可测空间上测度的正则逼近定理（Regular Approximation Theorem for Measures on Measurable Spaces）

字数 4086 2025-12-13 23:51:19

可测空间上测度的正则逼近定理（Regular Approximation Theorem for Measures on Measurable Spaces）

背景与动机
在研究测度论时，我们常常关心一个给定的测度能否用“性质更好”的集类上的值来逼近。例如，在勒贝格测度中，任何可测集的测度可以用开集从外部逼近、用闭集从内部逼近，这称为正则性。然而，在一个一般的可测空间 $(X, \Sigma)$ 上，拓扑结构可能缺失，我们无法直接谈论开集或闭集。正则逼近定理关心的是：给定一个测度 $\mu$ 和一个足够“好”的集类 $\mathcal{C} \subset \Sigma$（通常是一个 $\pi$-系或半环），能否用 $\mathcal{C}$ 中集合的测度，通过可数可加性操作（如并、交的极限）来逼近任何可测集 $E \in \Sigma$ 的测度 $\mu(E)$？这个定理肯定了在适当条件下这是可能的，并将 $\mathcal{C}$ 称为决定类。
核心定义与前提

可测空间: 设 $X$ 是一个集合，$\Sigma$ 是 $X$ 上的一个 $\sigma$-代数。
集类 $\mathcal{C}$: 设 $\mathcal{C} \subset \Sigma$ 是一个非空集类。我们通常要求 $\mathcal{C}$ 是一个 $\pi$-系，即对任意 $A, B \in \mathcal{C}$，有 $A \cap B \in \mathcal{C}$。有时也要求 $\mathcal{C}$ 是一个半环（对交封闭，且差可写为有限不交并）。
生成 $\sigma$-代数: 进一步假设 $\mathcal{C}$ 能生成整个 $\sigma$-代数 $\Sigma$，即 $\sigma(\mathcal{C}) = \Sigma$。这是逼近得以实现的结构基础。
测度 $\mu$: 设 $\mu$ 是 $(X, \Sigma)$ 上的一个测度（非负、可数可加，$\mu(\emptyset)=0$）。我们要求 $\mu$ 在 $\mathcal{C}$ 上是 $\sigma$-有限的，即存在一列 $\{C_n\} \subset \mathcal{C}$ 使得 $X = \bigcup_{n=1}^\infty C_n$ 且 $\mu(C_n) < \infty$ 对所有 $n$ 成立。这保证了测度“可控”，便于处理。

定理的陈述
可测空间上测度的正则逼近定理通常有以下两种等价或相关的形式：

形式一（内逼近与外逼近）:
设 $(X, \Sigma)$ 为可测空间，$\mathcal{C} \subset \Sigma$ 是一个 $\pi$-系且 $\sigma(\mathcal{C}) = \Sigma$。设 $\mu$ 是 $(X, \Sigma)$ 上的一个测度，且 $\mu$ 在 $\mathcal{C}$ 上是 $\sigma$-有限的。则对任意 $E \in \Sigma$ 和任意 $\epsilon > 0$，有：

(内逼近) 存在集合 $F \in \mathcal{A}(\mathcal{C})$（即由 $\mathcal{C}$ 通过有限不交并运算生成的代数）使得 $F \subset E$ 且 $\mu(E \setminus F) < \epsilon$。
更进一步，如果 $\mu(E) < \infty$，则存在一列 $\{F_n\} \subset \mathcal{A}(\mathcal{C})$ 使得 $F_n \subset E$ 且 $\mu(E) = \lim_{n\to\infty} \mu(F_n) = \sup_n \mu(F_n)$。

形式二（一致逼近/单调类定理推论）:
在相同的假设下，定义集类 $\mathcal{L} = \{ E \in \Sigma : \forall \epsilon >0, \exists C \in \mathcal{C}, D \in \mathcal{A}(\mathcal{C}) \text{ 使得 } D \subset E \subset C \text{ 且 } \mu(C \setminus D) < \epsilon \}$。可以证明 $\mathcal{L}$ 是一个包含 $\mathcal{C}$ 的 $\lambda$-系（对真差和可数不交并封闭）。由 $\pi$-$\lambda$定理（单调类定理的一种），因为$\mathcal{C}$是$\pi$-系且生成 $\Sigma$，所以 $\mathcal{L} = \Sigma$。这意味着任何可测集都可以“夹”在生成类 $\mathcal{C}$ 中的集合（外近似）和其生成的代数中的集合（内近似）之间，且测度差任意小。

