模的不可约子模与极大子模

字数 4179 2025-12-13 11:20:56

模的不可约子模与极大子模

我们开始讲解“模的不可逆子模与极大子模”。这是一个研究模内部结构的基本概念，与单模、半单模等紧密相关。我将从最简单的情形出发，逐步深入。

第一步：回顾“子模”与“单模”的概念

子模：给定一个环 \(R\) 和一个（左）\(R\)-模 \(M\)，如果 \(N\) 是 \(M\) 的一个子集，并且在 \(M\) 的加法和数乘运算下也构成一个 \(R\)-模，则称 \(N\) 是 \(M\) 的一个子模。例如，在整数环 \(\mathbb{Z}\) 上的模（即阿贝尔群）\(\mathbb{Z}\) 中，所有偶数组成的集合 \(2\mathbb{Z}\) 是一个子模。
单模：如果一个非零模 \(M\) 只有两个子模——零子模 \(\{0\}\) 和它自身 \(M\)——则称 \(M\) 为单模（或不可约模）。这意味着在子模的包含关系下，\(M\) 内部没有“非平凡”的子结构。例如，当 \(p\) 是素数时，\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 作为 \(\mathbb{Z}\)-模是单模，因为它没有非平凡的子群。

第二步：定义“极大子模”
现在，我们把“单模”的条件放宽，应用到任意模的非真子模上。

设 \(M\) 是一个 \(R\)-模。\(M\) 的一个真子模是指满足 \(N \neq M\) 的子模 \(N\)。
\(M\) 的一个真子模 \(N\) 被称为极大子模，如果不存在另一个真子模 \(L\) 满足 \(N \subsetneq L \subsetneq M\)。
通俗理解：极大子模 \(N\) 是 \(M\) 的“最大的”真子模。你不能在 \(N\) 和整个 \(M\) 之间再塞进另一个真子模。换句话说，如果把 \(N\) 扩大一点点（通过添加 \(M\) 中不在 \(N\) 里的元素），就必然得到整个 \(M\)。

例子：
考虑整数模 \(\mathbb{Z}\) 作为 \(\mathbb{Z}\)-模。它的子模是形如 \(n\mathbb{Z}\) 的理想。子模 \(p\mathbb{Z}\)（其中 \(p\) 是素数）是一个极大子模，因为：

它是真子模（\(p\mathbb{Z} \neq \mathbb{Z}\)）。
如果有一个子模 \(L\) 满足 \(p\mathbb{Z} \subset L \subset \mathbb{Z}\)，那么 \(L\) 也是一个理想，设 \(L = m\mathbb{Z}\)。由包含关系知 \(m\) 整除 \(p\)，所以 \(m = 1\) 或 \(m = p\)。若 \(m = 1\)，则 \(L = \mathbb{Z}\)；若 \(m = p\)，则 \(L = p\mathbb{Z}\)。所以不存在严格介于两者之间的子模。

第三步：定义“不可约子模”
这是本词条的核心概念之一，它描述了子模的一种“极小性”。

设 \(M\) 是一个 \(R\)-模。\(M\) 的一个非零子模 \(N\) 被称为不可约子模，如果它不能写成 \(M\) 中两个比它更大的子模的交集。更精确地说：如果存在子模 \(N_1, N_2\) 使得 \(N = N_1 \cap N_2\)，那么必然有 \(N = N_1\) 或 \(N = N_2\)。
通俗理解：一个不可约子模是“不可分割”的。你不能把它表示成两个更大的、不同的子模的共同部分。它不是被“组合”出来的，而是某种“基本构件”。

例子：

在任何模 \(M\) 中，单子模（即作为模是单模的子模）一定是不可约的。因为如果单子模 \(S\) 等于两个子模的交 \(N_1 \cap N_2\)，而 \(S \subset N_1\)，由于 \(S\) 是单模，其子模只有 \(0\) 和 \(S\)，所以要么 \(S \cap N_1 = 0\)（不可能，因为 \(S\) 非零），要么 \(S \subset N_1\) 意味着 \(N_1 = S\)。
考虑 \(\mathbb{Z}\)-模 \(\mathbb{Z}\)。子模 \(6\mathbb{Z}\) 是可约的，因为它可以写成 \(6\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z}\)，而 \(6\mathbb{Z}\) 严格包含在 \(2\mathbb{Z}\) 和 \(3\mathbb{Z}\) 中。子模 \(p\mathbb{Z}\)（\(p\) 是素数）是不可约的吗？在 \(\mathbb{Z}\) 中，如果 \(p\mathbb{Z} = a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z}\)，那么 \(p\mathbb{Z}\) 是 \(a\mathbb{Z}\) 和 \(b\mathbb{Z}\) 的公倍数集，这要求 \(p\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的最小公倍数。由于 \(p\) 是素数，这迫使 \(a\) 或 \(b\) 等于 \(p\)。所以 \(p\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的不可约子模。

