组合数学中的组合B-样条（Combinatorial B-Spline）
好的，这是一个尚未讲解过的重要概念。我将从最简单直观的起点开始，逐步深入，为你详细拆解“组合B-样条”。
第1步：动机与背景——从“平均”到“光滑”
想象一条折线，由线段首尾相连构成。在顶点处，折线是“尖锐”的，不可导。现在，我们希望得到一条光滑的曲线，它由多个简单的“构件”像搭积木一样拼成，并且能自然地平滑顶点。B-样条就是一种构建这种光滑曲线的标准“积木块”。它的核心思想是通过递归地对点进行线性插值（平均） 来产生高阶光滑性。在组合数学中，我们关心其定义、性质与离散结构，而非数值计算细节。
第2步：基础构件——单位区间与截断幂函数
我们从一元函数开始。B-样条的基础原料是截断幂函数，定义为：
\[(x)_+^m = \begin{cases} x^m, & \text{如果 } x \ge 0 \\ 0, & \text{如果 } x < 0 \end{cases} \]
当 \(m = 0\) 时，这就是单位区间 \([0, 1)\) 的特征函数。更高次的截断幂函数是光滑性（可导次数）有限的基函数。直接使用它们拼接曲线不够灵活。B-样条通过“差分”操作来改进它。
第3步：核心定义——递归差分与卷积
一元B-样条的精确定义（Cox-de Boor递归公式的变体）：
给定一个递增的实数序列（称为节点序列） \(t_0 \le t_1 \le t_2 \le \dots\)，定义度为 \(p\)（阶为 \(p+1\)）的第 \(i\) 个B-样条基函数 \(B_{i,p}(x)\) 如下：
- 基础情况（p=0）：
\[ B_{i,0}(x) = \begin{cases} 1, & \text{如果 } t_i \le x < t_{i+1} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]
这是一个盒子函数，支撑在区间 \([t_i, t_{i+1})\) 上。
2. 递归（p > 0）：
\[ B_{i,p}(x) = \frac{x - t_i}{t_{i+p} - t_i} B_{i,p-1}(x) + \frac{t_{i+p+1} - x}{t_{i+p+1} - t_{i+1}} B_{i+1,p-1}(x) \]
这是一个凸组合（加权平均），权重是 \(x\) 的线性函数。这个递归意味着，高次B-样条是低次B-样条的线性组合，其系数是 \(x\) 的分式线性函数。
组合视角：这个递归定义本身就是一种组合结构。每个 \(B_{i,p}(x)\) 可以看作是从基础盒子函数出发，经过 \(p\) 次“平均-提升”操作后的结果。其支撑区间是 \([t_i, t_{i+p+1}]\)，只依赖于 \(p+2\) 个节点。
第4步：关键性质——理解其为何是优秀的“积木”
由定义可推导出B-样条的优美组合与分析性质：
- 局部支撑性：\(B_{i,p}(x)\) 仅在它的支撑区间内非零。这使得修改曲线局部形状时，只影响有限个基函数。
- 非负性：对定义域内的所有 \(x\)，有 \(B_{i,p}(x) \ge 0\)。
- 单位分解：如果 \(x\) 在节点序列的支撑范围内，则所有在此处有定义的B-样条基函数之和为1：\(\sum_i B_{i,p}(x) = 1\)。这保证了用它们作为基函数线性组合（\(S(x) = \sum_i c_i B_{i,p}(x)\)）得到的曲线具有仿射不变性（平移、旋转曲线等价于平移、旋转控制点 \(c_i\)）。
- 连续性：在节点 \(t_j\) 处，如果该节点是简单的（即不重复），则 \(B_{i,p}(x)\) 在该点具有 \(p-1\) 阶连续导数（\(C^{p-1}\)）。如果节点重复 \(k\) 次，则连续性降为 \(C^{p-k}\)。这提供了通过节点重数精确控制曲线光滑度的组合手段。
第5步：组合解释——差分、离散卷积与体积
B-样条有一个等价的定义，揭示了其组合本质：
\[B_{i,p}(x) = (t_{i+p+1} - t_i) [t_i, t_{i+1}, \dots, t_{i+p+1}](\cdot - x)_+^p \]
这里 \([t_i, \dots, t_{i+p+1}]f\) 表示函数 \(f\) 关于节点 \(t_i, \dots, t_{i+p+1}\) 的 \(p+1\) 阶均差。将 \(f(\cdot) = (\cdot - x)_+^p\) 代入，这可以解释为对截断幂函数进行离散差分。这个定义不涉及递归，直接链接了B-样条与多项式样条理论。
几何解释（多维推广的线索）：一元B-样条 \(B(x | t_0, \dots, t_{p+1})\) 可以解释为 \(p+1\) 个独立同分布于区间 \([0,1]\) 的均匀随机变量之和落在区间 \([x, x+dx]\) 的概率密度（缩放后）。更优雅的几何解释是：它正比于区间 \([t_0, t_1, \dots, t_{p+1}]\) 作为一个 \((p+1)\) 维单纯形在实数轴上的阴影体积（通过投影）。这自然引导我们走向多元组合B-样条。
第6步：多元组合B-样条——单纯形与体积
这是组合B-样条理论的核心。设 \(X = \{\mathbf{x}^0, \mathbf{x}^1, \dots, \mathbf{x}^p\}\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 中一组仿射无关的点（即构成一个 \(p\) 维单纯形 \(\sigma\)），且 \(p \ge d\)。
定义关于点集 \(X\) 的多元B-样条函数 \(M(\mathbf{y} | X)\) 为：
\[M(\mathbf{y} | X) = \frac{\text{vol}_{p-d}\{\mathbf{s} \in \sigma : \pi(\mathbf{s}) = \mathbf{y}\}}{|\text{det}(\mathbf{x}^1-\mathbf{x}^0, \dots, \mathbf{x}^p-\mathbf{x}^0)|} \]
其中 \(\pi\) 是将单纯形 \(\sigma \subset \mathbb{R}^p\) 线性投影到 \(\mathbb{R}^d\) 的映射（满足 \(\pi(\mathbf{x}^i) = \mathbf{x}^i\)），而 \(\text{vol}_{p-d}\) 是 \((p-d)\) 维体积。当 \(p = d\) 时，这就是该单纯形的特征函数（归一化后）。当 \(p > d\) 时，\(M(\mathbf{y} | X)\) 是一个光滑的函数，其支撑集是点集 \(X\) 的凸包。
组合意义：函数值 \(M(\mathbf{y} | X)\) 测量了所有在投影下映射到点 \(\mathbf{y}\) 的、在单纯形 \(\sigma\) 内的点构成的纤维的“相对体积”。这完全是一个组合几何定义。多元B-样条继承了所有一元时的优良性质（局部支撑、非负、单位分解、多项式精度等），其光滑性由投影的几何关系决定。
第7步：总结与应用
组合B-样条的研究聚焦于其定义中蕴含的离散几何、递归结构、以及由节点配置（重数、位置）控制的函数性质。它是连接以下领域的桥梁：
- 逼近论：B-样条是构建样条空间的标准基，用于曲线曲面拟合。
- 计算机辅助几何设计：NURBS（非均匀有理B-样条）的核心基础。
- 组合几何：多元B-样条的定义直接关联于单纯形的体积计算和投影。
- 数值分析：作为有限元方法中的基函数。
其精髓在于，通过一套简单、离散的递归规则（或等价的几何体积定义），生成了一族具有优良光滑性、局部性和正性的函数，为“用离散控制连续”提供了一个完美的范式。