定理的证明思路
证明的核心是应用单调类定理或**$\pi$-$\lambda$定理**。

步骤1: 定义“好集”类 $\mathcal{L}$，如上文形式二中所定义，即那些可以用 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 从内外逼近的可测集。
步骤2: 验证 $\mathcal{L}$ 是一个 $\lambda$-系。这需要检查：

$X \in \mathcal{L}$。（利用 $\sigma$-有限性，用 $\mathcal{C}$ 中的集合并来构造逼近）
若 $A, B \in \mathcal{L}$ 且 $A \subset B$，则 $B \setminus A \in \mathcal{L}$。（利用逼近集的差运算来构造新集的逼近）
若 $\{A_n\} \subset \mathcal{L}$ 是一列互不相交的集合，则 $\bigcup_n A_n \in \mathcal{L}$。（利用逼近集的有限并和极限操作，结合 $\epsilon/2^n$ 技巧）

步骤3: 验证 $\mathcal{C} \subset \mathcal{L}$。这是显然的，因为对 $C \in \mathcal{C}$，可取 $D=C$ 和 $C$ 自身作为逼近。
步骤4: 应用 $\pi$-$\lambda$定理。因为$\mathcal{C}$是一个生成$\Sigma$的$\pi$-系，且 $\mathcal{L}$是一个包含$\mathcal{C}$的$\lambda$-系，所以 $\mathcal{L} = \sigma(\mathcal{C}) = \Sigma$。这就证明了所有可测集都属于 $\mathcal{L}$，即可以被逼近。

关键推论与应用

测度的唯一性: 这是该定理最经典的应用。如果两个测度 $\mu, \nu$ 在生成 $\Sigma$ 的 $\pi$-系 $\mathcal{C}$ 上相等（即 $\mu(C) = \nu(C)$ 对所有 $C \in \mathcal{C}$ 成立），并且它们在 $\mathcal{C}$ 上都是 $\sigma$-有限的，那么 $\mu = \nu$ 在整个 $\sigma$-代数 $\Sigma$ 上成立。证明：对任意 $E \in \Sigma$，用 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 中的集合 $F_n$ 从内部逼近，由 $\mu(F_n) = \nu(F_n)$ 及单调收敛性可得 $\mu(E) = \nu(E)$。
测度构造的验证: 当我们想通过一个集类 $\mathcal{C}$ 上的集函数 $\mu_0$ 来构造一个测度时，需要验证其可数可加性。有时在 $\mathcal{C}$ 上验证更容易。一旦构造出测度 $\mu$，正则逼近定理保证了 $\mu$ 在其定义域 $\Sigma$ 上的性质（如某种连续性）可以由其在 $\mathcal{C}$ 上的性质“逼近”出来。
与拓扑正则性的联系: 当 $X$ 是拓扑空间且 $\Sigma$ 是其博雷尔 $\sigma$-代数时，若取 $\mathcal{C}$ 为所有开集（或所有闭集）构成的 $\pi$-系，则该定理蕴含了测度的外正则性或内正则性。此时的“逼近”具有了明确的几何（拓扑）意义。

与已学概念的联系与区别

区别于卡拉西奥多里延拓定理: 卡拉西奥多里定理告诉我们如何将一个外测度限制为可测集上的测度，核心是“用开集覆盖”来定义外测度。而正则逼近定理处理的是测度已经存在的情况下，如何用“小”集类（生成元）的值来逼近它在整个 $\sigma$-代数上的值。前者是“构造”，后者是“表示/逼近”。
区别于单调类/$\pi$-$\lambda$定理**: 单调类定理是一个集合代数的工具，断言如果一个集类是 $\lambda$-系且包含一个 $\pi$-系，则它包含该 $\pi$-系生成的 $\sigma$-代数。正则逼近定理是单调类定理的一个非平凡的应用实例**，它利用该工具得到了关于测度逼近的实质性结论。
区别于勒贝格测度的正则性: 勒贝格测度的正则性（用开集超估、闭集低估）是正则逼近定理在特定拓扑空间（$\mathbb{R}^n$， $\mathcal{C}$ 为开集类）和特定测度（勒贝格测度）下的特例和具体实现。正则逼近定理剥离了拓扑，在抽象的测度空间框架下讨论问题。

总之，可测空间上测度的正则逼近定理是测度论中一个基本而强大的工具。它表明，一个 $\sigma$-有限测度在其生成 $\pi$-系上的取值，通过适当的逼近操作，完全决定了该测度在整个 $\sigma$-代数上的行为。这为证明测度唯一性、联系抽象测度与拓扑测度提供了统一的理论基础。

