傅里叶方法在偏微分方程中的基本应用
傅里叶方法，特别是傅里叶级数和傅里叶变换，是求解线性偏微分方程初边值问题的核心工具。其核心思想是利用特征函数（通常是三角函数或复指数函数）的完备正交性，将方程和定解条件转换到频率域（或称谱空间）中进行求解，最后再通过叠加（或积分）回到物理空间。我们从最基础的场景开始，循序渐进地理解这一强有力框架。
第一步：从物理模型与分离变量法的启发
考虑一个最经典的物理模型：一维有界弦的自由振动问题，其控制方程为齐次波动方程，并带有齐次边界条件。
\[u_{tt} = c^2 u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \]
边界条件：
\[u(0, t) = 0, \quad u(L, t) = 0 \]
初始条件：
\[u(x, 0) = f(x), \quad u_t(x, 0) = g(x) \]
- 分离变量尝试：我们设试探解为 \(u(x, t) = X(x)T(t)\)。代入方程并整理可得：
\[ \frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda \]
其中 \(\lambda\) 是分离常数。这得到了两个常微分方程：
\[ X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad T''(t) + c^2 \lambda T(t) = 0 \]
- 求解空间本征值问题：由边界条件 \(u(0,t)=X(0)T(t)=0\) 和 \(u(L,t)=X(L)T(t)=0\)， 我们得到 \(X(0)=0, X(L)=0\)。求解 \(X''+\lambda X=0\) 满足这些边界条件，构成了一个施图姆-刘维尔本征值问题。
- 只有当 \(\lambda = \lambda_n = (\frac{n\pi}{L})^2, n=1,2,3,...\) 时，才有非零解（本征函数）：
\[ X_n(x) = \sin(\frac{n\pi x}{L}) \]
- 求解时间部分：对应每个 \(\lambda_n\)，时间方程变为 \(T_n'' + (c n\pi / L)^2 T_n = 0\)，其解为正弦和余弦的线性组合：
\[ T_n(t) = A_n \cos(\frac{c n\pi t}{L}) + B_n \sin(\frac{c n\pi t}{L}) \]
- 叠加得到一般解：因此，原偏微分方程满足边界条件的解，是所有这些“模态”的线性叠加：
\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(\frac{c n\pi t}{L}) + B_n \sin(\frac{c n\pi t}{L}) \right] \sin(\frac{n\pi x}{L}) \]
至此，我们已经自然地引入了三角函数（正弦函数）的无穷级数。现在，问题转化为如何确定系数 \(A_n\) 和 \(B_n\)，使其满足初始条件。这恰好是傅里叶级数要解决的问题。
第二步：傅里叶正弦级数展开与系数确定
利用初始条件：
- \(u(x,0) = f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(\frac{n\pi x}{L})\)
- \(u_t(x,0) = g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{c n\pi}{L} B_n \right) \sin(\frac{n\pi x}{L})\)
我们看到，这要求将已知函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([0, L]\) 上展开为仅含正弦项的傅里叶级数。正弦函数族 \(\{ \sin(\frac{n\pi x}{L}) \}_{n=1}^\infty\) 在 \([0,L]\) 上是正交完备的，其正交性为：
\[\int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L}) \sin(\frac{m\pi x}{L}) dx = \frac{L}{2} \delta_{nm} \]
其中 \(\delta_{nm}\) 是克罗内克δ符号（\(n=m\)时为1，否则为0）。
利用正交性，我们可以“投影”出系数。例如，对 \(f(x)\) 的展开式两边乘以 \(\sin(\frac{m\pi x}{L})\) 并在 \([0,L]\) 上积分：
\[\int_0^L f(x) \sin(\frac{m\pi x}{L}) dx = \sum_{n=1}^\infty A_n \int_0^L \sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi x}{L}) dx = A_m \cdot \frac{L}{2} \]
因此，
\[A_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx \]
类似地，
\[B_n = \frac{2}{c n \pi} \int_0^L g(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx \]
第三步：推广到其他齐次边界条件与本征函数系
傅里叶方法不仅限于 \(u=0\) 的边界条件。对于一维空间问题，常见的齐次边界条件组合会产生不同的完备正交本征函数系：
