圆柱坐标中的拉普拉斯算子
字数 2723 2025-12-13 07:51:16

圆柱坐标中的拉普拉斯算子

  1. 我们从基础的圆柱坐标系入手。它由三个坐标 \((r, \phi, z)\) 定义，其中：

    • \(r \geq 0\) 是点到 \(z\) 轴的垂直距离（径向距离），
    • \(\phi\) 是绕 \(z\) 轴从正 \(x\) 轴量起的方位角（通常 \(0 \leq \phi < 2\pi\)），
    • \(z\) 是沿 \(z\) 轴的高度（与直角坐标系的 \(z\) 相同）。

  2. 圆柱坐标与直角坐标 \((x, y, z)\) 的转换关系为：

\[ x = r \cos \phi, \quad y = r \sin \phi, \quad z = z. \]

其逆变换为 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)，\(\phi = \arctan(y/x)\)（需根据象限确定 \(\phi\)）。

  1. 接下来，我们考虑梯度算子 \(\nabla\) 在圆柱坐标下的形式。梯度作用于一个标量函数 \(f(r, \phi, z)\) 时，表示其变化最快的方向和速率。通过坐标变换的链式法则，可推导出：

\[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{\mathbf{e}}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{\mathbf{e}}_\phi + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{\mathbf{e}}_z, \]

其中 \(\hat{\mathbf{e}}_r, \hat{\mathbf{e}}_\phi, \hat{\mathbf{e}}_z\) 分别是 \(r, \phi, z\) 增加方向的单位向量，构成一个局部的正交右手坐标系。

  1. 然后，我们需要拉普拉斯算子 \(\Delta\)（或记作 \(\nabla^2\)）的定义。它是一个二阶微分算子，作用在标量函数上等于梯度的散度：\(\Delta f = \nabla \cdot (\nabla f)\)。在直角坐标中，其形式很简单：\(\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\)。

  2. 为了得到圆柱坐标下的拉普拉斯算子，我们将梯度表达式代入散度运算 \(\nabla \cdot \mathbf{F}\)，但此时 \(\mathbf{F} = \nabla f\)。这里的关键点是，圆柱坐标的单位向量 \(\hat{\mathbf{e}}_r\) 和 \(\hat{\mathbf{e}}_\phi\) 的方向会随点的位置（特别是随 \(\phi\)）变化。因此，在计算散度时，必须考虑单位向量对坐标的导数，例如 \(\frac{\partial \hat{\mathbf{e}}_r}{\partial \phi} = \hat{\mathbf{e}}_\phi\)，\(\frac{\partial \hat{\mathbf{e}}_\phi}{\partial \phi} = -\hat{\mathbf{e}}_r\)，而其他偏导为零。

  3. 将梯度表达式 \(\nabla f = F_r \hat{\mathbf{e}}_r + F_\phi \hat{\mathbf{e}}_\phi + F_z \hat{\mathbf{e}}_z\) 视为一个向量场，其中 \(F_r = \frac{\partial f}{\partial r}\)，\(F_\phi = \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi}\)，\(F_z = \frac{\partial f}{\partial z}\)。然后计算散度 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)。这是圆柱坐标下散度公式的一般形式。

  4. 将 \(F_r, F_\phi, F_z\) 的具体表达式代入上式，并进行求导：

\[ \begin{aligned} \Delta f &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right) \\ &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}. \end{aligned} \]

这就是圆柱坐标下拉普拉斯算子的最终表达式。第一项可展开为 \(\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}\)，体现了径向部分的曲率效应。

