单调函数
字数 1859 2025-10-26 09:01:44

单调函数

  1. 基本定义
    单调函数是定义在实数集（或其某个区间）上的一类重要的函数。它的核心特征是函数值的变化方向始终保持一致。
  • 单调递增： 如果对于定义域内任意两点 \(x_1\) 和 \(x_2\)，只要 \(x_1 < x_2\)，就有 \(f(x_1) \leq f(x_2)\)，则称函数 \(f\) 是单调递增的（或非减的）。
  • 严格单调递增： 如果将上述不等式加强为 \(f(x_1) < f(x_2)\)，则称 \(f\) 是严格单调递增的。
  • 单调递减： 如果对于 \(x_1 < x_2\)，有 \(f(x_1) \geq f(x_2)\)，则称 \(f\) 是单调递减的（或非增的）。
  • 严格单调递减： 如果对于 \(x_1 < x_2\)，有 \(f(x_1) > f(x_2)\)，则称 \(f\) 是严格单调递减的。
  1. 初步性质与例子
    单调函数在我们的直观中非常容易理解，例如 \(f(x) = x\) 是严格递增的，而 \(f(x) = e^x\) 也是严格递增的。单调函数有一些良好的初等性质：
    • 可逆性： 严格单调函数是单射（一一映射），因此在其值域上存在反函数。
  • 有界性： 定义在闭区间 \([a, b]\) 上的单调函数必然是有界的（上界是 \(f(b)\)，下界是 \(f(a)\)，对于递增函数而言）。
  • 间断点类型： 单调函数的间断点只能是第一类间断点（即跳跃间断点）。也就是说，在间断点 \(x_0\) 处，左极限 \(f(x_0-)\) 和右极限 \(f(x_0+)\) 都存在，但不相等（或者与函数值不相等）。
  1. 实分析中的深刻性质：几乎处处可微
    这是实变函数论中关于单调函数的一个核心且深刻的定理，它揭示了单调函数与微分之间的基本关系。
  • 定理陈述： 如果函数 \(f\) 是定义在区间 \([a, b]\) 上的单调函数（无论是递增还是递减），那么 \(f\) 在 \([a, b]\) 上几乎处处可微。
    • 理解要点：
      • “几乎处处” 你已经学过，它意味着“除了一个勒贝格零测集以外的所有点”。这个定理告诉我们，一个单调函数可能在某些点不可导（甚至可能有无限多个间断点），但这些“坏点”的总和是如此的“小”（零测集），以至于我们可以放心地认为这个函数在绝大多数点都是光滑可导的。
      • 这个定理的证明非常复杂，通常依赖于维塔利覆盖定理，它超出了初等的范围。但其结论至关重要，它将函数的单调性（一种全局的、定性的性质）与其可微性（一种局部的、定量的性质）深刻地联系了起来。
  1. 有界变差函数：单调函数的扩展
    单调函数虽然性质良好，但类别过于狭窄。很多重要的函数（如物理学中的路径函数）并不是单调的。我们能否将单调函数的良好性质（特别是“几乎处处可微”）推广到更广泛的函数族上？答案是肯定的，这就是有界变差函数。
  • 定义： 设 \(f\) 是定义在 \([a, b]\) 上的函数。对区间 \([a, b]\) 作任意一个分割 \(P: a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b\)，考虑函数值在这些分点上的变差和：

\[ V_a^b(f, P) = \sum_{i=1}^{n} |f(x_i) - f(x_{i-1})| \]

这个和直观上度量了函数 \(f\) 的图像沿着分割 \(P\) 的“总起伏”。然后，我们定义 \(f\) 在 \([a, b]\) 上的全变差 为所有可能分割对应的变差和的上确界：

\[ T_V(f) = \sup\{ V_a^b(f, P) : P是[a,b]的分割 \} \]