第四步：不可约子模与极大子模的关系
这两个概念紧密相关，但并不等同。

关系：在任意模 \(M\) 中，一个极大子模一定是不可约的。
证明：设 \(N\) 是 \(M\) 的极大子模。假设 \(N = N_1 \cap N_2\)，其中 \(N_1, N_2\) 是包含 \(N\) 的子模。如果 \(N \neq N_1\) 且 \(N \neq N_2\)，那么由于 \(N\) 是极大的，包含 \(N\) 且不等于 \(N\) 的子模只能是 \(M\) 本身。所以 \(N_1 = M\) 且 \(N_2 = M\)，那么 \(N = M \cap M = M\)，这与 \(N\) 是真子模矛盾。所以 \(N = N_1\) 或 \(N = N_2\)，故 \(N\) 是不可约的。
区别：反过来不成立。一个不可约子模不一定是极大子模。
例子：考虑 \(\mathbb{Z}\)-模 \(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\)。子模 \(N = \mathbb{Z} \oplus \{0\}\) 是不可约的吗？假设 \(N = N_1 \cap N_2\)。由于 \(N \cong \mathbb{Z}\) 是主理想整环上的自由模，它的子模结构简单。可以论证，如果 \(N_1, N_2\) 严格包含 \(N\)，它们必须形如 \(\mathbb{Z} \oplus d\mathbb{Z}\) 的形式，它们的交可能比 \(N\) 大。实际上，在这个具体例子中，可以找到 \(N_1 = \mathbb{Z} \oplus 2\mathbb{Z}\)， \(N_2 = \mathbb{Z} \oplus 3\mathbb{Z}\)，则 \(N_1 \cap N_2 = \mathbb{Z} \oplus 6\mathbb{Z} \neq N\)。更直接的说明：\(N\) 本身不是极大的，因为我们可以找到子模 \(\mathbb{Z} \oplus 2\mathbb{Z}\) 严格包含 \(N\)。但我们需要验证其不可约性。假设 \(N = A \cap B\)，由于 \(N\) 是直和项，其结构是“平坦”的，任何严格包含 \(N\) 的子模都会包含形如 \((0, n)\) 的非零元素。可以证明，如果 \(A\) 和 \(B\) 都严格包含 \(N\)，那么它们的交也会包含这样的元素，从而严格大于 \(N\)。所以 \(N\) 是不可约的。但它显然不是极大的，因为存在 \(\mathbb{Z} \oplus p\mathbb{Z}\) 这样的子模严格介于 \(N\) 和 \(M\) 之间。

第五步：不可约子模的存在性与重要性

存在性：在诺特模（满足子模的升链条件）中，每个非零子模都可以表示为有限个不可约子模的交集。这是不可约分解定理（或称为不可交分解）的核心。这类似于整数分解为素数乘积，或理想分解为准素理想的交。这个定理表明，不可约子模是构建更复杂子模的“基本积木块”。
与根的关系：一个模 \(M\) 的根（或称 Jacobson 根，记作 \(\text{Rad}(M)\)）可以定义为 \(M\) 的所有极大子模的交集（如果 \(M\) 没有极大子模，则根定义为 \(M\)）。由于极大子模都是不可约的，根也是不可约子模的交集。这连接了模的整体结构（根）和其基本构件（不可约子模）。

第六步：应用与总结

不可约子模是分析模结构，特别是子模格结构的工具。
极大子模是定义商模成为单模的关键：\(M/N\) 是单模当且仅当 \(N\) 是 \(M\) 的极大子模。
在表示论和代数几何中，这些概念有助于研究模的局部性质和分类。

核心要点回顾：

极大子模：是极大的真子模，是“最大”的。
不可约子模：是不能表示为两个更大子模的非平凡交的子模，是“不可分割”的。
关系：极大子模一定是不可约子模，反之则不一定。
作用：不可约子模是子模不可约分解的基本单元，而极大子模定义了单商模和模的根。

