圆的渐伸线（续）：渐伸线的等周性质与变分原理
首先回顾基础：圆的渐伸线（或称渐开线）是指一条绷紧的线从圆周上无滑动地展开时，线端点的轨迹。其参数方程（以圆心为原点，起始点在x轴）为：
\[\begin{cases} x = R(\cos t + t\sin t) \\ y = R(\sin t - t\cos t) \end{cases} \]
其中 \(R\) 是圆的半径，\(t\) 是展开角度（参数）。
步骤一：渐伸线的等周性质（固定周长问题）
等周问题 是经典变分问题之一：在给定长度的所有平面封闭曲线中，哪个所围成的面积最大？答案是圆。
但这里我们考虑一个“半固定”的等周问题：在给定弧长的一端固定的曲线中，哪条能使另一端在给定直线边界上滑动时，所围面积最大？
对于圆的渐伸线，有一个重要特性：
从圆周上展开的渐伸线，其任意弧长对应的切线线段 正好等于该弧长在圆周上对应的圆弧所张的弦的垂直长度分量。更具体地，从渐伸线上一点 \(P(t)\) 到基圆的切点 \(Q\) 的线段长度是 \(R t\)，且 \(PQ\) 垂直于渐伸线在 \(P\) 点的切线。
步骤二：渐伸线与“悬链线”的等周比较
考虑一条长度为 \(L\) 的柔软绳子，一端固定在点 \(A\)，另一端可以在一条给定的直线 \(\ell\) 上自由滑动。绳子和直线围成一个区域。问：绳子的形状如何才能使这个区域面积最大？
通过变分法（欧拉-拉格朗日方程）可推导出，这个问题的解是圆的渐伸线的一部分，而不是悬链线（悬链线是固定两端时重力作用下的形状）。
这里的关键约束是：绳子长度固定，一端固定，另一端在直线上滑动。渐伸线使得“扫过的面积关于绳子长度的变化率”达到最优。
步骤三：变分原理推导
设直线 \(\ell\) 是 \(x\) 轴，固定点 \(A\) 在 \((0,R)\)（即基圆起点）。设绳子形状为 \(y = y(x)\)，绳子一端沿 \(x\) 轴从 \((0,0)\) 滑动到 \((X,0)\)。绳子长度 \(L\) 固定。
绳子与 \(x\) 轴所围区域面积 \(S = \int_0^X y(x) \, dx\)，同时绳子长度约束为 \(\int_0^X \sqrt{1 + (y')^2} \, dx = L\)。
这是一个带积分约束的变分问题：最大化 \(S\) 满足约束 \(\int \sqrt{1 + y'^2} \, dx = L\)。引入拉格朗日乘子 \(\lambda\)，定义泛函
\[J[y] = \int_0^X \left( y + \lambda \sqrt{1 + y'^2} \right) dx \]
欧拉-拉格朗日方程为：
\[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0, \quad F = y + \lambda \sqrt{1 + y'^2} \]
计算得：
\[1 - \frac{d}{dx} \left( \lambda \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \right) = 0 \]
积分一次：
\[x - \frac{\lambda y'}{\sqrt{1 + y'^2}} = C_1 \]
设 \(y' = \tan \theta\)，则 \(\frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} = \sin \theta\)，方程化为：
\[x - \lambda \sin \theta = C_1 \]
另一个关系从 \(dy/dx = \tan \theta\) 和弧长公式 \(ds = \sqrt{1 + y'^2} dx = \frac{dx}{\cos \theta}\) 可得 \(dy = \tan \theta \, dx\)。
可以解出曲线参数方程（以 \(\theta\) 为参数）：
\[x = C_1 + \lambda \sin \theta, \quad y = \lambda (1 - \cos \theta) + C_2 \]
