粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题

字数 3133 2025-12-13 17:24:38

粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题

我们从基础概念出发，循序渐进地讲解粘弹性流体中的这两个经典问题。

第一步：背景与基本模型建立

首先，我们需要明确讨论的“粘弹性流体”是什么。它与我们熟知的牛顿流体（如水、空气，其应力与应变率成正比）不同，粘弹性流体兼具“粘性”和“弹性”。在受到剪切时，它像粘性流体一样会流动，但像弹性固体一样能储存和释放一部分形变能量。常见例子如聚合物溶液、熔融塑料、血液等。

为了描述这种行为，我们需要一个本构方程，来联系流体内部的应力张量（σ）和应变率（或应变）历史。一个经典而简单的模型是麦克斯韦流体模型。它由一个描述弹性的弹簧（模量G）和一个描述粘性的粘壶（粘度η）串联而成，其本构方程为：
σ + λ ∂σ/∂t = η (∂v/∂y)
其中：

σ 是剪切应力（例如，在x方向流动，y方向剪切时的应力分量σ_xy）。
v 是流体在x方向的速度（v_x，通常简写为v）。
λ = η/G 称为松弛时间，是流体“忘记”其弹性历史的特征时间尺度。当λ→0，模型退化为牛顿流体（σ = η ∂v/∂t）；当流动非常缓慢（时间尺度远大于λ），流体也主要表现为粘性。

我们的控制方程是运动方程（线性化的动量方程），在忽略压力梯度、体积力，且流动为一维（v = v(y, t)）的情况下，简化为：
ρ ∂v/∂t = ∂σ/∂y
其中ρ是密度。将麦克斯韦本构方程代入，消去σ，得到一个关于速度v的方程：
∂v/∂t + λ ∂²v/∂t² = ν ∂²v/∂y²
这里ν = η/ρ 是运动粘度。这是一个双曲型方程（带有∂²v/∂t²项），区别于牛顿流体的抛物型热方程（∂v/∂t = ν ∂²v/∂y²）。这个双曲特性预示着弹性波的传播，是粘弹性流体的关键特征。

第二步：斯托克斯第一问题（突然启动的平板）

问题描述：考虑半无限空间（y ≥ 0）的粘弹性流体，初始静止。在t=0⁺时刻，与流体接触的平板（y=0）突然以恒定速度U₀沿自身平面启动，并保持此速度。求此后流场v(y, t)的演化。
数学定解问题：
- 控制方程： ∂v/∂t + λ ∂²v/∂t² = ν ∂²v/∂y², (y>0, t>0)
- 边界条件： v(0, t) = U₀, (t>0)； v(y, t) → 0, 当 y → ∞。
- 初始条件： v(y, 0) = 0, ∂v/∂t (y, 0) = 0, (y≥0)。（初始静止）
求解思路（拉普拉斯变换法）：
对时间t进行拉普拉斯变换，记V(y, s) = L{ v(y, t) }。利用初始条件，控制方程变换为：
sV + λ s²V = ν ∂²V/∂y² → ∂²V/∂y² - q² V = 0, 其中 q² = (s + λs²)/ν。
这是一个关于y的常微分方程，其有界解为 V(y, s) = A(s) exp(-qy)。
由边界条件v(0,t)=U₀的变换V(0,s)=U₀/s，得A(s)=U₀/s。故：
V(y, s) = (U₀/s) exp[ -y √(s(1+λs)/ν) ]。
解的物理解读与牛顿极限：
对V(y,s)进行拉普拉斯逆变换得到v(y,t)。解析表达式涉及误差函数和衰减指数函数。其核心物理是：
- 存在一个“剪切波前”：由于方程的双曲性，扰动以有限速度c = √(ν/λ) = √(G/ρ) 传播，这本质是流体中的剪切波速。在波前y = c t之后，流体仍未感受到平板启动的影响（v=0）。这与牛顿流体（抛物型）的“瞬时传播”有本质区别。
- 波前后的连续性：在波前处，速度是连续的，但其空间导数（剪切率）可能不连续，表现出“波”的特征。
- 牛顿流体极限（λ→0）：此时c→∞，波前瞬时到达无穷远，解退化为大家熟知的斯托克斯第一问题的牛顿解：v(y,t) = U₀ erfc[ y/√(4νt) ]，其中erfc是互补误差函数。这是一个扩散型的解，没有波前。

