卡丹公式与三次方程的根
好的，我将为你讲解“卡丹公式”这一数论与代数学交叉的重要概念，它彻底解决了三次方程的求根问题。让我们从最基础的概念开始，循序渐进。
第一步：从二次方程到三次方程的挑战
首先，我们回顾你熟悉的一元二次方程：\(ax^2 + bx + c = 0\) (a ≠ 0)。它的解可以由著名的求根公式 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) 给出。这个公式在16世纪前已被广泛知晓。
然而，三次方程 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) (a ≠ 0) 的一般解法长期困扰着数学家。直到16世纪的意大利，数学家费罗、塔尔塔利亚和卡尔达诺（Cardano）先后做出了关键贡献。最终由卡尔达诺在其著作《大术》中发表的求解公式，被后世称为“卡丹公式”。这标志着代数领域的巨大飞跃。
第二步：化简三次方程（去二次项）
处理一般形式的三次方程 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) 时，第一步总是通过变量代换化简。我们令 \(x = y - \frac{b}{3a}\)。将这个表达式代入原方程，经过一系列（虽然繁琐但直接的）代数展开、合并同类项后，你会发现 \(y^2\) 项神奇地消失了。最终，我们得到一个关于新变量 \(y\) 的、没有二次项的三次方程，称为“简约三次方程”或“缺项三次方程”：
\[ y^3 + py + q = 0 \]
其中，系数 \(p\) 和 \(q\) 可以由原方程的系数 \(a, b, c, d\) 计算得到：
\[ p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{d}{a} + \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} \]
现在，问题的核心变成了：如何求解这个更简单的方程 \(y^3 + py + q = 0\)。
第三步：卡丹公式的核心思想与推导
卡丹公式的巧妙之处在于一个大胆的假设：将解 \(y\) 表示成两个新变量之和：
\[ y = u + v \]
将这个表达式代入 \(y^3 + py + q = 0\)。我们计算 \(y^3 = (u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v) = u^3 + v^3 + 3uvy\)。
于是方程变为：
\[ (u^3 + v^3 + 3uvy) + py + q = 0 \]
整理得：
\[ u^3 + v^3 + (3uv + p)y + q = 0 \]
由于我们已经假设 \(y = u+v\)，这个方程必须对所有（满足解的）\(u, v\) 成立。一个聪明的策略是额外强加一个约束条件，来简化问题。我们令：
\[ 3uv + p = 0 \quad \Rightarrow \quad uv = -\frac{p}{3} \tag{1} \]
在这个条件下，含有 \(y\) 的项消失了，方程简化为：
\[ u^3 + v^3 = -q \tag{2} \]
现在，我们有了关于 \(u^3\) 和 \(v^3\) 的两个方程：
- \(u^3 + v^3 = -q\)
- 从(1)式立方得：\((uv)^3 = u^3 v^3 = -\frac{p^3}{27}\)
第四步：转化为二次方程
注意到，如果 \(u^3\) 和 \(v^3\) 是两个数，那么根据韦达定理，它们的和是 \(-q\)，它们的积是 \(-\frac{p^3}{27}\)。这意味着 \(u^3\) 和 \(v^3\) 恰好是以下关于 \(t\) 的二次方程的两个根：
\[ t^2 - (u^3+v^3)t + (u^3)(v^3) = 0 \]
即：
\[ t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0 \]
这是一个标准的二次方程！我们可以用二次求根公式立即解出：
\[ t = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} \]
我们定义判别式 \(\Delta\) 为：
\[ \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 \]
于是，\(u^3\) 和 \(v^3\) 就是：
\[ u^3, v^3 = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\Delta} \]
这里 \(u^3\) 和 \(v^3\) 可以任取“+”和“-”，但由于它们还需满足 \(u^3 v^3 = -p^3/27\)，我们通常选择：
\[ u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}, \quad v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta} \]
第五步：完整的卡丹公式
现在，\(u\) 是 \(u^3\) 的立方根，但复数域内一个非零数有三个立方根。设 \(\omega = e^{2\pi i / 3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\) 是三次单位原根（满足 \(\omega^3 = 1\) 且 \(1 + \omega + \omega^2 = 0\)）。那么 \(u\) 的三个可能值是：
\[ u_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}}, \quad u_2 = \omega u_1, \quad u_3 = \omega^2 u_1 \]
为了满足约束条件 \(uv = -p/3\)，\(v\) 的取值必须与 \(u\) 配对，使得 \((u)(v) = -p/3\)。具体地，如果 \(u\) 取 \(u_k\)，那么对应的 \(v\) 必须取 \(v_k = -p/(3u_k)\)。计算可知，这恰好等价于 \(v_k\) 是 \(v^3\) 的对应立方根。
最终，方程 \(y^3 + py + q = 0\) 的三个解为：
\[ y_k = u_k + v_k = u_k - \frac{p}{3u_k}, \quad k=1,2,3 \]
更对称地，写作：
\[ y = \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}, \quad k=0,1,2 \]
其中，两个立方根的选择必须满足乘积为 \(-\frac{p}{3}\)。这就是卡丹公式的最终形式。
第六步：判别式与根的性质
判别式 \(\Delta = (q/2)^2 + (p/3)^3\) 决定了根的性质：
- \(\Delta > 0\): 方程有一个实根和两个共轭复根。此时公式中的平方根是实数，但开立方后可能需要处理复数，然而最终组合结果能消去虚部得到一个实根（“不可约情形”的挑战，最早使数学家困惑）。
- \(\Delta = 0\): 方程至少有两个重根。所有根都是实数。
- \(\Delta < 0\): 这是最有趣的情形——“不可约情形”。此时公式中出现负数的平方根（即复数），但最终组合得到的三个根全都是不同的实数根。这意味着我们不得不通过复数的运算来得到实根，这成为了复数概念发展的重要推动力。
第七步：历史意义与后续发展
卡丹公式的发表，标志着人类首次掌握了三次及以上代数方程的公式解。它直接催动了后续四次方程求根公式（由费拉里发现）的求解竞赛，并最终引向了阿贝尔-鲁菲尼定理（你已学过）的发现，即五次及更高次的一般方程没有根式解。此外，在求解过程中不可避免出现的复数，极大地推动了数系从实数到复数的扩展。在计算实数根时，对“不可约情形”的处理也发展出了三角解法 \((y = 2\sqrt{-p/3} \cos(\frac{1}{3} \arccos(\ldots)))\)，显示了代数与三角的深刻联系。
总结来说，卡丹公式不仅仅是一个求解工具，它是代数学史上的一座里程碑，深刻地影响了方程论、数系发展乃至整个近现代代数的进程。