如果 \(T_V(f) < +\infty\)，我们就称 \(f\) 是 \([a, b]\) 上的有界变差函数。

  • 与单调函数的关系： 一个关键结论是，任何有界变差函数都可以表示为两个单调递增函数之差。即，若 \(f\) 是有界变差函数，则存在单调递增函数 \(g\) 和 \(h\)，使得 \(f = g - h\)。
    • 继承的性质： 由于有界变差函数是两个单调函数之差，而单调函数几乎处处可微，因此有界变差函数也几乎处处可微。这使得有界变差函数成为实分析中研究微分和积分关系时一个非常重要的函数类。
单调函数 基本定义 单调函数是定义在实数集（或其某个区间）上的一类重要的函数。它的核心特征是函数值的变化方向始终保持一致。 单调递增 ： 如果对于定义域内任意两点 \( x_ 1 \) 和 \( x_ 2 \)，只要 \( x_ 1 < x_ 2 \)，就有 \( f(x_ 1) \leq f(x_ 2) \)，则称函数 \( f \) 是单调递增的（或非减的）。 严格单调递增 ： 如果将上述不等式加强为 \( f(x_ 1) < f(x_ 2) \)，则称 \( f \) 是严格单调递增的。 单调递减 ： 如果对于 \( x_ 1 < x_ 2 \)，有 \( f(x_ 1) \geq f(x_ 2) \)，则称 \( f \) 是单调递减的（或非增的）。 严格单调递减 ： 如果对于 \( x_ 1 < x_ 2 \)，有 \( f(x_ 1) > f(x_ 2) \)，则称 \( f \) 是严格单调递减的。 初步性质与例子 单调函数在我们的直观中非常容易理解，例如 \( f(x) = x \) 是严格递增的，而 \( f(x) = e^x \) 也是严格递增的。单调函数有一些良好的初等性质： 可逆性 ： 严格单调函数是单射（一一映射），因此在其值域上存在反函数。 有界性 ： 定义在闭区间 \([ a, b ]\) 上的单调函数必然是有界的（上界是 \( f(b) \)，下界是 \( f(a) \)，对于递增函数而言）。 间断点类型 ： 单调函数的间断点只能是 第一类间断点 （即跳跃间断点）。也就是说，在间断点 \( x_ 0 \) 处，左极限 \( f(x_ 0-) \) 和右极限 \( f(x_ 0+) \) 都存在，但不相等（或者与函数值不相等）。 实分析中的深刻性质：几乎处处可微 这是实变函数论中关于单调函数的一个核心且深刻的定理，它揭示了单调函数与微分之间的基本关系。 定理陈述 ： 如果函数 \( f \) 是定义在区间 \([ a, b]\) 上的单调函数（无论是递增还是递减），那么 \( f \) 在 \([ a, b]\) 上 几乎处处 可微。 理解要点 ： “几乎处处” 你已经学过，它意味着“除了一个勒贝格零测集以外的所有点”。这个定理告诉我们，一个单调函数可能在某些点不可导（甚至可能有无限多个间断点），但这些“坏点”的总和是如此的“小”（零测集），以至于我们可以放心地认为这个函数在绝大多数点都是光滑可导的。 这个定理的证明非常复杂，通常依赖于 维塔利覆盖定理 ，它超出了初等的范围。但其结论至关重要，它将函数的单调性（一种全局的、定性的性质）与其可微性（一种局部的、定量的性质）深刻地联系了起来。 有界变差函数：单调函数的扩展 单调函数虽然性质良好，但类别过于狭窄。很多重要的函数（如物理学中的路径函数）并不是单调的。我们能否将单调函数的良好性质（特别是“几乎处处可微”）推广到更广泛的函数族上？答案是肯定的，这就是 有界变差函数 。 定义 ： 设 \( f \) 是定义在 \([ a, b]\) 上的函数。对区间 \([ a, b]\) 作任意一个分割 \( P: a = x_ 0 < x_ 1 < ... < x_ n = b \)，考虑函数值在这些分点上的变差和： \[ V_ a^b(f, P) = \sum_ {i=1}^{n} |f(x_ i) - f(x_ {i-1})| \] 这个和直观上度量了函数 \( f \) 的图像沿着分割 \( P \) 的“总起伏”。然后，我们定义 \( f \) 在 \([ a, b]\) 上的 全变差 为所有可能分割对应的变差和的上确界： \[ T_ V(f) = \sup\{ V_ a^b(f, P) : P是[ a,b ]的分割 \} \] 如果 \( T_ V(f) < +\infty \)，我们就称 \( f \) 是 \([ a, b]\) 上的 有界变差函数 。 与单调函数的关系 ： 一个关键结论是，任何有界变差函数都可以表示为两个单调递增函数之差。即，若 \( f \) 是有界变差函数，则存在单调递增函数 \( g \) 和 \( h \)，使得 \( f = g - h \)。 继承的性质 ： 由于有界变差函数是两个单调函数之差，而单调函数几乎处处可微，因此有界变差函数也 几乎处处可微 。这使得有界变差函数成为实分析中研究微分和积分关系时一个非常重要的函数类。