伊藤引理 背景与动机 在金融模型中，资产价格常被建模为 随机过程 （如几何布朗运动），其变化受随机因素（如市场波动）影响。若某金融衍生品（如期权）的价格依赖于底层资产价格，如何描述衍生品价格的动态变化？伊藤引理提供了分析 随机过程函数 的数学工具，是金融数学中推导定价微分方程的基础。 核心思想：随机微积分的特殊性 在经典微积分中，若 \( y = f(t) \)，则 \( dy = f'(t)dt \)。但当 \( f \) 依赖于随机过程（如布朗运动 \( B_ t \)）时，布朗运动的路径处处不可微且方差非零，需引入二阶项修正。伊藤引理的本质是： 随机函数的微分需包含一阶偏导的确定性项与二阶偏导的随机项 。 数学形式：伊藤引理的公式 设随机过程 \( X_ t \) 满足伊藤过程： \[ dX_ t = \mu_ t dt + \sigma_ t dB_ t \] 其中 \( \mu_ t \) 为漂移率，\( \sigma_ t \) 为波动率，\( B_ t \) 是标准布朗运动。若函数 \( F(t, X_ t) \) 二阶连续可微，则： \[ dF = \frac{\partial F}{\partial t} dt + \frac{\partial F}{\partial X} dX_ t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial X^2} (dX_ t)^2 \] 关键步骤：代入 \( dX_ t \) 并利用布朗运动的二次变差性质 \( (dB_ t)^2 = dt \)，忽略高阶小量（如 \( dt^2, dt dB_ t \)），得到： \[ dF = \left( \frac{\partial F}{\partial t} + \mu_ t \frac{\partial F}{\partial X} + \frac{1}{2} \sigma_ t^2 \frac{\partial^2 F}{\partial X^2} \right) dt + \sigma_ t \frac{\partial F}{\partial X} dB_ t \] 金融应用示例：期权定价中的推导 假设股票价格 \( S_ t \) 服从几何布朗运动： \[ dS_ t = \mu S_ t dt + \sigma S_ t dB_ t \] 令期权价格 \( V = V(t, S_ t) \)。应用伊藤引理： 对 \( S_ t \) 一阶导： \( \frac{\partial V}{\partial S} \) 对 \( S_ t \) 二阶导： \( \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \) 对时间偏导： \( \frac{\partial V}{\partial t} \) 代入公式后，可得 \( dV \) 的随机微分方程，进而通过构造无风险组合（如卖出1份期权并买入 \( \frac{\partial V}{\partial S} \) 份股票）消除随机项，推导出布莱克-舒尔斯方程。 扩展与意义 多维伊藤引理 ：若函数依赖于多个随机过程（如多资产期权），需引入相关性项 \( \rho_ {ij} dt \) 处理交叉变差。 与经典微积分的区别 ：二阶项的存在源于布朗运动的无限变差，是随机分析的核心特征。 实际价值 ：伊藤引理使随机动态的建模成为可能，为风险管理和衍生品定价提供了严格数学基础。