椭球面的几何性质

字数 4010 2025-12-13 13:18:06

椭球面的几何性质

椭球面是椭圆在三维空间中的自然推广。要理解椭球面的几何，我们可以从二维的椭圆出发，逐步构建三维图像，并深入其度量和微分几何性质。

首先，我们从二维的椭圆开始回顾。在直角坐标系xOy中，一个中心在原点的标准椭圆方程是 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a \geq b > 0\) 分别是长半轴和短半轴的长度。椭圆的形状由这两个参数决定，它是一个封闭、凸的曲线。

现在，将这个概念扩展到三维空间。想象我们有一个标准的椭圆，然后让它绕着其两条对称轴之一旋转，就会得到一个旋转椭球面。但更一般的情况是三个轴的长度都不同。一个中心在原点、对称轴与坐标轴对齐的三轴椭球面的标准方程为：

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

其中 \(a, b, c > 0\) 是三个固定的正数，称为椭球面的半轴长度，且通常假设 \(a \geq b \geq c\)。当其中两个半轴相等时（例如 \(a = b > c\)），它就退化为一个绕z轴旋转的扁球面（类似地球形状）；若 \(a > b = c\)，则是绕x轴旋转的长球面（类似橄榄球）。当 \(a = b = c\) 时，它就变成了一个球面。

第二步：理解其作为二次曲面的类别。
上述方程是三元二次方程，其所有二次项系数为正，且没有交叉项。因此，椭球面属于非退化二次曲面中的一种，其高斯曲率处处为正。在几何上，它是闭的、凸的、光滑的曲面，没有边界，且关于三个坐标平面对称。

第三步：通过参数化直观感知其形状。
为了“看见”这个曲面，我们可以引入角度参数，类似于球坐标。一个常用的参数化是：

\[\begin{aligned} x &= a \sin\theta \cos\phi, \\ y &= b \sin\theta \sin\phi, \\ z &= c \cos\theta, \end{aligned} \]

其中 \(\theta \in [0, \pi]\) 是极角（从正z轴量起），\(\phi \in [0, 2\pi)\) 是方位角。注意，这与球坐标参数化在形式上一致，但用半轴长度 \(a, b, c\) 对坐标进行了缩放。当 \(\theta\) 固定时，\((x, y, z)\) 满足一个椭圆的方程，这表示一个“水平”的椭圆（与xy平面平行的椭圆的拉伸版本）。当 \(\phi\) 固定时，它表示一个通过z轴的椭圆截面。

第四步：研究其平面截线。
这是理解椭球面形状的关键。用任意一个平面去截割椭球面，得到的截线是什么？

如果平面平行于坐标平面，例如 \(z = h\)（其中 \(|h| < c\)），代入方程得到 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{h^2}{c^2}\)。这是一个在平面 \(z = h\) 上的椭圆，其半轴长度随 \(|h|\) 增大而缩小，在 \(|h| = c\) 时缩为一点（即顶点）。
用通过原点的平面（或任意通过中心的平面）去截，截线是一个中心在原点的椭圆。这是因为方程是二次齐次的（在截平面方程约束下）。
用任意平面去截，根据代数几何中的结论，一个平面与椭球面的截线总是一个椭圆（可能是退化的，如一个点或一条线段），因为椭球面是实二次曲面，且是有界的。这体现了其整体的凸性。

第五步：探讨其度量性质（第一基本形式）。
在参数化 \(\mathbf{r}(\theta, \phi) = (a \sin\theta \cos\phi, b \sin\theta \sin\phi, c \cos\theta)\) 下，我们可以计算其第一基本形式 \(ds^2 = E d\theta^2 + 2F d\theta d\phi + G d\phi^2\)。
计算偏导数：

\[\begin{aligned} \mathbf{r}_\theta &= (a \cos\theta \cos\phi, b \cos\theta \sin\phi, -c \sin\theta), \\ \mathbf{r}_\phi &= (-a \sin\theta \sin\phi, b \sin\theta \cos\phi, 0). \end{aligned} \]

