圆周角 我们先从一个圆开始。在一个圆O上，取三个点A、B、C，它们都在圆周上。连接AB、AC和BC，我们就得到了一个圆的内接三角形ABC。现在，请你把注意力集中在顶点A上。这个顶点A是由两条弦（AB和AC）构成的。我们把∠BAC称为 圆周角 。 具体来说，圆周角的定义是：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。在这个例子里，∠BAC的顶点A在圆上，它的两边AB和AC都是圆的弦，所以它是一个标准的圆周角。 与圆周角紧密相关的一个概念是 圆心角 。圆心角的定义是：顶点在圆心的角。比如，如果我们看上面那个例子，∠BAC（圆周角）所对的弧是弧BC。那么，弧BC所对的圆心角就是∠BOC（O是圆心）。 现在，我们来探讨圆周角最核心、最重要的一个性质： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也就是说，在上面的例子中，∠BAC = 1/2 ∠BOC。 为什么这个性质成立呢？我们可以分三种情况来证明，以确保严谨性： 圆心在圆周角的一边上： 这是最简单的情况。如图，圆心O正好在弦AB（或AC）上。这时，三角形OAC是等腰三角形（因为OA和OC都是半径）。所以，∠OAC = ∠OCA。我们又知道，∠BOC是三角形OAC的外角，等于两个不相邻的内角之和，即∠BOC = ∠OAC + ∠OCA = 2∠OAC。因此，∠OAC（也就是圆周角∠BAC）就等于(1/2)∠BOC。 圆心在圆周角的内部： 这种情况稍微复杂一点。圆心O在∠BAC的内部。这时，我们可以作一条直径AD，将圆周角∠BAC分成两个角：∠BAD和∠DAC。同时，圆心角∠BOC也被分成了∠BOD和∠DOC。根据第一种情况，我们有∠BAD = 1/2 ∠BOD， ∠DAC = 1/2 ∠DOC。将这两个等式相加，就得到∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = 1/2 (∠BOD + ∠DOC) = 1/2 ∠BOC。 圆心在圆周角的外部： 最后一种情况，圆心O在∠BAC的外部。同样，我们作直径AD。这时，∠BAC被表示为两个角的差：∠DAC - ∠DAB。同样根据第一种情况，∠DAC = 1/2 ∠DOC， ∠DAB = 1/2 ∠DOB。两式相减，得到∠BAC = ∠DAC - ∠DAB = 1/2 (∠DOC - ∠DOB) = 1/2 ∠BOC。 通过以上三种情况的证明，我们确信“圆周角等于同弧所对圆心角的一半”这个定理是普遍成立的。 从这个基本定理，我们可以推导出几个非常重要的推论： 推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等。 因为同一条弧所对的圆心角是固定的，那么它所对的圆周角自然都等于这个圆心角的一半，所以它们彼此相等。这个推论非常有用，常用来证明角度相等。 推论二：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。 这是因为半圆所对的圆心角是一个平角（180°）。那么，它所对的圆周角就等于180°的一半，也就是90°。这是一个判断直角三角形的重要方法：如果一个三角形的斜边是圆的直径，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角定理及其推论是解决大量几何问题的基础工具，它们将圆中的角度关系清晰地联系起来，是几何学中非常优美和实用的一个部分。