勒贝格积分 从黎曼积分到勒贝格积分的动机 在微积分中，您已经学习了黎曼积分。对于一个定义在区间 [ a, b] 上的函数 f(x)，黎曼积分的思想是将定义域 [ a, b ] 分割成若干小区间，在每个小区间上取函数值来构造矩形面积，并通过矩形面积和的极限来定义曲线下的面积。黎曼积分的一个核心局限是：它对函数的要求较高。许多性质很“差”的函数（例如狄利克雷函数，它在有理点取值为1，在无理点取值为0）不是黎曼可积的。勒贝格积分提供了一种全新的积分思路，它不是去分割定义域，而是去分割函数的值域。这个根本性的转变使得我们可以对更广泛的一类函数进行积分，并且极大地简化了许多极限定理的表述。 勒贝格积分的构造思路（非负简单函数） 勒贝格积分的构建是一个循序渐进的过程，我们从最简单的函数开始。 简单函数 ：首先，我们考虑一类称为“简单函数”的函数。如果一个函数 φ(x) 只能取有限个实数值 {c₁, c₂, ..., cₙ}，并且对于每个值 cᵢ，其原像集 Eᵢ = {x | φ(x) = cᵢ} 是一个可测集（这是您已学过的概念），那么 φ(x) 就是一个简单函数。简单函数可以写成如下形式： φ(x) = Σᵢ₌₁ⁿ cᵢ · χ_ {Eᵢ}(x) 其中 χ_ {Eᵢ} 是集合 Eᵢ 的示性函数（当 x∈Eᵢ 时值为1，否则为0）。 非负简单函数的积分定义 ：对于一个 非负 的简单函数 φ(x) = Σᵢ₌₁ⁿ cᵢ · χ_ {Eᵢ}(x)（即所有 cᵢ ≥ 0），我们将其在可测集 E 上的勒贝格积分定义为： ∫ᴇ φ(x) dx = Σᵢ₌₁ⁿ cᵢ · m(E ∩ Eᵢ) 这里 m(E ∩ Eᵢ) 是集合 E ∩ Eᵢ 的勒贝格测度（即它的“长度”或“体积”）。这个定义非常直观：它将函数值乘以对应集合的测度然后求和，完美地表达了“面积”的概念。 勒贝格积分的构造思路（非负可测函数） 接下来，我们将积分推广到更一般的非负函数。 逼近 ：设 f(x) 是一个 非负可测函数 （这也是您已学过的概念）。我们可以找到一列非负简单函数 {φₙ(x)}，使得对于每个 x，有 0 ≤ φ₁(x) ≤ φ₂(x) ≤ ... ≤ f(x)，并且这列函数逐点收敛于 f(x)，即 limₙ→∞ φₙ(x) = f(x)。简单地说，我们可以用越来越复杂的简单函数从下方无限逼近 f(x)。 非负可测函数的积分定义 ：基于上述逼近，我们定义 f(x) 在可测集 E 上的勒贝格积分为其简单函数逼近的积分的上确界（或极限）： ∫ᴇ f(x) dx = sup { ∫ᴇ φ(x) dx | φ 是简单函数，且 0 ≤ φ ≤ f } 或者，等价地，如果 {φₙ} 是任一从下方单调收敛于 f 的非负简单函数列，则 ∫ᴇ f(x) dx = limₙ→∞ ∫ᴇ φₙ(x) dx。这个定义是合理的，因为极限值与所选取的逼近函数列无关。 勒贝格积分的构造思路（一般可测函数） 最后，我们将积分推广到可取正值和负值的函数。 正部与负部 ：对于一个一般的可测函数 f(x)，我们总可以将其分解为它的正部 f⁺(x) 和负部 f⁻(x)： f⁺(x) = max{f(x), 0} f⁻(x) = max{-f(x), 0} 显然，f⁺(x) 和 f⁻(x) 都是非负可测函数，并且有 f(x) = f⁺(x) - f⁻(x)。 一般可测函数的积分定义 ：如果 f⁺(x) 和 f⁻(x) 的积分 至少有一个是有限值 ，我们定义 f(x) 的勒贝格积分为： ∫ᴇ f(x) dx = ∫ᴇ f⁺(x) dx - ∫ᴇ f⁻(x) dx 如果两者都是有限的，我们称 f(x) 在 E 上是 勒贝格可积的 （或称 L¹(E) 函数）。如果其中一个是无穷大，则积分值为正无穷或负无穷。如果两者都是无穷大，则积分无定义。 勒贝格积分的主要性质与优势 线性性 ：积分运算时线性的，即 ∫ᴇ (af + bg) dx = a∫ᴇ f dx + b∫ᴇ g dx。 单调性 ：如果 f(x) ≤ g(x) 几乎处处成立，那么 ∫ᴇ f dx ≤ ∫ᴇ g dx。 绝对可积性 ：f(x) 是勒贝格可积的，当且仅当它的绝对值 |f(x)| 是勒贝格可积的。这是勒贝格积分一个非常重要的性质，黎曼积分不具备。 强大的极限定理 ：这是勒贝格积分相对于黎曼积分最显著的优势。它提供了在积分号下取极限的便利条件，其中最著名的是 勒贝格控制收敛定理 ：如果函数列 {fₙ} 几乎处处收敛于 f，并且存在一个可积函数 g（称为控制函数），使得对所有 n 都有 |fₙ(x)| ≤ g(x) 几乎处处成立，那么 f 可积，并且有 ∫ fₙ dx → ∫ f dx。这个定理的条件相对容易验证，使得许多极限交换问题变得非常简洁。