于是：

\[\begin{aligned} E &= \mathbf{r}_\theta \cdot \mathbf{r}_\theta = a^2 \cos^2\theta \cos^2\phi + b^2 \cos^2\theta \sin^2\phi + c^2 \sin^2\theta, \\ F &= \mathbf{r}_\theta \cdot \mathbf{r}_\phi = (a^2 - b^2) \sin\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi, \\ G &= \mathbf{r}_\phi \cdot \mathbf{r}_\phi = a^2 \sin^2\theta \sin^2\phi + b^2 \sin^2\theta \cos^2\phi. \end{aligned} \]

注意，由于 \(F\) 一般不为零（除非 \(a=b\) 或某些特殊角度），这个参数化不是正交的。第一基本形式描述了曲面上的内在距离和角度，它依赖于 \(a, b, c\)。即使 \(a, b, c\) 不同，椭球面仍然是微分同胚于球面的拓扑球面，但其上的几何（如测地线、曲率）与球面截然不同。

第六步：分析其曲率性质（第二基本形式、主曲率、高斯曲率）。
曲面的弯曲程度由第二基本形式、法曲率和主曲率描述。对于椭球面，由于其代数性质，计算其高斯曲率 \(K\) 和平均曲率 \(H\) 有通用表达式。在参数化下，计算法向量 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi}{|\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi|}\)，以及二阶偏导 \(\mathbf{r}_{\theta\theta}, \mathbf{r}_{\theta\phi}, \mathbf{r}_{\phi\phi}\)，进而得到第二基本形式的系数 \(L, M, N\)。最终，高斯曲率 \(K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}\)。
一个更简洁且几何意义明确的结果是：对于由方程 \(F(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0\) 定义的隐式曲面，其高斯曲率在点 \((x,y,z)\) 处有公式：

\[K = \frac{1}{a^2 b^2 c^2} \left( \frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4} \right)^{-2}. \]

由此可知：

由于表达式中分母为正，分子为正，所以 \(K > 0\) 处处成立。这验证了椭球面是正高斯曲率曲面，是局部凸的。
高斯曲率在椭球面的顶点（与坐标轴交点，例如 \((\pm a, 0, 0)\)）处取最大值，在“赤道”区域（取决于半轴相对大小）的某些点取最小值。具体来说，在顶点 \((\pm a, 0, 0)\) 处，\(K = \frac{1}{b^2 c^2}\)，而在点 \((0, 0, \pm c)\) 处，\(K = \frac{1}{a^2 b^2}\)。由于 \(a \geq b \geq c\)，通常有 \(\frac{1}{b^2 c^2} \geq \frac{1}{a^2 b^2}\)，即最短轴c对应的顶点（“两极”）曲率最大，长轴a对应的顶点（“赤道”端点）曲率最小。这符合直觉：在较尖的端点更弯曲，在较平坦的端点弯曲程度小。

第七步：探讨主曲率、脐点与曲率线。
主曲率 \(k_1, k_2\) 是法曲率的最大值和最小值，满足 \(H = (k_1+k_2)/2, K = k_1 k_2\)。对于椭球面，除了四个特殊的脐点（umbilic points）外，每一点都有两个不同的主方向。一般的三轴椭球面（\(a > b > c\)）有四个脐点，它们位于包含中间轴b的平面上，是长轴a和短轴c构成的椭圆与某个特定平面的交点。当椭球面是旋转椭球面（\(a=b>c\) 或 \(a>b=c\)）时，纬线圆（平行圆）上所有点都是脐点（在球面情形下所有点都是脐点）。
曲率线是曲面上一条曲线，其上每点的切方向都是主方向。对于椭球面，曲率线构成一个正交网。有趣的是，三轴椭球面的曲率线是空间曲线，它们没有简单的平面闭合形式，但可以通过微分方程确定。

总结：
椭球面是二次曲面中最规则、最对称的闭凸曲面之一。其几何性质从简单的标准方程出发，延伸出丰富的内涵：它是椭圆的直接推广；其平面截口总是椭圆（或退化情形）；它具有正的高斯曲率；其曲率分布与半轴长度密切相关，在“最尖”的端点曲率最大。对椭球面的研究是微分几何、大地测量学和天体力学（行星形状近似为椭球）的重要基础。

