粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题
这是一个经典的流体力学问题，研究粘弹性流体在固体边界突然运动（第一问题）或做简谐振荡（第二问题）时的非定常流动。它揭示了粘弹性材料的记忆效应和松弛特性，是理解复杂流体动力学的关键模型。让我们从最基础的牛顿流体开始，逐步深入到粘弹性本构关系。
第一步：牛顿流体与斯托克斯第一问题
首先，我们考虑最简单的模型：牛顿流体在半无限空间（y ≥ 0）上方的流动。下边界是一个无限大平板，位于y=0。
- 斯托克斯第一问题：假设在t=0时刻，平板突然以恒定速度U沿x轴方向启动。流体初始静止。
- 控制方程：由于流动是单向的（只有x方向速度u），且由平板运动驱动，纳维-斯托克斯方程简化为扩散方程：
\[ \frac{\partial u(y, t)}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u(y, t)}{\partial y^2} \]
其中，\(\nu = \mu / \rho\) 是运动粘度，μ是动力粘度，ρ是密度。这是一个一维非定常热传导方程。
3. 定解条件：
* 初始条件：u(y, 0) = 0 (y > 0)
* 边界条件：u(0, t) = U (t > 0)， u(∞, t) = 0
4. 解：该问题有自相似解。引入无量纲变量 \(\eta = y / \sqrt{4\nu t}\)，控制方程化为常微分方程。其解为余误差函数：
\[ u(y, t) = U \, \text{erfc}\left( \frac{y}{\sqrt{4\nu t}} \right) \]
其中，erfc是余误差函数。这表明扰动（速度边界层）的厚度以 \(\delta \sim \sqrt{\nu t}\) 扩散，动量（或涡量）以扩散方式传播。
第二步：从牛顿流体到线性粘弹性流体
牛顿流体的本构关系是应力和应变率瞬时成正比：\(\tau = \mu \dot{\gamma}\)（τ为剪切应力，\(\dot{\gamma} = \partial u / \partial y\) 为剪切率）。粘弹性流体具有“记忆”：当前的应力依赖于整个历史的应变率。
- 线性粘弹性本构关系：最常用的模型是线性麦克斯韦流体。它结合了粘性（阻尼）和弹性（弹簧）特性。在一维剪切流中，其本构方程为：
\[ \tau + \lambda \frac{\partial \tau}{\partial t} = \mu \frac{\partial u}{\partial y} \]
这里，λ是**松驰时间**。当λ→0，回到牛顿流体；当λ很大，应力变化缓慢，流体表现出强弹性。这是一个微分型本构。
- 积分型本构：更一般的形式是应力为过去应变率的加权积分（玻尔兹曼叠加原理）：
\[ \tau(y, t) = \int_{-\infty}^{t} G(t - t‘) \frac{\partial u(y, t’)}{\partial y} dt‘ \]
其中G(t)是松驰模量函数。麦克斯韦模型的松弛模量为 \(G(t) = (\mu / \lambda) e^{-t/\lambda}\)。这个积分形式直观体现了“记忆效应”：t时刻的应力是过去所有时刻t’贡献的加权和，权重G(t-t‘)随时间间隔衰减。
第三步：粘弹性流体的斯托克斯第一问题
现在考虑麦克斯韦流体在半无限空间上，平板在t=0突然启动。
- 控制方程组：
- 运动方程（忽略压力梯度，只有惯性力和剪切应力）：
\[ \rho \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial \tau}{\partial y} \]
* 本构方程（麦克斯韦模型）：
\[ \tau + \lambda \frac{\partial \tau}{\partial t} = \mu \frac{\partial u}{\partial y} \]
- 推导主导方程：将本构方程对y求导，然后与运动方程结合，消去应力τ，得到关于速度u的单一方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \lambda \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \]
