紧算子 背景与动机 在泛函分析中，我们经常研究算子的性质与其在空间上的作用。对于无限维空间，有界线性算子（如恒等算子）可能不具备有限维空间中的良好性质（例如，单位球不是紧集）。紧算子是一类重要的算子，它通过将“无限维问题”转化为“近似有限维问题”来模拟有限维线性算子的行为，从而在积分方程、谱理论等领域有核心应用。 定义 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间，线性算子 \( T: X \to Y \) 称为 紧算子 （或称全连续算子），如果它将 \( X \) 中的任意有界集映射到 \( Y \) 中的相对紧集（即闭包为紧集）。等价定义：对 \( X \) 中的任意有界序列 \(\{x_ n\}\)，序列 \(\{Tx_ n\}\) 在 \( Y \) 中包含一个收敛子列。 关键性质 紧算子是连续的 ：若 \( T \) 紧，则 \( T \) 是有界线性算子（反之不成立，例如无限维空间中的恒等算子不是紧算子）。 紧算子构成闭子空间 ：所有从 \( X \) 到 \( Y \) 的紧算子集合 \( K(X, Y) \) 在算子范数下构成 \( B(X, Y) \)（有界算子空间）的闭子空间。 理想性质 ：若 \( T \) 紧，\( A \) 和 \( B \) 有界，则 \( ATB \) 紧（即紧算子在算子代数中构成双边理想）。 例子 有限秩算子 ：值域为有限维的算子必是紧算子。 积分算子 ：例如 \( T: C[ 0,1] \to C[ 0,1 ] \) 定义为 \[ (Tf)(x) = \int_ 0^1 K(x, y) f(y) \, dy, \] 其中核函数 \( K \) 连续，则 \( T \) 是紧算子。 极限行为 ：紧算子可被有限秩算子一致逼近（当 \( Y \) 具有逼近性质时）。 谱理论中的重要性 紧算子的谱理论类似于矩阵的谱定理： 非零谱点都是特征值，且特征值对应的特征空间是有限维的。 特征值序列（若无限）必趋于零，且零是谱中唯一可能的聚点。 这一性质为求解微分方程和积分方程提供了理论基础。