伽罗瓦理论 伽罗瓦理论是连接域论与群论的桥梁，它通过群的性质研究多项式方程的根式可解性。以下从基础概念逐步展开： 1. 多项式方程的根式可解问题 背景 ：历史上，数学家寻求一般多项式方程（如 \(ax^n + bx^{n-1} + \cdots = 0\)）的求根公式（即用系数通过有限次四则运算与开方表示根）。 已知结论 ：二次、三次、四次方程有通用根式解，但五次及以上方程（如 \(x^5 - x + 1 = 0\)）是否存在这样的公式？ 关键思路 ：伽罗瓦理论将问题转化为研究根的对称性，即“哪些根的重排会保持根之间的代数关系”。 2. 域扩张与自同构群 域扩张 ：若域 \(K\) 包含子域 \(F\)（记作 \(K/F\)），则 \(K\) 是 \(F\) 的扩域。例如，\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q}\}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的扩域。 自同构群 \(\mathrm{Aut}(K/F)\) ：所有保持 \(F\) 元素不变的域自同构 \(\sigma: K \to K\)（即 \(\sigma(x)=x\) 对任意 \(x \in F\)）构成的群。 例：\(\mathrm{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\) 中只有恒等映射 \(\mathrm{id}\) 和映射 \(\sigma: a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}\)，同构于二阶循环群 \(C_ 2\)。 3. 伽罗瓦扩张与伽罗瓦群 伽罗瓦扩张 ：若域扩张 \(K/F\) 是有限、可分且正规的（即 \(K\) 是 \(F\) 上某个多项式的分裂域），则称其为伽罗瓦扩张。 伽罗瓦群 ：定义伽罗瓦群为 \(\mathrm{Gal}(K/F) = \mathrm{Aut}(K/F)\)。 例：\(x^2 - 2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域为 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)，其伽罗瓦群 \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) \cong C_ 2\)。 4. 伽罗瓦对应 中间域 ：若 \(F \subseteq L \subseteq K\)，则 \(L\) 称为中间域。 基本定理 ：在伽罗瓦扩张 \(K/F\) 中，存在一一对应： \[ \{\text{中间域 } L\} \longleftrightarrow \{\text{伽罗瓦群 } G \text{的子群 } H\} \] 对应规则： 中间域 \(L\) 对应子群 \(H = \mathrm{Gal}(K/L)\)（保持 \(L\) 固定的自同构）。 子群 \(H\) 对应中间域 \(L = K^H = \{x \in K \mid \sigma(x)=x, \forall \sigma \in H\}\)（\(H\) 的不动域）。 性质 ：该对应反转包含关系（即 \(L_ 1 \subseteq L_ 2 \iff \mathrm{Gal}(K/L_ 1) \supseteq \mathrm{Gal}(K/L_ 2)\)），且正规子群对应伽罗瓦扩张的中间域。 5. 根式可解的群论刻画 根式扩张 ：若域扩张 \(F \subseteq K\) 可通过逐步添加根号（如 \(x^n - a\) 的根）得到，则称 \(K\) 为 \(F\) 的根式扩张。 伽罗瓦判别准则 ：多项式 \(f(x) \in F[ x ]\) 根式可解当且仅当其伽罗瓦群（即分裂域的伽罗瓦群）是可解群。 可解群 ：存在子群列 \(G = G_ 0 \triangleright G_ 1 \triangleright \cdots \triangleright G_ k = \{e\}\)，使得每项商群 \(G_ i/G_ {i+1}\) 是阿贝尔群。 应用 ：五次一般方程的伽罗瓦群是对称群 \(S_ 5\)，而 \(S_ 5\) 不可解（因为 \(A_ 5\) 是单群），故五次方程无通用根式解。 6. 现代推广 伽罗瓦理论被推广至无限扩张（无限伽罗瓦理论）、微分方程（微分伽罗瓦理论）及几何领域（覆盖空间的基本群与中间子群的对应），成为代数学的核心工具之一。