椭球面的几何性质椭球面是椭圆在三维空间中的自然推广。要理解椭球面的几何，我们可以从二维的椭圆出发，逐步构建三维图像，并深入其度量和微分几何性质。首先，我们从二维的椭圆开始回顾。在直角坐标系xOy中，一个中心在原点的标准椭圆方程是 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \geq b > 0 \) 分别是长半轴和短半轴的长度。椭圆的形状由这两个参数决定，它是一个封闭、凸的曲线。现在，将这个概念扩展到三维空间。想象我们有一个标准的椭圆，然后让它绕着其两条对称轴之一旋转，就会得到一个旋转椭球面。但更一般的情况是三个轴的长度都不同。一个中心在原点、对称轴与坐标轴对齐的三轴椭球面的标准方程为： \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \] 其中 \( a, b, c > 0 \) 是三个固定的正数，称为椭球面的半轴长度，且通常假设 \( a \geq b \geq c \)。当其中两个半轴相等时（例如 \( a = b > c \)），它就退化为一个绕z轴旋转的扁球面（类似地球形状）；若 \( a > b = c \)，则是绕x轴旋转的长球面（类似橄榄球）。当 \( a = b = c \) 时，它就变成了一个球面。第二步：理解其作为二次曲面的类别。上述方程是三元二次方程，其所有二次项系数为正，且没有交叉项。因此，椭球面属于非退化二次曲面中的一种，其高斯曲率处处为正。在几何上，它是闭的、凸的、光滑的曲面，没有边界，且关于三个坐标平面对称。第三步：通过参数化直观感知其形状。为了“看见”这个曲面，我们可以引入角度参数，类似于球坐标。一个常用的参数化是： \[ \begin{aligned} x &= a \sin\theta \cos\phi, \\ y &= b \sin\theta \sin\phi, \\ z &= c \cos\theta, \end{aligned} \] 其中 \( \theta \in [ 0, \pi] \) 是极角（从正z轴量起），\( \phi \in [ 0, 2\pi) \) 是方位角。注意，这与球坐标参数化在形式上一致，但用半轴长度 \( a, b, c \) 对坐标进行了缩放。当 \( \theta \) 固定时，\( (x, y, z) \) 满足一个椭圆的方程，这表示一个“水平”的椭圆（与xy平面平行的椭圆的拉伸版本）。当 \( \phi \) 固定时，它表示一个通过z轴的椭圆截面。第四步：研究其平面截线。这是理解椭球面形状的关键。用任意一个平面去截割椭球面，得到的截线是什么？如果平面平行于坐标平面，例如 \( z = h \)（其中 \( |h| < c \)），代入方程得到 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{h^2}{c^2} \)。这是一个在平面 \( z = h \) 上的椭圆，其半轴长度随 \( |h| \) 增大而缩小，在 \( |h| = c \) 时缩为一点（即顶点）。用通过原点的平面（或任意通过中心的平面）去截，截线是一个中心在原点的椭圆。这是因为方程是二次齐次的（在截平面方程约束下）。用任意平面去截，根据代数几何中的结论，一个平面与椭球面的截线总是一个椭圆（可能是退化的，如一个点或一条线段），因为椭球面是实二次曲面，且是有界的。这体现了其整体的凸性。第五步：探讨其度量性质（第一基本形式）。在参数化 \( \mathbf{r}(\theta, \phi) = (a \sin\theta \cos\phi, b \sin\theta \sin\phi, c \cos\theta) \) 下，我们可以计算其第一基本形式 \( ds^2 = E d\theta^2 + 2F d\theta d\phi + G d\phi^2 \)。计算偏导数： \[ \begin{aligned} \mathbf{r} \theta &= (a \cos\theta \cos\phi, b \cos\theta \sin\phi, -c \sin\theta), \\ \mathbf{r} \phi &= (-a \sin\theta \sin\phi, b \sin\theta \cos\phi, 0). \end{aligned} \] 于是： \[ \begin{aligned} E &= \mathbf{r} \theta \cdot \mathbf{r} \theta = a^2 \cos^2\theta \cos^2\phi + b^2 \cos^2\theta \sin^2\phi + c^2 \sin^2\theta, \\ F &= \mathbf{r} \theta \cdot \mathbf{r} \phi = (a^2 - b^2) \sin\theta \cos\theta \sin\phi \cos\phi, \\ G &= \mathbf{r} \phi \cdot \mathbf{r} \phi = a^2 \sin^2\theta \sin^2\phi + b^2 \sin^2\theta \cos^2\phi. \end{aligned} \] 注意，由于 \( F \) 一般不为零（除非 \( a=b \) 或某些特殊角度），这个参数化不是正交的。