第三步：斯托克斯第二问题（平板周期振荡）

问题描述：同样考虑半无限空间（y ≥ 0）的粘弹性流体，初始静止。平板（y=0）在t>0时，在其自身平面内作正弦振荡，速度为U₀ cos(ωt)。求流体的稳态周期响应v(y, t)。
数学定解问题：
- 控制方程：同上 ∂v/∂t + λ ∂²v/∂t² = ν ∂²v/∂y², (y>0, t>0)
- 边界条件： v(0, t) = U₀ cos(ωt), (t>0)； v(y, t) 有界，当 y → ∞。
- 初始条件的影响在求稳态解时可以忽略（通常用复数法直接求特解）。
求解思路（复数法/分离变量法）：
由于边界条件是周期性的，我们寻求同频率的稳态周期解。设复数速度场：
v_c(y, t) = U₀ F(y) e^(iωt)，其中物理速度为其实部。
代入控制方程，得到关于F(y)的方程：
(iω - λω²) F(y) = ν d²F/dy²。
令 k² = (iω - λω²)/ν = (iω/ν)(1 - iλω)。解得满足y→∞有界条件的解为：
F(y) = exp( -√(k²) y )，其中取实部大于0的根，以保证衰减。
因此，复数解为 v_c(y, t) = U₀ exp(iωt - α y) exp(-iβ y)，其中α - iβ = √(k²)。
解的物理解读与牛顿极限：
取实部得到物理速度场：
v(y, t) = U₀ e^(-α y) cos(ωt - β y)。
这是一个衰减行波。
- 衰减系数α：决定了振荡幅度随深入流体的衰减速率。粘性（ν）和弹性（λ）共同决定衰减快慢。粘性耗散能量，弹性也会影响能量的储存与释放模式，从而影响衰减。
- 波数β：决定了相位随y的变化，即振荡的波长。波速为 ω/β。
- 牛顿流体极限（λ→0）：此时，α = β = √(ω/(2ν))。解退化为经典的斯托克斯第二问题的牛顿解：v(y,t) = U₀ e^(-αy) cos(ωt - αy)。此时衰减系数和波数相等，波长远小于穿透深度（衰减距离）的倒数。
- 粘弹性的影响：当λ不为零时，α和β不再相等。弹性（通过λ）改变了衰减和色散关系。在特定频率范围（ωλ ~ 1），弹性效应显著，波的传播速度和衰减特性会明显偏离纯粘性流体。

第四步：两个问题的比较与物理意义总结

激励方式的根本区别：
- 第一问题：是阶跃激励，考察系统的瞬态启动响应和剪切波的传播。它揭示了粘弹性流体具有有限的剪切波速，这是其弹性本质的体现。
- 第二问题：是周期激励，考察系统的稳态频率响应。它揭示了振荡剪切在粘弹性流体中以衰减行波形式传播，其衰减和色散特性由流体的粘性和弹性共同决定。
数学方法的区别：
- 第一问题通常用拉普拉斯变换求解，处理初值-边值问题，解中包含误差函数，反映瞬态扩散与波动的耦合。
- 第二问题用复数法/分离变量法求周期特解，得到指数衰减的简谐波形式。
应用与测量：
- 这两个问题是流变学（研究物质流动与形变）的基础。通过实验模拟这两个问题（如用旋转流变仪进行阶跃剪切或振荡剪切测试），可以测量流体的松弛时间λ、剪切模量G、动态粘度η’(ω)和η’’(ω) 等关键流变参数，从而鉴别和表征粘弹性流体。

通过以上从模型建立、问题表述、求解到物理解读的逐步分析，您可以看到，斯托克斯第一、第二问题虽然边界条件简单，却深刻地揭示了粘弹性流体区别于牛顿流体的核心物理——弹性的存在导致了波的传播行为和复杂的动态响应。它们是理解更复杂粘弹性流动现象的基石。

粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题我们从基础概念出发，循序渐进地讲解粘弹性流体中的这两个经典问题。第一步：背景与基本模型建立首先，我们需要明确讨论的“粘弹性流体”是什么。它与我们熟知的牛顿流体（如水、空气，其应力与应变率成正比）不同，粘弹性流体兼具“粘性”和“弹性”。在受到剪切时，它像粘性流体一样会流动，但像弹性固体一样能储存和释放一部分形变能量。常见例子如聚合物溶液、熔融塑料、血液等。为了描述这种行为，我们需要一个本构方程，来联系流体内部的应力张量（σ）和应变率（或应变）历史。一个经典而简单的模型是麦克斯韦流体模型。它由一个描述弹性的弹簧（模量G）和一个描述粘性的粘壶（粘度η）串联而成，其本构方程为： σ + λ ∂σ/∂t = η (∂v/∂y) 其中： σ 是剪切应力（例如，在x方向流动，y方向剪切时的应力分量σ_ xy）。 v 是流体在x方向的速度（v_ x，通常简写为v）。 λ = η/G 称为松弛时间，是流体“忘记”其弹性历史的特征时间尺度。当λ→0，模型退化为牛顿流体（σ = η ∂v/∂t）；当流动非常缓慢（时间尺度远大于λ），流体也主要表现为粘性。我们的控制方程是运动方程（线性化的动量方程），在忽略压力梯度、体积力，且流动为一维（v = v(y, t)）的情况下，简化为： ρ ∂v/∂t = ∂σ/∂y 其中ρ是密度。将麦克斯韦本构方程代入，消去σ，得到一个关于速度v的方程： ∂v/∂t + λ ∂²v/∂t² = ν ∂²v/∂y² 这里ν = η/ρ 是运动粘度。这是一个双曲型方程（带有∂²v/∂t²项），区别于牛顿流体的抛物型热方程（∂v/∂t = ν ∂²v/∂y²）。这个双曲特性预示着弹性波的传播，是粘弹性流体的关键特征。第二步：斯托克斯第一问题（突然启动的平板）问题描述：考虑半无限空间（y ≥ 0）的粘弹性流体，初始静止。在t=0⁺时刻，与流体接触的平板（y=0）突然以恒定速度U₀沿自身平面启动，并保持此速度。求此后流场v(y, t)的演化。数学定解问题：控制方程： ∂v/∂t + λ ∂²v/∂t² = ν ∂²v/∂y², (y>0, t>0) 边界条件： v(0, t) = U₀, (t>0)； v(y, t) → 0, 当 y → ∞。初始条件： v(y, 0) = 0, ∂v/∂t (y, 0) = 0, (y≥0)。（初始静止）求解思路（拉普拉斯变换法）：对时间t进行拉普拉斯变换，记V(y, s) = L{ v(y, t) }。利用初始条件，控制方程变换为： sV + λ s²V = ν ∂²V/∂y² → ∂²V/∂y² - q² V = 0, 其中 q² = (s + λs²)/ν。这是一个关于y的常微分方程，其有界解为 V(y, s) = A(s) exp(-qy)。由边界条件v(0,t)=U₀的变换V(0,s)=U₀/s，得A(s)=U₀/s。故： V(y, s) = (U₀/s) exp[ -y √(s(1+λs)/ν) ]。解的物理解读与牛顿极限：对V(y,s)进行拉普拉斯逆变换得到v(y,t)。解析表达式涉及误差函数和衰减指数函数。其核心物理是：存在一个“剪切波前” ：由于方程的双曲性，扰动以有限速度c = √(ν/λ) = √(G/ρ) 传播，这本质是流体中的剪切波速。在波前y = c t之后，流体仍未感受到平板启动的影响（v=0）。这与牛顿流体（抛物型）的“瞬时传播”有本质区别。波前后的连续性：在波前处，速度是连续的，但其空间导数（剪切率）可能不连续，表现出“波”的特征。