伪黎曼流形 首先，我们来建立一个基础概念框架。在经典几何中，我们研究的对象通常是 欧几里得空间 及其中的曲线、曲面。描述这些空间的关键在于一个 度量 ，它定义了空间中任意两点之间线段的 长度 以及向量之间的 夹角 。在欧几里得平面（二维）上，这个度量由熟悉的勾股定理 \( ds^2 = dx^2 + dy^2 \) 给出。 从欧几里得空间到黎曼流形 黎曼流形 的概念推广了欧几里得空间。简单来说，它是一个光滑的几何空间，在每一点上，其 切空间 （想象成该点处所有可能速度向量构成的平面或高维空间）都被赋予了一个 正定的内积 （称为黎曼度量）。 “正定”意味着任意非零切向量的长度平方（即与自己的内积）总是大于零。这使得长度和角度的概念总是有良好定义的实数。 例如，三维空间中的光滑曲面，其第一基本形式（通过曲面的参数化诱导得到）就是一个黎曼度量。地球表面（近似为球面）就是一个黎曼流形的例子。 度量的符号差与非正定性 然而，现代物理（特别是 相对论 ）和某些数学领域发现，需要一个更广泛的度量概念。关键的突破在于放松“正定性”的要求。 我们允许度量是一个对称、非退化的双线性形式，称为 伪黎曼度量 。“非退化”意味着没有非零向量能与所有其他向量的内积都为零（这保证了度量的“可逆性”），但允许某些非零向量与自己的内积是零、甚至负数。 度量的 符号差 是一个关键不变量。它由三个数 \((p, q, r)\) 组成，其中 \(p\) 是使内积为正的独立方向数，\(q\) 是使内积为负的独立方向数，\(r\) 是使内积为零（即零向量）的方向数。对于黎曼度量，符号差是 \((n, 0, 0)\)，其中 \(n\) 是流形的维数。 伪黎曼流形的定义与洛伦兹流形 一个配备了伪黎曼度量的光滑流形，就称为一个 伪黎曼流形 。最常见的两种类型是： 黎曼流形 ：符号差为 \((n, 0, 0)\)，所有方向长度平方为正。 洛伦兹流形 ：符号差为 \((n-1, 1, 0)\) 或 \((1, n-1, 0)\)。这意味着存在一个“类时”方向（长度平方为负），其余 \(n-1\) 个方向是“类空”的（长度平方为正）。零长度的向量称为 类光 向量。爱因斯坦的广义相对论中，四维时空被建模为一个四维洛伦兹流形。 几何与物理含义 在伪黎曼流形上，“长度”和“角度”的概念与欧几里得空间有本质不同。 类空向量 ：与自己内积 > 0。在物理上，连接两个可以被静止观测者认为“同时”发生的事件的向量是类空的。 类时向量 ：与自己内积 < 0。在物理上，一个有质量粒子在时空中运动的世界线（其切向量）总是类时的。 类光向量 ：与自己内积 = 0。它代表了光在真空中传播的方向。 由于存在负长度平方，传统的“距离”概念（总是非负）不再适用。取而代之，我们谈论的是两个事件之间的 间隔 ，它可以是正、负或零，分别对应类空间隔、类时间隔和类光间隔。 测地线与曲率 类似于黎曼几何，伪黎曼流形上也可以定义 测地线 ，即“局部最短”（对于类空间隔）或“局部最长”（对于类时间隔）的路径。在相对论中，自由粒子的世界线（忽略引力）就是类时测地线，而光子的世界线是类光测地线。 同样，可以定义 曲率张量 （如黎曼曲率张量、里奇曲率张量、标量曲率）。这些曲率概念完全建立在伪黎曼度量的基础上，并不依赖于任何更高维空间的嵌入。爱因斯坦场方程就是将物质能量分布（应力-能量张量）与时空的几何（里奇曲率张量）联系起来的方程。 应用与推广 伪黎曼几何是现代理论物理，特别是广义相对论、宇宙学和某些弦理论模型的 核心数学语言 。 在纯数学中，它也是研究具有特定对称性的几何结构（如凯勒流形在伪黎曼情形下的推广）以及某些特殊李群表示论的重要工具。 需要区分的是， 芬斯勒几何 也推广了黎曼几何，但它是通过一个更一般的范数（不一定是源于二次型的内积）来定义长度，这与伪黎曼几何通过内积的符号差进行推广的路径完全不同。 总结来说， 伪黎曼流形 通过允许度量具有非正定的符号差，极大地扩展了几何学的研究范畴，为描述我们的物理宇宙（时空）提供了精确的几何框架，并催生出大量深刻的数学理论。