  1. 这个算子在涉及圆柱对称的物理和工程问题中极为重要，例如在静电学、热传导、流体力学和量子力学中求解偏微分方程（如拉普拉斯方程 \(\Delta f = 0\)、泊松方程或亥姆霍兹方程）。当问题具有绕 \(z\) 轴的旋转对称性时，函数 \(f\) 与 \(\phi\) 无关，则项 \(\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\) 消失，方程得以简化。
圆柱坐标中的拉普拉斯算子 我们从基础的 圆柱坐标系 入手。它由三个坐标 \((r, \phi, z)\) 定义，其中： \(r \geq 0\) 是点到 \(z\) 轴的垂直距离（径向距离）， \(\phi\) 是绕 \(z\) 轴从正 \(x\) 轴量起的方位角（通常 \(0 \leq \phi < 2\pi\)）， \(z\) 是沿 \(z\) 轴的高度（与直角坐标系的 \(z\) 相同）。 圆柱坐标与直角坐标 \((x, y, z)\) 的转换关系为： \[ x = r \cos \phi, \quad y = r \sin \phi, \quad z = z. \] 其逆变换为 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)，\(\phi = \arctan(y/x)\)（需根据象限确定 \(\phi\)）。 接下来，我们考虑 梯度算子 \(\nabla\) 在圆柱坐标下的形式。梯度作用于一个标量函数 \(f(r, \phi, z)\) 时，表示其变化最快的方向和速率。通过坐标变换的链式法则，可推导出： \[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{\mathbf{e}} r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{\mathbf{e}} \phi + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{\mathbf{e}}_ z, \] 其中 \(\hat{\mathbf{e}} r, \hat{\mathbf{e}} \phi, \hat{\mathbf{e}}_ z\) 分别是 \(r, \phi, z\) 增加方向的 单位向量 ，构成一个局部的正交右手坐标系。 然后，我们需要 拉普拉斯算子 \(\Delta\)（或记作 \(\nabla^2\)）的定义。它是一个二阶微分算子，作用在标量函数上等于梯度的散度：\(\Delta f = \nabla \cdot (\nabla f)\)。在直角坐标中，其形式很简单：\(\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\)。 为了得到圆柱坐标下的拉普拉斯算子，我们将梯度表达式代入散度运算 \(\nabla \cdot \mathbf{F}\)，但此时 \(\mathbf{F} = \nabla f\)。这里的关键点是，圆柱坐标的单位向量 \(\hat{\mathbf{e}} r\) 和 \(\hat{\mathbf{e}} \phi\) 的方向会随点的位置（特别是随 \(\phi\)）变化。因此，在计算散度时，必须考虑单位向量对坐标的导数，例如 \(\frac{\partial \hat{\mathbf{e}} r}{\partial \phi} = \hat{\mathbf{e}} \phi\)，\(\frac{\partial \hat{\mathbf{e}}_ \phi}{\partial \phi} = -\hat{\mathbf{e}}_ r\)，而其他偏导为零。 将梯度表达式 \(\nabla f = F_ r \hat{\mathbf{e}} r + F \phi \hat{\mathbf{e}} \phi + F_ z \hat{\mathbf{e}} z\) 视为一个向量场，其中 \(F_ r = \frac{\partial f}{\partial r}\)，\(F \phi = \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi}\)，\(F_ z = \frac{\partial f}{\partial z}\)。然后计算散度 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r F_ r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F \phi}{\partial \phi} + \frac{\partial F_ z}{\partial z}\)。这是圆柱坐标下散度公式的一般形式。 将 \(F_ r, F_ \phi, F_ z\) 的具体表达式代入上式，并进行求导： \[ \begin{aligned} \Delta f &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right) \\ &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}. \end{aligned} \] 这就是 圆柱坐标下拉普拉斯算子的最终表达式 。第一项可展开为 \(\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}\)，体现了径向部分的曲率效应。 这个算子在涉及圆柱对称的物理和工程问题中极为重要，例如在静电学、热传导、流体力学和量子力学中求解偏微分方程（如拉普拉斯方程 \(\Delta f = 0\)、泊松方程或亥姆霍兹方程）。当问题具有绕 \(z\) 轴的旋转对称性时，函数 \(f\) 与 \(\phi\) 无关，则项 \(\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}\) 消失，方程得以简化。