可测空间上测度的正则逼近定理（Regular Approximation Theorem for Measures on Measurable Spaces）背景与动机在研究测度论时，我们常常关心一个给定的测度能否用“性质更好”的集类上的值来逼近。例如，在勒贝格测度中，任何可测集的测度可以用开集从外部逼近、用闭集从内部逼近，这称为正则性。然而，在一个一般的可测空间 $(X, \Sigma)$ 上，拓扑结构可能缺失，我们无法直接谈论开集或闭集。正则逼近定理关心的是：给定一个测度 $\mu$ 和一个足够“好”的集类 $\mathcal{C} \subset \Sigma$（通常是一个 $\pi$-系或半环），能否用 $\mathcal{C}$ 中集合的测度，通过可数可加性操作（如并、交的极限）来逼近任何可测集 $E \in \Sigma$ 的测度 $\mu(E)$？这个定理肯定了在适当条件下这是可能的，并将 $\mathcal{C}$ 称为决定类。核心定义与前提可测空间 : 设 $X$ 是一个集合，$\Sigma$ 是 $X$ 上的一个 $\sigma$-代数。集类 $\mathcal{C}$ : 设 $\mathcal{C} \subset \Sigma$ 是一个非空集类。我们通常要求 $\mathcal{C}$ 是一个 $\pi$-系，即对任意 $A, B \in \mathcal{C}$，有 $A \cap B \in \mathcal{C}$。有时也要求 $\mathcal{C}$ 是一个半环（对交封闭，且差可写为有限不交并）。生成 $\sigma$-代数 : 进一步假设 $\mathcal{C}$ 能生成整个 $\sigma$-代数 $\Sigma$，即 $\sigma(\mathcal{C}) = \Sigma$。这是逼近得以实现的结构基础。测度 $\mu$ : 设 $\mu$ 是 $(X, \Sigma)$ 上的一个测度（非负、可数可加，$\mu(\emptyset)=0$）。我们要求 $\mu$ 在 $\mathcal{C}$ 上是 $\sigma$-有限的，即存在一列 $\{C_ n\} \subset \mathcal{C}$ 使得 $X = \bigcup_ {n=1}^\infty C_ n$ 且 $\mu(C_ n) < \infty$ 对所有 $n$ 成立。这保证了测度“可控”，便于处理。定理的陈述可测空间上测度的正则逼近定理通常有以下两种等价或相关的形式：形式一（内逼近与外逼近） : 设 $(X, \Sigma)$ 为可测空间，$\mathcal{C} \subset \Sigma$ 是一个 $\pi$-系且 $\sigma(\mathcal{C}) = \Sigma$。设 $\mu$ 是 $(X, \Sigma)$ 上的一个测度，且 $\mu$ 在 $\mathcal{C}$ 上是 $\sigma$-有限的。则对任意 $E \in \Sigma$ 和任意 $\epsilon > 0$，有： (内逼近) 存在集合 $F \in \mathcal{A}(\mathcal{C})$（即由 $\mathcal{C}$ 通过有限不交并运算生成的代数）使得 $F \subset E$ 且 $\mu(E \setminus F) < \epsilon$。更进一步，如果 $\mu(E) < \infty$，则存在一列 $\{F_ n\} \subset \mathcal{A}(\mathcal{C})$ 使得 $F_ n \subset E$ 且 $\mu(E) = \lim_ {n\to\infty} \mu(F_ n) = \sup_ n \mu(F_ n)$。形式二（一致逼近/单调类定理推论） : 在相同的假设下，定义集类 $\mathcal{L} = \{ E \in \Sigma : \forall \epsilon >0, \exists C \in \mathcal{C}, D \in \mathcal{A}(\mathcal{C}) \text{ 使得 } D \subset E \subset C \text{ 且 } \mu(C \setminus D) < \epsilon \}$。可以证明 $\mathcal{L}$ 是一个包含 $\mathcal{C}$ 的 $\lambda$-系（对真差和可数不交并封闭）。由 $\pi$-$\lambda$ 定理（单调类定理的一种），因为 $\mathcal{C}$ 是 $\pi$-系且生成 $\Sigma$，所以 $\mathcal{L} = \Sigma$。这意味着任何可测集都可以“夹”在生成类 $\mathcal{C}$ 中的集合（外近似）和其生成的代数中的集合（内近似）之间，且测度差任意小。