第一基本形式描述了曲面上的内在距离和角度，它依赖于 \( a, b, c \)。即使 \( a, b, c \) 不同，椭球面仍然是微分同胚于球面的拓扑球面，但其上的几何（如测地线、曲率）与球面截然不同。第六步：分析其曲率性质（第二基本形式、主曲率、高斯曲率）。曲面的弯曲程度由第二基本形式、法曲率和主曲率描述。对于椭球面，由于其代数性质，计算其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 有通用表达式。在参数化下，计算法向量 \( \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi}{|\mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi|} \)，以及二阶偏导 \( \mathbf{r} {\theta\theta}, \mathbf{r} {\theta\phi}, \mathbf{r}_ {\phi\phi} \)，进而得到第二基本形式的系数 \( L, M, N \)。最终，高斯曲率 \( K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \)。一个更简洁且几何意义明确的结果是：对于由方程 \( F(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0 \) 定义的隐式曲面，其高斯曲率在点 \( (x,y,z) \) 处有公式： \[ K = \frac{1}{a^2 b^2 c^2} \left( \frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4} \right)^{-2}. \] 由此可知：由于表达式中分母为正，分子为正，所以 \( K > 0 \) 处处成立。这验证了椭球面是正高斯曲率曲面，是局部凸的。高斯曲率在椭球面的顶点（与坐标轴交点，例如 \( (\pm a, 0, 0) \)）处取最大值，在“赤道”区域（取决于半轴相对大小）的某些点取最小值。具体来说，在顶点 \( (\pm a, 0, 0) \) 处，\( K = \frac{1}{b^2 c^2} \)，而在点 \( (0, 0, \pm c) \) 处，\( K = \frac{1}{a^2 b^2} \)。由于 \( a \geq b \geq c \)，通常有 \( \frac{1}{b^2 c^2} \geq \frac{1}{a^2 b^2} \)，即最短轴c对应的顶点（“两极”）曲率最大，长轴a对应的顶点（“赤道”端点）曲率最小。这符合直觉：在较尖的端点更弯曲，在较平坦的端点弯曲程度小。第七步：探讨主曲率、脐点与曲率线。主曲率 \( k_ 1, k_ 2 \) 是法曲率的最大值和最小值，满足 \( H = (k_ 1+k_ 2)/2, K = k_ 1 k_ 2 \)。对于椭球面，除了四个特殊的脐点（umbilic points）外，每一点都有两个不同的主方向。一般的三轴椭球面（\( a > b > c \)）有四个脐点，它们位于包含中间轴b的平面上，是长轴a和短轴c构成的椭圆与某个特定平面的交点。当椭球面是旋转椭球面（\( a=b>c \) 或 \( a>b=c \)）时，纬线圆（平行圆）上所有点都是脐点（在球面情形下所有点都是脐点）。曲率线是曲面上一条曲线，其上每点的切方向都是主方向。对于椭球面，曲率线构成一个正交网。有趣的是，三轴椭球面的曲率线是空间曲线，它们没有简单的平面闭合形式，但可以通过微分方程确定。总结：椭球面是二次曲面中最规则、最对称的闭凸曲面之一。其几何性质从简单的标准方程出发，延伸出丰富的内涵：它是椭圆的直接推广；其平面截口总是椭圆（或退化情形）；它具有正的高斯曲率；其曲率分布与半轴长度密切相关，在“最尖”的端点曲率最大。对椭球面的研究是微分几何、大地测量学和天体力学（行星形状近似为椭球）的重要基础。