- 狄利克雷条件 (两端固定)： \(u(0)=u(L)=0\) → 正弦级数 \(\{ \sin(\frac{n\pi x}{L}) \}\)
- 诺伊曼条件 (两端自由)： \(u_x(0)=u_x(L)=0\) → 余弦级数 \(\{ \cos(\frac{n\pi x}{L}) \}\)， 常数项 (\(n=0\)) 对应零本征值。
- 混合条件 (一端固定一端自由)： \(u(0)=0, u_x(L)=0\) → 函数系 \(\{ \sin(\frac{(n-1/2)\pi x}{L}) \}\)
求解步骤完全一致：1) 通过分离变量得到空间本征值问题；2) 求解得到本征值和本征函数；3) 将解表示为以本征函数为基的级数；4) 利用初始条件（有时是非齐次项）和本征函数的正交性确定系数。
第四步：从傅里叶级数到傅里叶变换——处理无界域问题
当空间区域是整个实数轴 \((-\infty, \infty)\) 时，例如一维无限长弦的振动或无限长杆的热传导，边界条件被“在无穷远处有界”所替代。此时，分离变量常数 \(\lambda\) 的取值不再是离散的，而是连续的。
考虑齐次热传导方程初值问题（柯西问题）：
\[u_t = \alpha^2 u_{xx}, \quad -\infty < x < \infty, \quad t > 0 \]
\[ u(x, 0) = f(x) \]
形式上，分离变量 \(u(x,t)=X(x)T(t)\) 仍得到 \(X'' + k^2 X = 0\)，其中 \(k^2\) 是分离常数（这里写作 \(k^2\) 以便后续处理）。与有界域的关键区别在于，没有边界条件来量化k，因此 \(k\) 可以取任何实数值。对应于每个 \(k\)，空间函数是 \(e^{ikx}\)（或 \(\sin(kx), \cos(kx)\)）。
- 从离散求和到连续积分：在有界域，解是离散模态的叠加：\(u(x,t) = \sum_{n} T_n(t) X_n(x)\)。在无界域，解应表示为所有连续“模态” \(e^{ikx}\) 的叠加，即对 \(k\) 的积分：
\[ u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{u}(k, t) e^{ikx} dk \]
这恰好是傅里叶逆变换的形式，其中 \(\hat{u}(k, t)\) 是“时间依赖的频谱”。
- 在频率域求解：将上述表达式代入热方程。注意对 \(x\) 的偏导在积分号下变为乘以 \(ik\)：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial \hat{u}(k,t)}{\partial t} e^{ikx} dk = \alpha^2 \int_{-\infty}^{\infty} (-k^2) \hat{u}(k,t) e^{ikx} dk \]
由于 \(e^{ikx}\) 的完备性，这要求被积函数相等：
\[ \frac{\partial \hat{u}(k,t)}{\partial t} = -\alpha^2 k^2 \hat{u}(k,t) \]
这是一个关于 \(t\) 的常微分方程！ 其解为：
\[ \hat{u}(k,t) = \hat{u}(k,0) e^{-\alpha^2 k^2 t} \]
- 利用初始条件确定频谱：在 \(t=0\) 时，\(u(x,0)=f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{u}(k,0) e^{ikx} dk\)。这意味着 \(\hat{u}(k,0)\) 正是 \(f(x)\) 的傅里叶变换：
\[ \hat{u}(k,0) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(\xi) e^{-ik\xi} d\xi \]
（注：傅里叶变换有多种系数约定，这里采用常见的一种）。
- 综合得到解：将 \(\hat{u}(k,0)\) 的表达式代入，并利用傅里叶变换的卷积定理，最终可以得到解的封闭形式：
\[ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \alpha^2 t}} \int_{-\infty}^{\infty} f(\xi) e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4\alpha^2 t}} d\xi \]
这正是热传导方程初值问题的**基本解（热核）与初始函数的卷积**。
第五步：傅里叶方法的精髓与优势总结
傅里叶方法（级数/变换）的核心优势在于：
- 线性与叠加原理：它将复杂的线性偏微分方程，通过线性变换（傅里叶变换或按本征函数展开），分解为一系列解耦的、简单的常微分方程问题。每个频率分量独立演化。
- 对角化微分算子：对于常系数线性空间微分算子（如 \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)），傅里叶变换将其作用转化为乘法运算（\((ik)^2 = -k^2\)），极大地简化了计算。这是因为它以算子的本征函数 \(e^{ikx}\) 为基。
- 统一处理初值：初始条件被自然地转化为频率域的初始频谱，易于结合。
- 适用于多种方程：该方法同样成功地应用于波动方程、拉普拉斯/泊松方程（在某些方向上）、薛定谔方程等线性方程的定解问题。
通过从有界域的离散傅里叶级数，到无界域的连续傅里叶变换，我们看到了一个处理线性偏微分方程的统一谱方法框架。这是连接数学物理方程理论、泛函分析和应用科学的重要桥梁。