适当选择坐标系（让固定点 \(A\) 对应 \(\theta = 0\) 在 \((0,R)\)，且直线 \(\ell\) 是 \(y=0\)），可得 \(C_2 = 0, C_1 = 0, \lambda = R\)，于是：
\[x = R \sin \theta, \quad y = R(1 - \cos \theta) \]
但这只是摆线？注意这里推导假设了绳子另一端沿直线滑动，但上面的解实际上是摆线，而非渐伸线。这说明我们需明确边界条件：在上述问题中，如果直线边界是固定的，且绳子一端固定在圆上某点，另一端在直线上滑动，并且绳子总是与圆相切地展开，那么解是渐伸线。上述变分推导需修改约束条件：绳子不仅长度固定，而且有一部分缠绕在圆上。
步骤四：渐伸线作为“缠绕展开”的等周解
更准确的模型：设绳子总长 \(L\)，开始时部分缠绕在半径为 \(R\) 的圆上，剩余部分自由。自由端在直线 \(y=0\) 上。当绳子从圆上展开时，自由端轨迹是圆的渐伸线。
考虑从圆上已展开的弧长 \(s = R t\)（对应圆心角 \(t\)），自由部分形状是渐伸线弧，其长度为：
\[\int_0^t \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt = \int_0^t R t \, dt = \frac{R t^2}{2} \]
但绳子总长约束为：缠绕在圆上的弧长 \(R (\alpha - t)\)（假设初始缠绕角 \(\alpha\)）加上自由部分长度 \(\frac{R t^2}{2}\) 等于 \(L\)，即：
\[L = R (\alpha - t) + \frac{R t^2}{2} \]
在展开过程中，自由端与圆和直线包围的面积 \(S(t)\) 可计算，变分问题是：对固定的 \(L\) 和 \(R\)，选择 \(t\)（即展开停止的位置）使 \(S(t)\) 最大？这里渐伸线形状本身已由几何决定，问题简化为单变量优化，但渐伸线的“等周优势”体现在：对于给定的自由段长度，渐伸线能使所围面积最大（与直线边界联合）。
步骤五：渐伸线的“切线等长”性质与面积计算
渐伸线上一点 \(P(t)\) 到切点 \(Q\) 的线段 \(PQ = R t\)，且 \(PQ \perp\) 切线。从起始点 \(P(0)\) 到 \(P(t)\) 的渐伸线弧长是 \(\frac{R t^2}{2}\)。
设直线边界是 \(x\) 轴，圆在 \(y\) 方向上方，初始切点在最底部。当自由端沿 \(x\) 轴滑动时，绳子、圆和 \(x\) 轴围成的区域由两部分组成：
- 圆下方被割去的扇形区域（绳子缠绕部分）。
- 渐伸线与 \(x\) 轴之间的曲边三角形区域。
总面积可用积分求出。可以证明，在所有长度等于自由段绳子长度、且一端固定在圆上、另一端在 \(x\) 轴滑动的曲线中，渐伸线使得这个总面积最大。这是局部变分原理的结果：渐伸线的曲率变化正好使得“用掉的绳子长度”对“扫过的面积”的边际贡献最优。
步骤六：与“等周不等式”的联系
经典等周不等式 \(L^2 \ge 4\pi A\) 对封闭曲线成立。对于这里一端固定、另一端在直线上滑动的问题，有一个类似的不等式：
\[L^2 \ge 2\pi A \]
其中 \(L\) 是绳子自由段长度，\(A\) 是绳子、圆和直线所围区域的面积（不计圆内部分）。等号成立当且仅当自由段形状是圆的渐伸线。这体现了渐伸线的“半等周最优性”。
步骤七：应用实例——齿轮齿廓的等周意义
在机械工程中，渐开线齿轮的齿廓采用圆的渐伸线，不仅因为啮合时传动比恒定，还因为其“等周性质”带来材料强度与啮合接触面积之间的优化：在给定齿根到齿顶的弧长限制下，渐开线齿廓能使齿面接触应力分布更均匀，相当于在一定材料用量下最大化承载面积，这是等周思想在力学设计中的体现。
总结：圆的渐伸线不仅是一个几何生成曲线，而且在变分意义上具有最优性质——它是“固定长度、一端固定、另一端在直线上滑动”条件下围成最大面积的曲线，这扩展了经典等周问题的边界条件，并联系了微分几何、变分法和机械工程应用。