广义线性规划
字数 2744 2025-12-14 08:33:35

广义线性规划

  1. 线性规划的回顾与局限
    您已知线性规划的标准形式是：在满足一组线性等式或不等式约束的条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。其数学形式通常为：

\[ \begin{aligned} \max \quad & c^T x \\ \text{s.t.} \quad & A x = b, \\ & x \ge 0. \end{aligned} \]

其中，\(c, x \in \mathbb{R}^n\)， \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)， \(b \in \mathbb{R}^m\)。这个模型的“线性”体现在两个方面：目标函数是决策变量\(x\)的线性函数，约束条件是\(x\)的线性（等式或不等式）函数。但现实中，许多问题的成本和收益结构，或者资源消耗与产出的关系，并非总是线性的。为了在保持模型结构相对简单的前提下，描述更广泛的现象，广义线性规划应运而生。

  1. 广义线性规划的核心思想
    广义线性规划的核心是放宽“线性”要求，但保留模型的基本“结构”。具体来说，它允许目标函数和约束函数是“广义多项式”形式，而不仅仅是线性函数。其最经典和常见的形式，是将线性规划中的向量系数 \(c\) 和 \(A\) 的每一行 \(a_i^T\)，替换为关于某个“参数”\(t\)的函数。但更本质的理解是：我们将目标函数和每个约束函数，都看作是由一组“基函数”线性组合而成。在线性规划中，这组基函数就是 \(\{x_1, x_2, ..., x_n\}\) 本身。在广义线性规划中，我们允许使用更一般的基函数集合 \(\{\phi_1(u), \phi_2(u), ..., \phi_k(u)\}\)，其中 \(u\) 是问题的原始决策变量或解释变量。

  2. 数学模型与标准形式
    广义线性规划的一个标准表述如下。考虑决策向量 \(y \in \mathbb{R}^p\)。我们有一组已知的（通常是非线性）基函数 \(\phi_j: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}, j=1,...,k\)。广义线性规划问题寻求确定系数 \(x_j \in \mathbb{R}\)，使得由这些系数和基函数线性组合构成的函数 \(F(u; x) = \sum_{j=1}^k x_j \phi_j(u)\)，在某个定义域 \(U \subset \mathbb{R}^p\) 上，满足特定的“最优”和“可行”条件。
    一个典型的问题是广义多项式逼近的优化问题：

\[ \begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^k} \quad & \max_{u \in U} \left| f(u) - \sum_{j=1}^k x_j \phi_j(u) \right| \\ \text{s.t.} \quad & g_i(u) \le \sum_{j=1}^k x_j \phi_j(u) \le h_i(u), \quad \forall u \in U_i, \quad i=1,...,m. \end{aligned} \]

这个模型的意义是：我们想用基函数 \(\phi_j(u)\) 的线性组合（即一个广义多项式）去逼近一个复杂函数 \(f(u)\)，目标是使最大逼近误差最小（这是一个极小化极大问题）。同时，这个逼近函数在区域 \(U_i\) 上还需要满足上下界约束 \(g_i(u)\) 和 \(h_i(u)\)。这里的决策变量是系数 \(x_j\)，而 \(u\) 是连续变量。关键难点在于约束条件需要对无穷多个点 \(u \in U_i\) 成立，这本质上是一个半无限规划。广义线性规划提供了将此类问题转化为可求解形式的思想。

