黏弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题 黏弹性流体兼具黏性和弹性。斯托克斯第一问题和第二问题是描述这类流体在边界突然运动或振荡驱动下流动的两个经典模型。理解它们，需要从最简单的牛顿流体开始，逐步引入弹性效应。 首先，我们从基础背景和牛顿流体情形开始。 问题背景与牛顿流体解 ： 斯托克斯第一问题 （又称“Rayleigh问题”）： 考虑一个充满静止流体的半无限空间（y ≥ 0）。在初始时刻t=0，与流体接触的无限大平板（y=0）突然以其自身平面内以恒定速度U开始运动。问题是求解流体速度随时间和空间（y方向）的演变。 牛顿流体（Navier-Stokes方程简化） ： 对于不可压缩牛顿流体，在忽略压力梯度、只考虑一维流动的假设下，控制方程为扩散型方程： ∂u/∂t = ν ∂²u/∂y² 其中u(y,t)是流体在x方向的速度，ν是运动黏度。初始条件：u(y,0)=0 (y>0)；边界条件：u(0,t)=U (t>0), u(∞,t)=0。 解 ： 此方程存在相似性解，引入相似变量η = y/√(νt)，解可表示为：u(y,t) = U * erfc(η/2) = U * [ 1 - erf(η/2) ]，其中erf是误差函数。速度剖面以扩散方式√(νt)向流体内部传播。剪切应力（正比于速度梯度∂u/∂y）在壁面处随时间衰减如1/√t。 引入黏弹性本构关系 ： 黏弹性流体的应力不仅依赖于当前的应变率（如牛顿流体），还依赖于变形历史。最简单的线性黏弹性模型是 麦克斯韦（Maxwell）流体模型 ，其本构方程为一阶线性微分方程： τ + λ ∂τ/∂t = η₀ ∂u/∂y 其中，τ(y,t)是剪应力，λ是松弛时间（弹性特征时间），η₀是零剪切黏度。当λ→0，简化为牛顿流体（τ = η₀ ∂u/∂y）。 此模型描述了应力松弛现象：若突然施加一个应变并保持，应力会随时间指数衰减（τ ∝ e^(-t/λ)）。 黏弹性流体的斯托克斯第一问题 ： 对于麦克斯韦流体，动量方程（忽略惯性）为：ρ ∂u/∂t = ∂τ/∂y，其中ρ是密度。将其与本构方程联立，消去τ，得到关于速度u的方程： ∂u/∂t + λ ∂²u/∂t² = ν ∂²u/∂y² 这里ν = η₀/ρ。这是一个 双曲型 方程（对比牛顿流体的抛物型），称为“电报方程”或“阻尼波动方程”。 这个方程揭示了一个关键物理：弹性引入后，扰动（剪切）以 波 的形式传播，而非无限快的扩散。其波速为c_ s = √(ν/λ) = √(η₀/(ρλ))。同时，λ ∂²u/∂t²项代表加速度引起的惯性效应（在本简化模型中与弹性效应耦合出现）。 解的物理内涵 ： 在初始瞬间，由于弹性效应，剪切扰动以有限波速c_ s传播，波前位置在y = c_ s t。波前之前（y > c_ s t）的流体完全静止。 波前之后，由于黏性耗散，波阵面变得弥散，速度剖面逐渐平滑。当时间t >> λ（远大于松弛时间）时，弹性效应的影响减弱，解趋近于牛顿流体的扩散型解。 壁面剪切应力在初始时刻有一个瞬时弹性响应，随后松弛。 黏弹性流体的斯托克斯第二问题 ： 问题描述 ： 平板在自身平面内做 简谐振荡 ，即壁面速度u(0,t) = U cos(ωt) 或 U e^(-iωt)的实部。我们关心流体的周期性稳态响应。 牛顿流体解 ： 对扩散方程寻求形式解u(y,t)=Re[ F(y)e^(-iωt) ]，得到著名的“振荡斯托克斯层”解： u(y,t) = U e^(-κy) cos(ωt - κy)，其中κ = √(ω/(2ν))。 速度随离壁面距离y指数衰减，并伴有相位滞后。特征穿透厚度为δ ~ 1/κ ~ √(ν/ω)。 麦克斯韦流体解 ： 对电报方程（或直接从本构方程和动量方程出发）做同样的简谐假设。求解过程涉及复数运算。最终解的幅度和相位不仅依赖于ω和ν，还依赖于 无量纲的德博拉数（Deborah number） De = λω。 解的物理内涵 ： 当De < < 1（振荡非常慢，或材料松弛很快），弹性效应不明显，解近似于牛顿流体解。 当De >> 1（振荡非常快，或材料松弛很慢），弹性效应主导。解表现出类似 剪切波 的特性：速度剖面以较小的衰减率传播，相位随y线性变化，波长远小于牛顿流的穿透厚度。 壁面剪切应力与壁面速度的比值定义了复阻抗，其相位差（应力超前速度的角度）在0°（纯黏性）到90°（纯弹性）之间变化，是流变学中测量线性黏弹性的理论基础。 总结来说，黏弹性流体中的斯托克斯问题清晰地展示了材料记忆效应（通过松弛时间λ表征）如何从根本上改变流动的时空结构：从纯粹的扩散（抛物型）行为转变为波动（双曲型）行为。第一问题展现了启动瞬间的波传播和历史依赖性，而第二问题则揭示了振荡驱动下，黏性耗散与弹性储能之间的竞争，以及其如何影响动量的空间穿透深度和相位关系。它们是理解更复杂非牛顿流体动力学的基石。