二次互反律
我们从你已经熟悉的模运算和同余概念出发。二次互反律是数论中一个非常优美且强大的定理，它深刻地揭示了素数在模运算下的二次剩余性质之间的内在联系。
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回顾核心概念：二次剩余
首先，我们快速回顾一下二次剩余。对于一个奇素数 \(p\) 和一个与 \(p\) 互质的整数 \(a\)，如果同余方程 \(x^2 \equiv a \pmod{p}\) 有解，那么我们称 \(a\) 是模 \(p\) 的二次剩余。否则，称 \(a\) 是模 \(p\) 的二次非剩余。
例如，模 \(7\) 的二次剩余是 \(1^2 \equiv 1\), \(2^2 \equiv 4\), \(3^2 \equiv 9 \equiv 2\)，所以 \(1, 2, 4\) 是模 \(7\) 的二次剩余，而 \(3, 5, 6\) 是二次非剩余。 -
引入勒让德符号
为了简洁地表达一个数是否是二次剩余，数学家引入了勒让德符号 \(\left(\frac{a}{p}\right)\)。它的定义如下：
\[ \left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 1, & \text{如果 } a \text{ 是模 } p \text{ 的二次剩余} \\ -1, & \text{如果 } a \text{ 是模 } p \text{ 的二次非剩余} \\ 0, & \text{如果 } p \mid a \end{cases} \]
这个符号将判断二次剩余的问题变成了计算一个值为 \(1\) 或 \(-1\) 的符号。例如，\(\left(\frac{2}{7}\right) = 1\)（因为2是模7的二次剩余），而 \(\left(\frac{3}{7}\right) = -1\)（因为3是模7的二次非剩余）。
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问题的提出
现在，我们考虑一个核心问题：给定两个不同的奇素数 \(p\) 和 \(q \，它们之间的二次剩余性质有什么关系？具体来说，如果我们想知道 \( q\) 是否是模 \(p\) 的二次剩余（即计算 \(\left(\frac{q}{p}\right)\)），我们是否也需要知道 \(p\) 是否是模 \(q\) 的二次剩余（即计算 \(\left(\frac{p}{q}\right)\)）？这两个看似独立的判断之间是否存在一种深刻的、相互制约的规律？ -
二次互反律的表述
答案是肯定的，这个规律就是二次互反律。它的标准表述如下：
对于任意两个不同的奇素数 \(p\) 和 \(q\)，有以下等式成立：
\[ \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} \]
这个公式非常紧凑，让我们来仔细分析它：
* 左边是两个勒让德符号的乘积，一个问“p是不是模q的二次剩余？”，另一个问“q是不是模p的二次剩余？”。
- 右边是一个由 \(p\) 和 \(q\) 决定的符号，其值只能是 \(1\) 或 \(-1\)。
- 指数 \(\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}\) 是决定符号的关键。\(\frac{p-1}{2}\) 和 \(\frac{q-1}{2}\) 都是整数。
- 深入理解互反关系
我们可以根据右边的值，将二次互反律的含义具体化：
- 情况一： 如果 \((-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} = 1\)。这意味着 \(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = 1\)。两个符号乘积为1，说明它们相等，即 \(\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right)\)。换句话说，“p是模q的二次剩余” 和 “q是模p的二次剩余” 这两个命题要么同时成立，要么同时不成立。
- 情况二： 如果 \((-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} = -1\)。这意味着 \(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = -1\)。两个符号乘积为-1，说明它们互为相反数，即 \(\left(\frac{p}{q}\right) = -\left(\frac{q}{p}\right)\)。换句话说，“p是模q的二次剩余” 和 “q是模p的二次剩余” 这两个命题有且仅有一个成立。
那么，什么时候是情况一，什么时候是情况二呢？指数 \(\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}\) 的奇偶性决定了结果。这个指数是偶数时，结果为1；是奇数时，结果为-1。而 \(\frac{p-1}{2}\) 是奇数当且仅当 \(p \equiv 3 \pmod{4}\)（因为如果p除以4余3，则p-1除以2余1，是奇数）。因此，一个更直观的推论是：
如果 \(p\) 和 \(q\) 中至少有一个模4余1，那么 \(\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right)\)。如果 \(p\) 和 \(q\) 都模4余3，那么 \(\left(\frac{p}{q}\right) = -\left(\frac{q}{p}\right)\)。
- 一个具体的例子
让我们判断 \(3\) 是否是模 \(17\) 的二次剩余，即计算 \(\left(\frac{3}{17}\right)\)。- 直接验证很麻烦，需要尝试1到16的平方。
- 利用二次互反律：因为3和17都是奇素数，且 \(3 \equiv 3 \pmod{4}\)，\(17 \equiv 1 \pmod{4}\)（属于“至少有一个模4余1”的情况），所以我们有：
\[ \left(\frac{3}{17}\right) = \left(\frac{17}{3}\right) \]
- 现在问题转化为计算 \(\left(\frac{17}{3}\right)\)，这简单得多。因为 \(17 \equiv 2 \pmod{3}\)，所以 \(\left(\frac{17}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)\)。
- 我们很容易验证，模3的二次剩余只有 \(1^2 \equiv 1\)，而 \(2\) 不是二次剩余，所以 \(\left(\frac{2}{3}\right) = -1\)。
- 因此，我们得出结论：\(\left(\frac{3}{17}\right) = -1\)，即3是模17的二次非剩余。这个计算过程展示了二次互反律如何将一个复杂问题转化为一个简单问题。
二次互反律是数论的王冠之一，它不仅有多种证明方法（高斯一生就给出了8种），而且是研究高次互反律的起点，在现代数论，特别是代数数论中有着深远的影响。