这是一个双曲型方程（因为含 \(\partial^2 u / \partial t^2\) 项），而牛顿流体的方程是抛物型的。这预示着信号（扰动）以有限速度传播，而不是牛顿流体中的无限扩散速度。
3. 求解与物理：通常用拉普拉斯变换法求解。解比牛顿流体复杂，其形式包含误差函数和衰减的传播波项。关键物理特征：
- 波前传播：扰动以有限速度 \(c = \sqrt{\mu / (\rho \lambda)}\) 传播，这是粘弹性剪切波速。
- 记忆与松弛：在波前之后，速度分布不仅依赖于 \(y/\sqrt{\nu t}\)，还依赖于德博拉数 \(De = \lambda / t_c\)，其中t_c是特征时间（如流动时间）。De衡量了流体弹性与粘性的相对重要性。当De << 1（慢流动），行为接近牛顿流体；当De >> 1（快流动），弹性主导，表现出类固体瞬态响应。
第四步：粘弹性流体的斯托克斯第二问题
现在考虑平板在y=0处以频率ω做横向简谐振荡：\(u(0, t) = U \cos(\omega t)\) 或 \(U e^{i\omega t}\)。
- 控制方程：对于定常振荡状态，我们寻找形式为 \(u(y, t) = \Re[\hat{u}(y) e^{i\omega t}]\) 的解。代入第三步的主导方程，得到关于复振幅 \(\hat{u}(y)\) 的方程：
\[ (i\omega + \lambda (i\omega)^2) \hat{u} = \nu \frac{d^2 \hat{u}}{dy^2} \]
化简为亥姆霍兹方程：
\[ \frac{d^2 \hat{u}}{dy^2} - k^2 \hat{u} = 0, \quad 其中 \, k^2 = \frac{\rho \omega^2}{\mu} \cdot \frac{1 + i\omega \lambda}{i\omega} = \frac{i\omega}{\nu(1 + i\omega \lambda)} \]
- 复波数与粘弹性效应：波数k现在是复数：\(k = \alpha + i\beta\)。其物理意义是：
- 虚部β决定衰减率：解具有 \(e^{-\beta y}\) 形式的指数衰减，意味着振荡运动被限制在平板附近的薄层内（斯托克斯边界层）。
- 实部α决定波长：相位随y变化，\(e^{i(\omega t - \alpha y)}\)，表示一个沿y方向传播的剪切波。
- 解：满足边界条件 \(\hat{u}(0) = U\) 和 \(\hat{u}(\infty) = 0\) 的解为：
\[ u(y, t) = U e^{-\beta y} \cos(\omega t - \alpha y) \]
其中衰减长度 \(\delta = 1/\beta\) 是边界层厚度。对于牛顿流体(λ=0)，有 \(\delta_{牛顿} = \sqrt{2\nu/\omega}\)。对于粘弹性流体，δ与ω和λ都有复杂关系。
4. 关键物理量——复粘度与损耗模量/储能模量：定义复粘度 \(\eta^*(\omega) = \mu / (1 + i\omega \lambda)\)。其实部 \(\eta'(\omega)\) 对应耗散（粘性部分），虚部 \(\eta''(\omega)\) 对应弹性存储（弹性部分）。通常用复模量 \(G^* = i\omega \eta^* = G'(\omega) + i G''(\omega)\) 表示，其中G’是储能模量，G’‘是损耗模量。在斯托克斯第二问题中，平板受到的剪切应力也以频率ω振荡，其相位领先于速度，其幅值和相移直接与G’和G’‘相关，这为用流变仪测量材料粘弹性提供了理论基础。
总结
这两个问题清晰地对比了牛顿流体与粘弹性流体的本质区别：前者是纯扩散/耗散过程，后者是耗散与弹性波传播耦合的过程。斯托克斯第一问题揭示了启动瞬态过程中的波前传播和记忆松弛；第二问题则揭示了在周期驱动下粘弹性材料表现出的复响应（同时存在同相和异相分量），这是实验上表征线性粘弹性的核心。从数学上看，本构关系的引入将主导方程从抛物型变为双曲型（或更一般的时间微分-积分型），这深刻改变了问题的物理内涵和解的性质。