双曲抛物面的主曲率计算
首先，我们需要明确双曲抛物面的标准方程形式，以便后续计算。双曲抛物面的一种常见方程为 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)（其中 \(a, b > 0\)），这是一个典型的鞍形曲面，在高斯曲率计算中我们已知其高斯曲率为负。
第一步：曲面的参数化
为了计算主曲率，我们先将曲面参数化。令：
\[\mathbf{r}(u, v) = \left( u, v, \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2} \right) \]
这里 \(u = x\)，\(v = y\)。
第二步：计算第一基本形式系数
对参数求偏导：
\[\mathbf{r}_u = \left( 1, 0, \frac{2u}{a^2} \right), \quad \mathbf{r}_v = \left( 0, 1, -\frac{2v}{b^2} \right) \]
则第一基本形式的系数为：
\[E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u = 1 + \frac{4u^2}{a^4}, \quad F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v = -\frac{4uv}{a^2 b^2}, \quad G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v = 1 + \frac{4v^2}{b^4} \]
第三步：计算单位法向量
先求 \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\)：
\[\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & \frac{2u}{a^2} \\ 0 & 1 & -\frac{2v}{b^2} \end{vmatrix} = \left( -\frac{2u}{a^2}, \frac{2v}{b^2}, 1 \right) \]
其模长为：
\[|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = \sqrt{ \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4} + 1 } \]
因此单位法向量为：
\[\mathbf{N} = \frac{ \left( -\frac{2u}{a^2}, \frac{2v}{b^2}, 1 \right) }{ \sqrt{ 1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4} } } \]
第四步：计算第二基本形式系数
需要二阶偏导：
\[\mathbf{r}_{uu} = \left(0, 0, \frac{2}{a^2}\right), \quad \mathbf{r}_{uv} = (0,0,0), \quad \mathbf{r}_{vv} = \left(0, 0, -\frac{2}{b^2}\right) \]
则第二基本形式系数为：
\[L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{N} = \frac{2}{a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}}} \]
\[M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{N} = 0 \]
\[N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{N} = -\frac{2}{b^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}}} \]
记分母为 \(D = \sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}}\)，则：
\[L = \frac{2}{a^2 D}, \quad M = 0, \quad N = -\frac{2}{b^2 D} \]
第五步：主曲率公式
主曲率 \(\kappa_1, \kappa_2\) 是方程：
\[(EG - F^2) \kappa^2 - (EN + GL - 2FM) \kappa + (LN - M^2) = 0 \]
的解。代入已计算的系数：
先计算：
\[EG - F^2 = \left(1 + \frac{4u^2}{a^4}\right)\left(1 + \frac{4v^2}{b^4}\right) - \frac{16 u^2 v^2}{a^4 b^4} = 1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4} \]
正好有 \(EG - F^2 = D^2\)。
又：
\[EN + GL - 2FM = E N + G L = \left(1 + \frac{4u^2}{a^4}\right) \left(-\frac{2}{b^2 D}\right) + \left(1 + \frac{4v^2}{b^4}\right) \left(\frac{2}{a^2 D}\right) \]
以及：
\[LN - M^2 = \left(\frac{2}{a^2 D}\right) \left(-\frac{2}{b^2 D}\right) = -\frac{4}{a^2 b^2 D^2} \]
第六步：简化主曲率方程
将 \(LN - M^2\) 代入，方程变为：
\[D^2 \kappa^2 - (EN + GL) D \kappa - \frac{4}{a^2 b^2 D^2} = 0 \]
但更直接地，利用 \(M=0\) 时主曲率公式可简化为：
\[\kappa_1, \kappa_2 = \frac{EN + GL \pm \sqrt{(EN - GL)^2 + 4(EM)(FN)}}{2(EG - F^2)} \]
由于 \(M=0\)，且 \(F \neq 0\) 但 \(EM = FN = 0\)，所以根号内只剩 \((EN - GL)^2\)。
因此：
\[\kappa_1 = \frac{L}{E}, \quad \kappa_2 = \frac{N}{G} \]
当 \(F = M = 0\) 时成立吗？检查：在 \(M=0\) 时，如果 \(F=0\)，则 \((u,v)\) 是曲率线坐标，主曲率就是 \(L/E\) 和 \(N/G\)。但此处 \(F \neq 0\)，所以不能直接使用这个简单公式。我们需要回到完整方程。
第七步：完整解主曲率
代入系数计算：
\[EN + GL = \left(1 + \frac{4u^2}{a^4}\right)\left(-\frac{2}{b^2 D}\right) + \left(1 + \frac{4v^2}{b^4}\right)\left(\frac{2}{a^2 D}\right) \]
记 \(A = 1 + \frac{4u^2}{a^4}\)，\(B = 1 + \frac{4v^2}{b^4}\)，则：
\[EN + GL = \frac{2}{D} \left( \frac{B}{a^2} - \frac{A}{b^2} \right) \]
那么方程 \(D^2 \kappa^2 - (EN+GL)\kappa + (LN - M^2) = 0\) 成为：
\[D^2 \kappa^2 - \frac{2}{D} \left( \frac{B}{a^2} - \frac{A}{b^2} \right) \kappa - \frac{4}{a^2 b^2 D^2} = 0 \]
乘以 \(D^2\) 得：
\[D^4 \kappa^2 - 2D \left( \frac{B}{a^2} - \frac{A}{b^2} \right) \kappa - \frac{4}{a^2 b^2} = 0 \]
这是一个二次方程，解为：
\[\kappa = \frac{ 2D \left( \frac{B}{a^2} - \frac{A}{b^2} \right) \pm \sqrt{ 4D^2 \left( \frac{B}{a^2} - \frac{A}{b^2} \right)^2 + \frac{16 D^4}{a^2 b^2} } }{ 2 D^4 } \]
可进一步整理，但计算较繁。实际上，对于双曲抛物面，主曲率在原点 \((0,0)\) 有简单形式。
第八步：原点处的主曲率
在 \(u=0, v=0\) 时，有：
\(A=B=1\)，\(D=1\)，\(E=G=1\)，\(F=0\)，\(L = 2/a^2\)，\(M=0\)，\(N = -2/b^2\)。
此时 \(F=M=0\)，所以坐标线是曲率线，主曲率为：
\[\kappa_1 = L/E = \frac{2}{a^2}, \quad \kappa_2 = N/G = -\frac{2}{b^2} \]
二者异号，符合鞍形特性。
第九步：平均曲率与高斯曲率
平均曲率：
\[H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{a^2} - \frac{2}{b^2} \right) = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \]
高斯曲率：
\[K = \kappa_1 \kappa_2 = -\frac{4}{a^2 b^2} \]
这与之前已知的高斯曲率一致。在非原点处，主曲率随位置变化，但高斯曲率恒为负。
通过以上步骤，我们得到了双曲抛物面主曲率的计算方法，并在原点给出了具体值。对于任意点，可通过解上述二次方程得到主曲率，它们描述了曲面在该点沿主方向的弯曲程度。