复平面上的调和函数
我们先从一个最基础的背景概念开始。
第一步：从实分析到复分析的过渡 —— 什么是调和函数？
在实分析中，我们研究定义在ℝⁿ（特别是ℝ²）上的实值函数。如果函数 \(u(x, y)\) 在其定义域内具有连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方程：
\[\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
那么我们就称 \(u\) 是一个调和函数。
- 直观理解：拉普拉斯算子 \(\Delta\) 衡量的是函数在某点处的“平均起伏”。\(\Delta u = 0\) 意味着函数在该点的值与它邻域内的平均值相等（这被称为平均值性质，后面会严格表述）。这是一种“平衡”或“稳定”的状态，没有局部极大或极小值（极值原理）。
- 经典例子：
- \(u(x, y) = x^2 - y^2\)， 因为 \(u_{xx} = 2, u_{yy} = -2\)， 和为零。
- \(u(x, y) = \ln(x^2 + y^2)\) 在 \(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}\) 上调和， 但要注意它在原点有奇点。
第二步：调和函数与全纯函数的深刻联系
这是复分析的核心美景之一。考虑一个在区域 \(\Omega \subset \mathbb{C}\) 上全纯的函数 \(f(z) = f(x+iy)\)。将其写为实部和虚部：\(f(z) = u(x, y) + i v(x, y)\)。
- 柯西-黎曼方程：由于 \(f\) 全纯，其实部 \(u\) 和虚部 \(v\) 满足柯西-黎曼方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}. \]
- 调和性的导出：假设 \(u, v\) 的二阶偏导数连续（全纯性实际上保证了任意阶可导）。我们对柯西-黎曼方程的第一个式子关于 \(x\) 求偏导，第二个式子关于 \(y\) 求偏导：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \quad -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}. \]
由于混合偏导数在连续条件下相等，将两式相加，立即得到：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. \]
同理，可证 \(\Delta v = 0\)。
核心结论：全纯函数的实部和虚部都是调和函数。我们称这样的一对调和函数 \((u, v)\) 为共轭调和函数。\(v\) 称为 \(u\) 的调和共轭。
第三步：调和函数的核心性质
调和函数继承了全纯函数许多优良性质，但本身是实值函数，研究起来有时更直观。
- 平均值性质：设 \(u\) 在区域 \(\Omega\) 内调和，\(\overline{D}(z_0, r) \subset \Omega\) 是一个闭圆盘。则 \(u\) 在圆心 \(z_0\) 的值，等于它在圆周 \(\partial D(z_0, r)\) 上的圆周平均值，也等于在整个圆盘 \(D(z_0, r)\) 上的面积平均值：
\[ u(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(z_0 + re^{i\theta}) d\theta = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{D(z_0, r)} u(x, y) dx dy. \]
这是 \(\Delta u = 0\) 的积分形式表达，是调和函数最本质的特征之一。
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极值原理（最大模原理的实值版本）：如果 \(u\) 在一个有界区域 \(\Omega\) 内调和，在闭区域 \(\overline{\Omega}\) 上连续，那么 \(u\) 的最大值和最小值一定在边界 \(\partial \Omega\) 上达到。除非 \(u\) 是常数，否则它在内部 \(\Omega\) 内不可能取得最大值或最小值。
-
光滑性与实解析性：调和函数在其定义域内不仅是无穷次可微的，它甚至是实解析的！这意味着在每一点的某个邻域内，它可以展开为收敛的幂级数。这比单纯的可微性要强得多。
第四步：调和函数的构造与狄利克雷问题
一个重要的问题是：给定一个边界，我们能否在区域内“造”出一个调和函数，使其在边界上取指定的值？
- 泊松积分公式：对于单位圆盘 \(D = \{ z: |z| < 1 \}\)，给定边界圆周 \(\partial D\) 上一个连续（或可积）的函数 \(f(e^{i\theta})\)，那么由下面的泊松积分公式定义的函数 \(u\) 在 \(D\) 内调和，并且当接近边界时（在某种意义下）取边界值 \(f\)：
\[ u(re^{i\phi}) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2} f(e^{i\theta}) d\theta, \quad 0 \le r < 1. \]
这个公式是单位圆盘上狄利克雷问题的显式解。核函数 \(P_r(\theta) = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}\) 称为泊松核。
- 狄利克雷问题的一般表述：给定一个有界区域 \(\Omega\) 及其边界 \(\partial \Omega\) 上的一个连续函数 \(f\)，是否存在一个在 \(\Omega\) 内调和、在 \(\overline{\Omega}\) 上连续的函数 \(u\)，使得在边界上 \(u|_{\partial \Omega} = f\)？
- 对于许多“足够好”的区域（如圆盘、球、具有光滑边界的区域），答案是肯定的，解是存在且唯一的（由极值原理保证唯一性）。
- 狄利克雷问题是偏微分方程理论、位势理论和复分析中的基本问题。
第五步：与几何和物理的联系
调和函数在数学物理中无处不在：
- 静电场与引力场：在没有电荷或质量分布的区域，静电势或引力势满足拉普拉斯方程 \(\Delta u = 0\)，即为调和函数。
- 稳态温度分布：一块均匀材质的物体，边界温度固定后，内部达到稳态的温度分布也是调和函数。
- 极小曲面：一个曲面的平均曲率为零时，是其坐标函数的拉普拉斯算子为零，与调和函数密切相关。
总结：
复平面上的调和函数是满足拉普拉斯方程的实值函数。它们与全纯函数有着共生的关系（实部与虚部），继承了平均值性质、极值原理、解析性等优美特性。通过泊松积分公式，我们可以从边界值构造出内部的调和函数，这解决了著名的狄利克雷问题。调和函数作为位势理论的基石，是连接复分析、偏微分方程和数学物理的经典桥梁。