阿基米德三角形
阿基米德三角形，是圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）切线与弦构成的三角形，与圆锥曲线的切线几何、射影几何有深刻联系。我们先从抛物线情形入手，这是最经典且性质最丰富的。
第一步：定义与基本构造
考虑一条抛物线 \(y^2 = 2px\) ( \(p>0\) )，设 \(A\) 和 \(B\) 是抛物线上任意两点。过 \(A\) 作抛物线的切线，过 \(B\) 作抛物线的切线，两条切线相交于点 \(C\)。再连接弦 \(AB\)。则 \(\triangle ABC\) 称为抛物线的阿基米德三角形，其中 \(C\) 是两条切线的交点，\(A, B\) 是切点，边 \(AB\) 是抛物线上的一条弦。
第二步：面积与几何性质
- 设 \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) 是抛物线上两点。利用隐函数求导，过 \(A\) 的切线方程为 \(y y_1 = p(x + x_1)\)，类似有过 \(B\) 的切线方程。联立可解出交点 \(C\) 的坐标。
- 一个经典结论：阿基米德三角形 \(\triangle ABC\) 的面积 \(S\) 可表示为：
\[ S = \frac{1}{2p} |y_1 - y_2|^3 \]
这显示面积只与两切点的纵坐标之差有关，与横坐标无关。
4. 进一步，若过 \(C\) 作平行于抛物线对称轴（此处为 \(x\) 轴）的直线，交弦 \(AB\) 于 \(D\)，则 \(D\) 是 \(AB\) 的中点，且 \(CD\) 被抛物线平分（即抛物线在 \(D\) 处的切线平行于 \(AB\)）。这体现了与极点-极线理论的联系。
第三步：推广到一般圆锥曲线
阿基米德三角形的定义可推广到椭圆和双曲线：
- 对椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 或双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，取其上两点 \(A, B\)，分别作切线交于 \(C\)，则 \(\triangle ABC\) 也叫阿基米德三角形。此时面积公式更复杂，但仍有系统性质。
第四步：与极点-极线理论的关系
- 在圆锥曲线的射影几何中，点 \(C\)（两切线交点）称为弦 \(AB\) 的极点，直线 \(AB\) 称为点 \(C\) 的极线。阿基米德三角形正是这一对偶关系的具体体现。
- 一个重要性质：如果过 \(C\) 作任意一条直线与圆锥曲线交于两点 \(P, Q\)，则 \(AB\) 与 \(PQ\) 的交点 \(M\) 满足 \((C, M; P, Q) = -1\)，即 \(C, M\) 调和分割 \(P, Q\)。这揭示了阿基米德三角形顶点在圆锥曲线调和分割中的作用。
第五步：面积与切线三角形的比较
- 在抛物线情形，若 \(A, B\) 固定，让第三个顶点 \(C\) 沿着 \(AB\) 对应的极线移动，则 \(\triangle ABC\) 的面积变化有极小值，极小值点恰为 \(AB\) 中点关于抛物线的极线与 \(AB\) 的交点。阿基米德三角形（\(C\) 为切线交点）是其中一种特定情形，其面积有简洁表达式。
- 对比“切线三角形”（三边均为切线）：阿基米德三角形只有两边是切线，第三边是弦，因此可视为切线三角形的一半结构。
第六步：在力学与最值问题中的应用
阿基米德最初研究抛物线下的面积时，实际上使用了这种三角形逼近。阿基米德三角形面积公式可用于求抛物线弦与弧围成的区域面积，是微积分前驱的几何方法。现代竞赛几何中，常用其性质解决涉及抛物线切线的面积最值、比例问题。例如，给定抛物线及其一条弦，求以此弦为一边、顶点在抛物线上的三角形最大面积问题，往往与阿基米德三角形有关。
总结：阿基米德三角形是圆锥曲线切线几何中的经典构型，从特殊（抛物线）到一般（圆锥曲线），它将切点、切线交点、弦紧密联系，面积表达式简洁，并且自然融入极点-极线对偶与调和分割理论，是连接古典几何与射影几何的一个优美模型。