牛顿流体极限（λ→0）：此时c→∞，波前瞬时到达无穷远，解退化为大家熟知的斯托克斯第一问题的牛顿解：v(y,t) = U₀ erfc[ y/√(4νt) ]，其中erfc是互补误差函数。这是一个扩散型的解，没有波前。第三步：斯托克斯第二问题（平板周期振荡）问题描述：同样考虑半无限空间（y ≥ 0）的粘弹性流体，初始静止。平板（y=0）在t>0时，在其自身平面内作正弦振荡，速度为U₀ cos(ωt)。求流体的稳态周期响应v(y, t)。数学定解问题：控制方程：同上 ∂v/∂t + λ ∂²v/∂t² = ν ∂²v/∂y², (y>0, t>0) 边界条件： v(0, t) = U₀ cos(ωt), (t>0)； v(y, t) 有界，当 y → ∞。初始条件的影响在求稳态解时可以忽略（通常用复数法直接求特解）。求解思路（复数法/分离变量法）：由于边界条件是周期性的，我们寻求同频率的稳态周期解。设复数速度场： v_ c(y, t) = U₀ F(y) e^(iωt)，其中物理速度为其实部。代入控制方程，得到关于F(y)的方程： (iω - λω²) F(y) = ν d²F/dy²。令 k² = (iω - λω²)/ν = (iω/ν)(1 - iλω)。解得满足y→∞有界条件的解为： F(y) = exp( -√(k²) y )，其中取实部大于0的根，以保证衰减。因此，复数解为 v_ c(y, t) = U₀ exp(iωt - α y) exp(-iβ y)，其中α - iβ = √(k²)。解的物理解读与牛顿极限：取实部得到物理速度场： v(y, t) = U₀ e^(-α y) cos(ωt - β y)。这是一个衰减行波。衰减系数α ：决定了振荡幅度随深入流体的衰减速率。粘性（ν）和弹性（λ）共同决定衰减快慢。粘性耗散能量，弹性也会影响能量的储存与释放模式，从而影响衰减。波数β ：决定了相位随y的变化，即振荡的波长。波速为 ω/β。牛顿流体极限（λ→0）：此时，α = β = √(ω/(2ν))。解退化为经典的斯托克斯第二问题的牛顿解：v(y,t) = U₀ e^(-αy) cos(ωt - αy)。此时衰减系数和波数相等，波长远小于穿透深度（衰减距离）的倒数。粘弹性的影响：当λ不为零时，α和β不再相等。弹性（通过λ）改变了衰减和色散关系。在特定频率范围（ωλ ~ 1），弹性效应显著，波的传播速度和衰减特性会明显偏离纯粘性流体。第四步：两个问题的比较与物理意义总结激励方式的根本区别：第一问题：是阶跃激励，考察系统的瞬态启动响应和剪切波的传播。它揭示了粘弹性流体具有有限的剪切波速，这是其弹性本质的体现。第二问题：是周期激励，考察系统的稳态频率响应。它揭示了振荡剪切在粘弹性流体中以衰减行波形式传播，其衰减和色散特性由流体的粘性和弹性共同决定。数学方法的区别：第一问题通常用拉普拉斯变换求解，处理初值-边值问题，解中包含误差函数，反映瞬态扩散与波动的耦合。第二问题用复数法/分离变量法求周期特解，得到指数衰减的简谐波形式。应用与测量：这两个问题是流变学（研究物质流动与形变）的基础。通过实验模拟这两个问题（如用旋转流变仪进行阶跃剪切或振荡剪切测试），可以测量流体的松弛时间λ、剪切模量G、动态粘度η’(ω)和η’’(ω) 等关键流变参数，从而鉴别和表征粘弹性流体。通过以上从模型建立、问题表述、求解到物理解读的逐步分析，您可以看到，斯托克斯第一、第二问题虽然边界条件简单，却深刻地揭示了粘弹性流体区别于牛顿流体的核心物理—— 弹性的存在导致了波的传播行为和复杂的动态响应。它们是理解更复杂粘弹性流动现象的基石。