则该点是马鞍点。这个 Hessian 行列式在适当的参数化下正比于高斯曲率。

马鞍点的局部几何与高斯曲率 马鞍点是曲面上一类特殊的点，其局部形状类似于马鞍。要理解它，我们从曲面的局部近似开始。 曲面的二次近似与二次型 给定曲面 \( S \) 上一点 \( p \)，我们可以选择适当的局部坐标系，使得 \( p \) 为原点，且曲面在 \( p \) 附近近似为一个二次曲面。其方程可写为： \[ z = \frac{1}{2} (k_ 1 x^2 + k_ 2 y^2) + \text{高阶项} \] 其中，\( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 是曲面在点 \( p \) 处的 主曲率 。主曲率是曲面沿两个互相垂直的 主方向 弯曲程度的度量。 高斯曲率的符号与点分类 点 \( p \) 处的 高斯曲率 \( K \) 定义为两个主曲率的乘积：\( K = k_ 1 k_ 2 \)。 根据高斯曲率的符号，我们可以对点 \( p \) 进行分类： 椭圆点 (\( K > 0 \)) ：两个主曲率同号（都正或都负）。局部形状像碗口（凸或凹），所有法曲率不为零且同号。 双曲点 (\( K < 0 \)) ：两个主曲率异号（一正一负）。局部形状像马鞍。这正是 马鞍点 。 抛物点 (\( K = 0 \)) ：至少一个主曲率为零。局部形状像圆柱面或平面。 平点 (\( K = 0, \, 且所有方向法曲率为0 \)) ：是特殊的抛物点，局部近似为平面。 马鞍点（双曲点）的严格定义 曲面 \( S \) 上的点 \( p \) 称为 马鞍点 （或双曲点），如果在该点的高斯曲率 \( K(p) < 0 \)。 其核心几何特征是：在点 \( p \) 处，曲面沿不同主方向的弯曲方向相反。存在一个方向（对应正主曲率 \( k_ 1 > 0 \)），曲面向上弯（相对于法向量）；存在另一个与之垂直的方向（对应负主曲率 \( k_ 2 < 0 \)），曲面向下弯。 马鞍点的局部结构：渐近方向 在马鞍点处，由于 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 异号，根据法曲率的欧拉公式 \( k_ n = k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta \)，存在两个特殊的方向 \( \theta \)，使得法曲率 \( k_ n = 0 \)。这两个方向称为 渐近方向 。 沿渐近方向，曲面在点 \( p \) 的 二阶 近似下是平直的（如同沿该方向的切线）。 通过点 \( p \) 且处处以渐近方向为切方向的曲线，称为 渐近曲线 。在马鞍点附近，通常有两条渐近曲线穿过该点。 局部形状示例与判别 最简单的例子是 双曲抛物面 \( z = x^2 - y^2 \) 的原点。计算其主曲率：\( k_ 1 = 2, \, k_ 2 = -2 \)。高斯曲率 \( K = -4 < 0 \)，所以原点是马鞍点。 更一般地，对于由方程 \( z = f(x, y) \) 给出的曲面，若在点 \( p \) 满足 Hessian 行列式（即二阶偏导矩阵的行列式）小于零： \[ \text{det}(H_ f(p)) = f_ {xx}(p)f_ {yy}(p) - [ f_ {xy}(p)]^2 < 0 \] 则该点是马鞍点。这个 Hessian 行列式在适当的参数化下正比于高斯曲率。 几何意义与拓扑约束 马鞍点的存在意味着曲面在该点附近不是整体凸的。根据高斯-博内定理，一个封闭曲面（如球面、环面）上的总高斯曲率是一个拓扑不变量。对于环面（亏格为1），其总高斯曲率为0，这意味着其上必须有正曲率、负曲率和零曲率的区域，马鞍点（负曲率点）是必然存在的。事实上，任何亏格大于0的曲面（如多孔洞的曲面）都必须包含马鞍点。 总结：马鞍点是曲面上的双曲点，由其负的高斯曲率定义。其局部几何由两个符号相反的主曲率和两个法曲率为零的渐近方向刻画，是研究曲面局部与整体几何不可或缺的基本概念。