麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是描述电场与磁场如何产生、相互作用，以及它们如何受电荷和电流影响的一组偏微分方程。它是经典电动力学的理论基础。 第一步：理解电场和磁场的源与环量 要理解麦克斯韦方程组，首先需要掌握描述矢量场的两个基本概念：通量源和旋度源。 通量源 ：衡量一个矢量场（如电场E）从某一点“发散”或“汇聚”的强度。例如，正电荷就是电场的通量源，电场线从正电荷发出。数学上，这由 散度 来描述。 旋度源 ：衡量一个矢量场（如磁场B）围绕某一点“旋转”的强度。例如，电流就是磁场的旋度源，它会使磁场线绕着电流旋转。数学上，这由 旋度 来描述。 第二步：认识四个方程及其物理意义（积分形式） 麦克斯韦方程组最初常用积分形式表达，它描述了场在某个区域（如一个体积、一个曲面或一条闭合曲线）上的整体行为，物理图像非常清晰。它包含四个方程： 高斯定律 ：描述了电场的通量源。该定律指出，穿过任意一个闭合曲面的电通量，等于该曲面内所包围的总电荷除以真空介电常数。这意味着 电荷是电场的源 ，电场线始于正电荷，终止于负电荷。 高斯磁定律 ：描述了磁场的通量源。该定律指出，穿过任意一个闭合曲面的磁通量恒为零。这意味着 不存在磁单极子 ，磁场线是闭合的曲线，没有起点和终点。 法拉第电磁感应定律 ：描述了变化的磁场如何产生电场。该定律指出，在一个闭合回路中产生的感应电动势，等于穿过该回路所围面积的磁通量变化率的负值。这意味着 变化的磁场会激发出涡旋状的电场 。 安培-麦克斯韦定律 （安培定律的修正）：描述了电流和变化的电场如何产生磁场。该定律指出，磁场沿任意闭合回路的环量，等于穿过该回路所围面积的电流加上变化的电通量变化率。麦克斯韦的关键贡献是添加了“变化的电场”这一项，这意味着 不仅电流，变化的电场也能激发出磁场 。 第三步：过渡到微分形式 积分形式描述的是宏观区域上的关系。为了研究空间中每一点的电场和磁场行为，我们需要将其转化为微分形式。这通过运用散度定理和斯托克斯定理来实现。微分形式的方程组如下： 高斯定律 ：∇ · E = ρ / ε₀ （电场的散度等于电荷密度除以真空介电常数） 高斯磁定律 ：∇ · B = 0 （磁场的散度为零，印证了磁单极子不存在） 法拉第定律 ：∇ × E = -∂B / ∂t （电场的旋度等于磁感应强度随时间变化率的负值） 安培-麦克斯韦定律 ：∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E / ∂t （磁场的旋度等于电流密度与真空磁导率的乘积，再加上真空介电常数、真空磁导率与电场变化率的乘积） 第四步：认识方程组的深远意义——电磁波 麦克斯韦方程组的伟大之处在于其揭示了电磁波的存在。在真空中（ρ=0， J=0），方程组可以化简为两个优美的方程： ∇²E - μ₀ε₀ ∂²E / ∂t² = 0 ∇²B - μ₀ε₀ ∂²B / ∂t² = 0 这正是 波动方程 的形式。其中，波速 v = 1/√(μ₀ε₀)，通过计算，这个值正好等于光速c。这直接预言了光就是一种电磁波，统一了光学和电磁学。 第五步：理解洛伦兹协变性 爱因斯坦的狭义相对论正是源于对麦克斯韦方程组的深入思考。麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下保持形式不变，具有洛伦兹协变性。这表明电场和磁场并非独立的实体，而是同一个电磁场张量在不同惯性参考系下的不同表现，它们的量值会随着观察者的运动状态而相互转化。