定理的证明思路证明的核心是应用单调类定理或** $\pi$-$\lambda$定理** 。步骤1 : 定义“好集”类 $\mathcal{L}$，如上文形式二中所定义，即那些可以用 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 从内外逼近的可测集。步骤2 : 验证 $\mathcal{L}$ 是一个 $\lambda$-系。这需要检查： $X \in \mathcal{L}$。（利用 $\sigma$-有限性，用 $\mathcal{C}$ 中的集合并来构造逼近）若 $A, B \in \mathcal{L}$ 且 $A \subset B$，则 $B \setminus A \in \mathcal{L}$。（利用逼近集的差运算来构造新集的逼近）若 $\{A_ n\} \subset \mathcal{L}$ 是一列互不相交的集合，则 $\bigcup_ n A_ n \in \mathcal{L}$。（利用逼近集的有限并和极限操作，结合 $\epsilon/2^n$ 技巧）步骤3 : 验证 $\mathcal{C} \subset \mathcal{L}$。这是显然的，因为对 $C \in \mathcal{C}$，可取 $D=C$ 和 $C$ 自身作为逼近。步骤4 : 应用 $\pi$-$\lambda$ 定理。因为 $\mathcal{C}$ 是一个生成 $\Sigma$ 的 $\pi$-系，且 $\mathcal{L}$ 是一个包含 $\mathcal{C}$ 的 $\lambda$-系，所以 $\mathcal{L} = \sigma(\mathcal{C}) = \Sigma$。这就证明了所有可测集都属于 $\mathcal{L}$，即可以被逼近。关键推论与应用测度的唯一性 : 这是该定理最经典的应用。如果两个测度 $\mu, \nu$ 在生成 $\Sigma$ 的 $\pi$-系 $\mathcal{C}$ 上相等（即 $\mu(C) = \nu(C)$ 对所有 $C \in \mathcal{C}$ 成立），并且它们在 $\mathcal{C}$ 上都是 $\sigma$-有限的，那么 $\mu = \nu$ 在整个 $\sigma$-代数 $\Sigma$ 上成立。证明：对任意 $E \in \Sigma$，用 $\mathcal{A}(\mathcal{C})$ 中的集合 $F_ n$ 从内部逼近，由 $\mu(F_ n) = \nu(F_ n)$ 及单调收敛性可得 $\mu(E) = \nu(E)$。测度构造的验证 : 当我们想通过一个集类 $\mathcal{C}$ 上的集函数 $\mu_ 0$ 来构造一个测度时，需要验证其可数可加性。有时在 $\mathcal{C}$ 上验证更容易。一旦构造出测度 $\mu$，正则逼近定理保证了 $\mu$ 在其定义域 $\Sigma$ 上的性质（如某种连续性）可以由其在 $\mathcal{C}$ 上的性质“逼近”出来。与拓扑正则性的联系 : 当 $X$ 是拓扑空间且 $\Sigma$ 是其博雷尔 $\sigma$-代数时，若取 $\mathcal{C}$ 为所有开集（或所有闭集）构成的 $\pi$-系，则该定理蕴含了测度的外正则性或内正则性。此时的“逼近”具有了明确的几何（拓扑）意义。与已学概念的联系与区别区别于卡拉西奥多里延拓定理 : 卡拉西奥多里定理告诉我们如何将一个外测度限制为可测集上的测度，核心是“用开集覆盖”来定义外测度。而正则逼近定理处理的是测度已经存在的情况下，如何用“小”集类（生成元）的值来逼近它在整个 $\sigma$-代数上的值。前者是“构造”，后者是“表示/逼近”。区别于单调类/$\pi$-$\lambda$定理 : 单调类定理是一个集合代数的工具，断言如果一个集类是 $\lambda$-系且包含一个 $\pi$-系，则它包含该 $\pi$-系生成的 $\sigma$-代数。正则逼近定理是单调类定理的一个非平凡的应用实例，它利用该工具得到了关于测度逼近的实质性结论。区别于勒贝格测度的正则性 : 勒贝格测度的正则性（用开集超估、闭集低估）是正则逼近定理在特定拓扑空间（$\mathbb{R}^n$， $\mathcal{C}$ 为开集类）和特定测度（勒贝格测度）下的特例和具体实现。正则逼近定理剥离了拓扑，在抽象的测度空间框架下讨论问题。总之，可测空间上测度的正则逼近定理是测度论中一个基本而强大的工具。它表明，一个 $\sigma$-有限测度在其生成 $\pi$-系上的取值，通过适当的逼近操作，完全决定了该测度在整个 $\sigma$-代数上的行为。这为证明测度唯一性、联系抽象测度与拓扑测度提供了统一的理论基础。