \neq (x_ 1, \dots, x_ r)M\)。 深度记为 \(\text{depth}_ R(M)\)，满足 \(0 \le \text{depth}_ R(M) \le \dim R\)。深度反映了模“距离”为一个自由模的程度，是衡量奇点性的重要指标。 第二步：内射维数与内射分解 一个 \(R\)-模 \(I\) 是内射的，如果对任意单射同态 \(N \to L\) 和同态 \(N \to I\)，存在同态 \(L \to I\) 使得图表交换。每个模 \(M\) 都有一个“内射分解”，即一个正合列 \[ 0 \to M \to I^0 \to I^1 \to I^2 \to \cdots \] 其中每个 \(I^j\) 是内射模。如果这个正合列在有限步后由内射模组成，则最短的长度称为 \(M\) 的“内射维数”，记为 \(\text{injdim}_ R(M)\)。在局部环上，有限生成模的内射维数要么无限，要么至多为环的维数。 第三步：Ext函子与Bass数的定义 回顾 \(\text{Ext}^i_ R(N, M)\) 是同调代数中的导出函子，可以通过对 \(N\) 取投射分解或对 \(M\) 取内射分解计算。对于局部环 \((R, \mathfrak{m}, k)\) 和有限生成 \(R\)-模 \(M\)，Bass数的定义依赖于用剩余域 \(k\) 来探测 \(M\) 的结构。 对每个非负整数 \(i\)，模 \(M\) 的第 \(i\) 个Bass数 \(\mu^i(\mathfrak{m}, M)\) 定义为： \[ \mu^i(\mathfrak{m}, M) := \dim_ k \text{Ext}^i_ R(k, M)。 \] 也就是说，我们计算函子 \(\text{Hom}_ R(k, -)\) 的第 \(i\) 个右导出函子作用在 \(M\) 上，并取其作为 \(k\)-向量空间的维数。因为 \(k = R/\mathfrak{m}\) 是一个 \(R\)-模，这些Ext群是有限维的 \(k\)-向量空间，所以Bass数是有限数（或零）。 第四步：Bass数的解释与性质 与内射分解的关系 ：考虑 \(M\) 的一个极小内射分解 \[ 0 \to M \to I^0 \to I^1 \to I^2 \to \cdots。 \] “极小”意味着每个同态 \(I^j \to I^{j+1}\) 的像包含在 \(\mathfrak{m} I^{j+1}\) 中。可以证明，在第 \(j\) 项的内射模 \(I^j\) 中，与极大理想 \(\mathfrak{m}\) 对应的内射包 \(E_ R(k)\)（即剩余域的内射包）出现的直和项个数恰好是 \(\mu^j(\mathfrak{m}, M)\)。换言之，\(I^j \cong E_ R(k)^{\mu^j(\mathfrak{m}, M)} \oplus (\text{其他项})\)。因此，Bass数记录了极小内射分解的“形状”。 与深度和内射维数的联系 ： 深度为零 (\(\text{depth}(M)=0\)) 当且仅当 \(\mathfrak{m}\) 是 \(M\) 的关联素理想，这等价于 \(\mu^0(\mathfrak{m}, M) \neq 0\)。 更一般地，深度可以定义为满足 \(\mu^i(\mathfrak{m}, M) = 0\) 的最小整数 \(i\)。也就是说，\(\text{depth}_ R(M) = \min\{ i \ge 0 \mid \mu^i(\mathfrak{m}, M) \ne 0 \}\)。 如果 \(M\) 的内射维数 \(d = \text{injdim}_ R(M)\) 有限，则 \(\mu^i(\mathfrak{m}, M)=0\) 对所有 \(i > d\) 成立，且 \(\mu^d(\mathfrak{m}, M) \neq 0\)。实际上，在科恩-麦考利（Cohen-Macaulay）环的情况下，这个 \(d\) 正好是环的维数与模的深度之差。 对偶性 ：在局部环上，Bass数与另一个常见不变量“Betti数”存在对偶关系。Betti数 \(\beta_ i(M) = \dim_ k \text{Tor}_ i^R(k, M)\) 记录了极小自由分解的信息，而Bass数记录了极小内射分解的信息。通过局部对偶定理，它们之间可以由模的典范模或对偶化复形联系起来。 第五步：应用举例 Bass数是研究模的局部结构与奇点的重要工具。例如： 判断一个模是否是“极大科恩-麦考利模”（MCM模）。在Gorenstein环上，MCM模的内射维数有限，其Bass数具有特定的对称性。 在交换代数和代数几何中，Bass数与局部上同调群密切相关，因为局部上同调 \(H_ {\mathfrak{m}}^i(M)\) 的Matlis对偶恰好是 \(\text{Ext}_ R^{d-i}(M, \omega_ R)\)（其中 \(\omega_ R\) 是典范模），这又关联到Bass数。 它们也出现在“Bass猜想”中，该猜想（已被证明）断言：如果局部环有一个非零有限生成模具有有限内射维数，则该环必然是科恩-麦考利环。 总结来说，Bass数通过用剩余域“探测”模的内射分解，给出了模在局部环上精细的同调不变量。它们从深度和内射维数的计算，到对偶理论的应用，构成了理解模的局部结构和环的奇点性质的桥梁。