模的不可约子模与极大子模我们开始讲解“模的不可逆子模与极大子模”。这是一个研究模内部结构的基本概念，与单模、半单模等紧密相关。我将从最简单的情形出发，逐步深入。第一步：回顾“子模”与“单模”的概念子模：给定一个环 \( R \) 和一个（左）\( R \)-模 \( M \)，如果 \( N \) 是 \( M \) 的一个子集，并且在 \( M \) 的加法和数乘运算下也构成一个 \( R \)-模，则称 \( N \) 是 \( M \) 的一个子模。例如，在整数环 \( \mathbb{Z} \) 上的模（即阿贝尔群）\( \mathbb{Z} \) 中，所有偶数组成的集合 \( 2\mathbb{Z} \) 是一个子模。单模：如果一个非零模 \( M \) 只有两个子模——零子模 \(\{0\}\) 和它自身 \( M \)——则称 \( M \) 为单模（或不可约模）。这意味着在子模的包含关系下，\( M \) 内部没有“非平凡”的子结构。例如，当 \( p \) 是素数时，\( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) 作为 \( \mathbb{Z} \)-模是单模，因为它没有非平凡的子群。第二步：定义“极大子模” 现在，我们把“单模”的条件放宽，应用到任意模的非真子模上。设 \( M \) 是一个 \( R \)-模。\( M \) 的一个真子模是指满足 \( N \neq M \) 的子模 \( N \)。 \( M \) 的一个真子模 \( N \) 被称为极大子模，如果不存在另一个真子模 \( L \) 满足 \( N \subsetneq L \subsetneq M \)。通俗理解：极大子模 \( N \) 是 \( M \) 的“最大的”真子模。你不能在 \( N \) 和整个 \( M \) 之间再塞进另一个真子模。换句话说，如果把 \( N \) 扩大一点点（通过添加 \( M \) 中不在 \( N \) 里的元素），就必然得到整个 \( M \)。例子：考虑整数模 \( \mathbb{Z} \) 作为 \( \mathbb{Z} \)-模。它的子模是形如 \( n\mathbb{Z} \) 的理想。子模 \( p\mathbb{Z} \)（其中 \( p \) 是素数）是一个极大子模，因为：它是真子模（\( p\mathbb{Z} \neq \mathbb{Z} \)）。如果有一个子模 \( L \) 满足 \( p\mathbb{Z} \subset L \subset \mathbb{Z} \)，那么 \( L \) 也是一个理想，设 \( L = m\mathbb{Z} \)。由包含关系知 \( m \) 整除 \( p \)，所以 \( m = 1 \) 或 \( m = p \)。若 \( m = 1 \)，则 \( L = \mathbb{Z} \)；若 \( m = p \)，则 \( L = p\mathbb{Z} \)。所以不存在严格介于两者之间的子模。第三步：定义“不可约子模” 这是本词条的核心概念之一，它描述了子模的一种“极小性”。设 \( M \) 是一个 \( R \)-模。\( M \) 的一个非零子模 \( N \) 被称为不可约子模，如果它不能写成 \( M \) 中两个比它更大的子模的交集。更精确地说：如果存在子模 \( N_ 1, N_ 2 \) 使得 \( N = N_ 1 \cap N_ 2 \)，那么必然有 \( N = N_ 1 \) 或 \( N = N_ 2 \)。通俗理解：一个不可约子模是“不可分割”的。你不能把它表示成两个更大的、不同的子模的共同部分。它不是被“组合”出来的，而是某种“基本构件”。例子：在任何模 \( M \) 中，单子模（即作为模是单模的子模）一定是不可约的。因为如果单子模 \( S \) 等于两个子模的交 \( N_ 1 \cap N_ 2 \)，而 \( S \subset N_ 1 \)，由于 \( S \) 是单模，其子模只有 \( 0 \) 和 \( S \)，所以要么 \( S \cap N_ 1 = 0 \)（不可能，因为 \( S \) 非零），要么 \( S \subset N_ 1 \) 意味着 \( N_ 1 = S \)。考虑 \( \mathbb{Z} \)-模 \( \mathbb{Z} \)。子模 \( 6\mathbb{Z} \) 是可约的，因为它可以写成 \( 6\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} \)，而 \( 6\mathbb{Z} \) 严格包含在 \( 2\mathbb{Z} \) 和 \( 3\mathbb{Z} \) 中。子模 \( p\mathbb{Z} \)（\( p \) 是素数）是不可约的吗？