  1. 与相关模型的联系与区别
  • 与线性规划（LP）： 当基函数 \(\phi_j(u)\) 就是 \(u\) 的各分量本身（即 \(u_j\)），且定义域 \(U\) 是有限个点时，广义线性规划退化为普通线性规划。因此，LP 是 GLSP 的特例。
  • 与半无限规划（SIP）： 如上例所示，广义线性规划的约束通常需要在连续集 \(U\) 上成立，这正是一个半无限规划的特征（“半无限”指有限个决策变量，无限个约束）。因此，广义线性规划是半无限规划中一类重要的、结构特殊的子问题。
  • 与多项式优化： 当基函数 \(\phi_j(u)\) 选为 \(u\) 的各单项式（如 \(1, u, u^2, u_1u_2, ...\)）时，广义线性规划就变成了多项式函数的优化问题。这类问题可以通过矩松弛和半正定规划（SDP） 等技术来近似求解。
  1. 求解思路与方法
    由于广义线性规划通常包含无限约束，其求解不能直接使用单纯形法。主要思路是将无限约束转化为有限约束。
  • 离散化法： 在连续集 \(U\) 上选取一个有限的、密集的网格点集 \(U_d \subset U\)，只要求约束在这些离散点上成立。这就将一个半无限规划转化为一个大型的线性规划。通过不断加密网格并检查被违反的约束点（称为“最坏情况违反”），迭代求解直至满足精度要求。这个过程与割平面法的思想有相似之处。
  • 对偶与最优性条件： 利用优化理论，广义线性规划的约束（如 \(G(u, x) \le 0, \forall u \in U\)）可以等价地转化为一个关于 \(u\) 的极大值条件：\(\max_{u \in U} G(u, x) \le 0\)。求解时，可以构造关于 \(u\) 的子问题来寻找当前解 \(x\) 下约束违反最大的点，即 \(\arg\max_{u \in U} G(u, x)\)，然后将该点对应的约束加入到主问题中。这构成了一个主问题-子问题交替求解的框架。
  • 转化为可计算形式： 对于特殊的基函数（如多项式、三角函数）和定义域 \(U\)（如区间、椭球），有时可以利用函数本身的特性（如切比雪夫交替定理）将无限约束等价地转化为有限个约束。例如，在一维区间上用多项式逼近时，最优解满足误差函数在区间上有至少 \(k+1\) 个交错取极值的点，这可以将原问题转化为一个关于这些极值点位置的有限维问题。

总结来说，广义线性规划是线性规划在函数空间上的推广，它用一组基函数的线性组合来构建目标与约束，其核心挑战和特征在于处理由连续参数引发的无限约束。它是连接传统的线性规划、函数逼近理论和现代多项式优化/半无限规划的重要桥梁，为解决工程、经济中的复杂建模和逼近问题提供了有力的框架。

