好的，我将为你讲解数论中一个核心且基础的概念。确保这个词条不在你已提供的列表中。 欧几里得算法 (Euclidean Algorithm) 核心概念引入：最大公约数 首先，我们需要理解算法的目标：寻找两个整数的 最大公约数 。 公约数 ：对于一个整数 d ，如果它能同时整除整数 a 和 b （即 a/d 和 b/d 都是整数），那么 d 就是 a 和 b 的一个公约数。 最大公约数 ：所有公约数中最大的那个，记为 gcd(a, b) 。例如， gcd(12, 18) = 6 。 最大公约数为 1 的两个数称为 互质 （或互素），如 gcd(9, 14) = 1 。 算法的基础：带余除法 欧几里得算法建立在一个更基础的定理之上： 带余除法 （或除法算法）。 给定任意两个正整数 a 和 b （ a >= b ），总存在 唯一 的整数 q （商）和 r （余数），满足： a = b * q + r ，其中 0 <= r < b 。 这个定理告诉我们，一个整数被另一个正整数除，结果可以表示为一个整数商加上一个比除数小的非负余数。这是所有后续步骤的基石。 算法的关键观察：余数中的秘密 欧几里得算法的核心思想基于一个精妙的观察： gcd(a, b) = gcd(b, r) 。 为什么？让我们分析等式 a = b * q + r 。 任何能同时整除 a 和 b 的数 d ，必然也能整除 r 。因为 r = a - b*q ，而 d 能整除右边的每一项。 反过来，任何能同时整除 b 和 r 的数 d ，也必然能整除 a 。因为 a = b*q + r 。 因此， a 和 b 的公约数集合，与 b 和 r 的公约数集合 完全一样 。既然集合相同，其中的最大数——最大公约数——也必然相同。 算法的步骤：迭代与应用 既然 gcd(a, b) 等于 gcd(b, r) ，而 r 比 b 小，我们就把一个求大数对的最大公约数问题，转化成了一个求更小数对 (b, r) 的最大公约数问题。我们可以对这个新数对 重复应用 带余除法： 第一步 ： a = b * q1 + r1 (0 <= r1 < b)。现在 gcd(a, b) = gcd(b, r1) 。 第二步 ： b = r1 * q2 + r2 (0 <= r2 < r1)。现在 gcd(b, r1) = gcd(r1, r2) 。 第三步 ： r1 = r2 * q3 + r3 (0 <= r3 < r2)。 如此继续... 你会注意到，每一步的余数 r1, r2, r3, ... 都在 严格递减 ，并且都是非负整数。根据数学的 良序原理 ，这个过程不可能无限进行下去。 算法的终止与结果 最终，这个递减的余数序列必然会达到 0 。假设在某一步： r_(n-2) = r_(n-1) * q_n + r_n ， 且 r_n = 0 。 这意味着 r_(n-1) 能整除 r_(n-2) 。 根据我们的关键观察， gcd(a, b) = gcd(b, r1) = ... = gcd(r_(n-2), r_(n-1)) 。 而当 r_n = 0 时， r_(n-1) 就是 r_(n-2) 和 r_(n-1) 的最大公约数（因为 r_(n-1) 本身能整除 r_(n-2) 和它自己，并且是最大的这样的数）。 因此， 最后一个非零余数 r_(n-1) 就是 a 和 b 的最大公约数 。 实例演示 让我们计算 gcd(1071, 462) 。 1071 = 462 * 2 + 147 （ gcd(1071,462) = gcd(462,147) ） 462 = 147 * 3 + 21 （ gcd(462,147) = gcd(147,21) ） 147 = 21 * 7 + 0 （余数为 0！） 因此，最后一个非零余数是 21 。所以 gcd(1071, 462) = 21 。 算法的延伸：扩展欧几里得算法 欧几里得算法不仅能求出最大公约数，还能逆向推导出著名的 贝祖等式 的解。 贝祖等式 ：对于任意整数 a, b ，存在整数 x 和 y ，使得 a*x + b*y = gcd(a, b) 。 扩展算法 ：通过将欧几里得算法的每一步余数 r 用 a 和 b 的线性组合表示，并反向代入，最终可以找到满足等式的系数 x 和 y 。这在求解模线性方程（如求模逆元）和密码学（如RSA算法）中至关重要。 总结 ：欧几里得算法是一个优雅、高效且历史悠久的算法。它通过反复应用带余除法，将求两个数最大公约数的问题，转化为一系列规模更小但解相同的问题，直至余数为零，从而得到答案。它不仅是理论上的瑰宝，也是计算机科学和现代密码学中不可或缺的基础工具。