在 \( \mathbb{Z} \) 中，如果 \( p\mathbb{Z} = a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} \)，那么 \( p\mathbb{Z} \) 是 \( a\mathbb{Z} \) 和 \( b\mathbb{Z} \) 的公倍数集，这要求 \( p \) 是 \( a \) 和 \( b \) 的最小公倍数。由于 \( p \) 是素数，这迫使 \( a \) 或 \( b \) 等于 \( p \)。所以 \( p\mathbb{Z} \) 是 \( \mathbb{Z} \) 的不可约子模。第四步：不可约子模与极大子模的关系这两个概念紧密相关，但并不等同。关系：在任意模 \( M \) 中，一个极大子模一定是不可约的。证明：设 \( N \) 是 \( M \) 的极大子模。假设 \( N = N_ 1 \cap N_ 2 \)，其中 \( N_ 1, N_ 2 \) 是包含 \( N \) 的子模。如果 \( N \neq N_ 1 \) 且 \( N \neq N_ 2 \)，那么由于 \( N \) 是极大的，包含 \( N \) 且不等于 \( N \) 的子模只能是 \( M \) 本身。所以 \( N_ 1 = M \) 且 \( N_ 2 = M \)，那么 \( N = M \cap M = M \)，这与 \( N \) 是真子模矛盾。所以 \( N = N_ 1 \) 或 \( N = N_ 2 \)，故 \( N \) 是不可约的。区别：反过来不成立。一个不可约子模不一定是极大子模。例子：考虑 \( \mathbb{Z} \)-模 \( \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \)。子模 \( N = \mathbb{Z} \oplus \{0\} \) 是不可约的吗？假设 \( N = N_ 1 \cap N_ 2 \)。由于 \( N \cong \mathbb{Z} \) 是主理想整环上的自由模，它的子模结构简单。可以论证，如果 \( N_ 1, N_ 2 \) 严格包含 \( N \)，它们必须形如 \( \mathbb{Z} \oplus d\mathbb{Z} \) 的形式，它们的交可能比 \( N \) 大。实际上，在这个具体例子中，可以找到 \( N_ 1 = \mathbb{Z} \oplus 2\mathbb{Z} \)， \( N_ 2 = \mathbb{Z} \oplus 3\mathbb{Z} \)，则 \( N_ 1 \cap N_ 2 = \mathbb{Z} \oplus 6\mathbb{Z} \neq N \)。更直接的说明：\( N \) 本身不是极大的，因为我们可以找到子模 \( \mathbb{Z} \oplus 2\mathbb{Z} \) 严格包含 \( N \)。但我们需要验证其不可约性。假设 \( N = A \cap B \)，由于 \( N \) 是直和项，其结构是“平坦”的，任何严格包含 \( N \) 的子模都会包含形如 \( (0, n) \) 的非零元素。可以证明，如果 \( A \) 和 \( B \) 都严格包含 \( N \)，那么它们的交也会包含这样的元素，从而严格大于 \( N \)。所以 \( N \) 是不可约的。但它显然不是极大的，因为存在 \( \mathbb{Z} \oplus p\mathbb{Z} \) 这样的子模严格介于 \( N \) 和 \( M \) 之间。第五步：不可约子模的存在性与重要性存在性：在诺特模（满足子模的升链条件）中，每个非零子模都可以表示为有限个不可约子模的交集。这是不可约分解定理（或称为不可交分解）的核心。这类似于整数分解为素数乘积，或理想分解为准素理想的交。这个定理表明，不可约子模是构建更复杂子模的“基本积木块”。与根的关系：一个模 \( M \) 的根（或称 Jacobson 根，记作 \( \text{Rad}(M) \)）可以定义为 \( M \) 的所有极大子模的交集（如果 \( M \) 没有极大子模，则根定义为 \( M \)）。由于极大子模都是不可约的，根也是不可约子模的交集。这连接了模的整体结构（根）和其基本构件（不可约子模）。第六步：应用与总结不可约子模是分析模结构，特别是子模格结构的工具。极大子模是定义商模成为单模的关键：\( M/N \) 是单模当且仅当 \( N \) 是 \( M \) 的极大子模。在表示论和代数几何中，这些概念有助于研究模的局部性质和分类。核心要点回顾：极大子模：是极大的真子模，是“最大”的。不可约子模：是不能表示为两个更大子模的非平凡交的子模，是“不可分割”的。关系：极大子模一定是不可约子模，反之则不一定。作用：不可约子模是子模不可约分解的基本单元，而极大子模定义了单商模和模的根。