广义线性规划 线性规划的回顾与局限 您已知线性规划的标准形式是：在满足一组线性等式或不等式约束的条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。其数学形式通常为： \[ \begin{aligned} \max \quad & c^T x \\ \text{s.t.} \quad & A x = b, \\ & x \ge 0. \end{aligned} \] 其中，\(c, x \in \mathbb{R}^n\)， \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)， \(b \in \mathbb{R}^m\)。这个模型的“线性”体现在两个方面： 目标函数 是决策变量\(x\)的线性函数， 约束条件 是\(x\)的线性（等式或不等式）函数。但现实中，许多问题的成本和收益结构，或者资源消耗与产出的关系，并非总是线性的。为了在保持模型结构相对简单的前提下，描述更广泛的现象，广义线性规划应运而生。 广义线性规划的核心思想 广义线性规划的核心是 放宽“线性”要求，但保留模型的基本“结构” 。具体来说，它允许目标函数和约束函数是“广义多项式”形式，而不仅仅是线性函数。其最经典和常见的形式，是将线性规划中的向量系数 \(c\) 和 \(A\) 的每一行 \(a_ i^T\)，替换为关于某个“参数”\(t\)的函数。但更本质的理解是：我们将目标函数和每个约束函数，都看作是由一组“基函数”线性组合而成。在线性规划中，这组基函数就是 \(\{x_ 1, x_ 2, ..., x_ n\}\) 本身。在广义线性规划中，我们允许使用更一般的基函数集合 \(\{\phi_ 1(u), \phi_ 2(u), ..., \phi_ k(u)\}\)，其中 \(u\) 是问题的原始决策变量或解释变量。 数学模型与标准形式 广义线性规划的一个标准表述如下。考虑决策向量 \(y \in \mathbb{R}^p\)。我们有一组已知的（通常是非线性）基函数 \(\phi_ j: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}, j=1,...,k\)。广义线性规划问题寻求确定系数 \(x_ j \in \mathbb{R}\)，使得由这些系数和基函数线性组合构成的函数 \(F(u; x) = \sum_ {j=1}^k x_ j \phi_ j(u)\)，在某个定义域 \(U \subset \mathbb{R}^p\) 上，满足特定的“最优”和“可行”条件。 一个典型的问题是 广义多项式逼近的优化问题 ： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^k} \quad & \max_ {u \in U} \left| f(u) - \sum_ {j=1}^k x_ j \phi_ j(u) \right| \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(u) \le \sum_ {j=1}^k x_ j \phi_ j(u) \le h_ i(u), \quad \forall u \in U_ i, \quad i=1,...,m. \end{aligned} \] 这个模型的意义是：我们想用基函数 \(\phi_ j(u)\) 的线性组合（即一个广义多项式）去逼近一个复杂函数 \(f(u)\)，目标是使最大逼近误差最小（这是一个极小化极大问题）。同时，这个逼近函数在区域 \(U_ i\) 上还需要满足上下界约束 \(g_ i(u)\) 和 \(h_ i(u)\)。这里的决策变量是系数 \(x_ j\)，而 \(u\) 是连续变量。 关键难点在于约束条件需要对无穷多个点 \(u \in U_ i\) 成立 ，这本质上是一个半无限规划。广义线性规划提供了将此类问题转化为可求解形式的思想。 与相关模型的联系与区别 与线性规划（LP） ： 当基函数 \(\phi_ j(u)\) 就是 \(u\) 的各分量本身（即 \(u_ j\)），且定义域 \(U\) 是有限个点时，广义线性规划退化为普通线性规划。因此，LP 是 GLSP 的特例。 与半无限规划（SIP） ： 如上例所示，广义线性规划的约束通常需要在连续集 \(U\) 上成立，这正是一个 半无限规划 的特征（“半无限”指有限个决策变量，无限个约束）。因此，广义线性规划是半无限规划中一类重要的、结构特殊的子问题。 与多项式优化 ： 当基函数 \(\phi_ j(u)\) 选为 \(u\) 的各单项式（如 \(1, u, u^2, u_ 1u_ 2, ...\)）时，广义线性规划就变成了多项式函数的优化问题。这类问题可以通过 矩松弛 和 半正定规划（SDP） 等技术来近似求解。 求解思路与方法 由于广义线性规划通常包含无限约束，其求解不能直接使用单纯形法。主要思路是 将无限约束转化为有限约束 。 离散化法 ： 在连续集 \(U\) 上选取一个有限的、密集的网格点集 \(U_ d \subset U\)，只要求约束在这些离散点上成立。这就将一个半无限规划转化为一个大型的线性规划。通过不断加密网格并检查被违反的约束点（称为“最坏情况违反”），迭代求解直至满足精度要求。这个过程与 割平面法 的思想有相似之处。 对偶与最优性条件 ： 利用优化理论，广义线性规划的约束（如 \(G(u, x) \le 0, \forall u \in U\)）可以等价地转化为一个关于 \(u\) 的极大值条件：\(\max_ {u \in U} G(u, x) \le 0\)。求解时，可以构造关于 \(u\) 的子问题来寻找当前解 \(x\) 下约束违反最大的点，即 \(\arg\max_ {u \in U} G(u, x)\)，然后将该点对应的约束加入到主问题中。这构成了一个主问题-子问题交替求解的框架。 转化为可计算形式 ： 对于特殊的基函数（如多项式、三角函数）和定义域 \(U\)（如区间、椭球），有时可以利用函数本身的特性（如切比雪夫交替定理）将无限约束等价地转化为有限个约束。例如，在一维区间上用多项式逼近时，最优解满足误差函数在区间上有至少 \(k+1\) 个交错取极值的点，这可以将原问题转化为一个关于这些极值点位置的有限维问题。 总结来说， 广义线性规划 是线性规划在函数空间上的推广，它用一组基函数的线性组合来构建目标与约束，其核心挑战和特征在于处理由连续参数引发的无限约束。它是连接传统的线性规划、函数逼近理论和现代多项式优化/半无限规划的重要桥梁，为解决工程、经济中的复杂建模和逼近问题提供了有力的框架。