椭圆型偏微分方程中的迪尼连续性方法
我将从基础开始，为您讲解椭圆型偏微分方程理论中的一个重要工具——迪尼（Dini）连续性方法。这个方法专门用来研究解的“内部正则性”，即解在定义域内部的光滑程度。
第一步：背景与问题动机
考虑一个二阶线性椭圆型偏微方程的标准形式：
\[Lu = -\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i=1}^{n} b_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i} + c(x)u = f(x) \]
其中系数 \(a_{ij}(x)\) 满足一致椭圆性条件：存在常数 \(\lambda, \Lambda > 0\)，使得对所有 \(x \in \Omega\) 和所有向量 \(\xi \in \mathbb{R}^n\)，有
\[\lambda |\xi|^2 \le \sum_{i,j} a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \le \Lambda |\xi|^2 \]
我们的核心问题是：如果方程的非齐次项 \(f\) 具有一定的“模连续性”（例如，属于某个迪尼连续函数空间），那么解 \(u\) 能获得怎样的更高阶的正则性（比如 \(C^2\) 甚至 \(C^{2,\alpha}\)）？迪尼连续性方法正是回答这类问题的系统性工具。
第二步：核心概念——迪尼连续性
首先，我们需要精确定义什么是“迪尼连续性”，它比通常的赫尔德（Hölder）连续性更精细、更一般。
- 模（Modulus of Continuity）：一个函数 \(\omega: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)\) 称为一个模，如果它连续、递增，且 \(\omega(0)=0\)。
- 迪尼条件：我们说一个模 \(\omega\) 满足迪尼条件，如果积分
\[ \int_0^1 \frac{\omega(t)}{t} \, dt < \infty \]
是收敛的。这个可积性条件是该理论的核心。常见的赫尔德模 \(\omega(t) = t^\alpha\) 满足迪尼条件，因为 \(\int_0^1 t^{\alpha-1} dt = 1/\alpha < \infty\)。
3. 迪尼连续函数空间：给定一个区域 \(\Omega\) 和一个满足迪尼条件的模 \(\omega\)，我们定义迪尼连续函数空间 \(C^{0, \omega}(\overline{\Omega})\) 为：所有在 \(\overline{\Omega}\) 上连续的函数 \(f\)，其满足
\[ [f]_{C^{0, \omega}(\Omega)} := \sup_{\substack{x, y \in \Omega \\ x \neq y}} \frac{|f(x) - f(y)|}{\omega(|x-y|)} < \infty \]
这里的 \([f]_{C^{0, \omega}}\) 称为关于模 \(\omega\) 的迪尼半范数。这个空间衡量了函数震荡的“受控程度”，其控制比赫尔德连续性更灵活。
第三步：方法的基石——Campanato空间理论与局部估计
迪尼连续性方法的理论建立在坎帕纳托（Campanato）空间的框架之上。这是一种通过积分平均的震荡大小来刻画函数正则性的方法，与Morrey空间紧密相关。
- Campanato空间定义：对于区域 \(\Omega\)，点 \(x_0 \in \Omega\) 和小半径 \(R\)，记 \(B_R = B_R(x_0)\) 为球。函数 \(u \in L^2(\Omega)\) 属于Campanato空间 \(\mathcal{L}^{2, \lambda}(\Omega)\)，如果存在常数 \(C\)，使得对任意球 \(B_R \subset \Omega\)，有
\[ \inf_{c \in \mathbb{R}} \int_{B_R} |u(x) - c|^2 dx \le C R^{\lambda} \]
其中参数 \(\lambda\) 与正则性相关。关键定理是：当 \(n < \lambda \le n+2\) 时，\(\mathcal{L}^{2, \lambda}(\Omega)\) 等价于赫尔德空间 \(C^{0, \alpha}(\overline{\Omega})\)，其中 \(\alpha = (\lambda - n)/2\)。这建立了积分估计与点态光滑性之间的桥梁。
2. 方程的局部能量估计：对于椭圆型方程的解 \(u\)，我们从基本的Caccioppoli不等式出发。这个不等式告诉我们，解在内部球上的梯度平方积分，可以被解自身在更大球上的平方积分所控制（不包含梯度的最高阶项）：
\[ \int_{B_{R/2}} |Du|^2 dx \le \frac{C}{R^2} \int_{B_R} |u|^2 dx + C \int_{B_R} |f|^2 dx \]
这是所有进一步精细估计的起点。
第四步：从迪尼连续性到二阶导数的迪尼连续性
这是方法的核心步骤。目标是通过对系数 \(a_{ij}\) 和非齐次项 \(f\) 施加迪尼连续性假设，来证明解 \(u\) 的二阶导数 \(D^2u\) 也具有迪尼连续性。
- 常数系数方程的冻结（Freezing）技术：
- 在一点 \(x_0\) 附近，我们将变系数算子 \(L\) 近似为常系数算子 \(L_0 = -\sum a_{ij}(x_0) \partial_{ij}\)。由于 \(a_{ij}\) 是迪尼连续的，这个近似在小的尺度下是好的。
- 设 \(v\) 是 \(L_0 v = f(x_0)\) 在某个球上的解。对于常系数方程，我们有经典的内估计：\(\|D^2 v\|_{L^\infty} \le C \|f\|_{L^\infty}\)。
- 差函数的估计：
- 考虑 \(w = u - v\)，它满足 \(L_0 w = (L_0 - L)u + (f - f(x_0))\)。
- 利用系数的迪尼连续性和 \(f\) 的迪尼连续性，右端项的震荡大小可以被模 \(\omega(R)\) 控制，其中 \(R\) 是球的半径。
- 迭代与放大（Blow-up）论证：
- 我们不是直接估计 \(u\)，而是估计其“震荡”。定义 \(U(R) = \inf_{A \in \mathbb{R}^{n\times n}, b \in \mathbb{R}^n, c \in \mathbb{R}} \|u - ( \frac{1}{2} x^T A x + b \cdot x + c)\|_{L^\infty(B_R)}\)，即用二次多项式逼近 \(u\) 的最佳误差。
- 通过冻结法、差估计和Campanato空间理论，可以建立一个关键的增长引理：存在常数 \(\theta \in (0,1)\)，使得
\[ U(\theta R) \le \frac{1}{2} U(R) + C R^2 \omega(R) (\|u\|_{L^\infty} + \|f\|_{C^{0,\omega}}) \]
这个不等式说明，在缩小比例后，逼近误差不仅按比例缩小（第一项），还有一个由迪尼模控制的、阶数更高的修正项。
- 迭代引理的应用：
- 对上述不等式进行迭代，可以得到对任意小的 \(r\)，有 \(U(r) \le C \left( \frac{r}{R} \right)^2 U(R) + C r^2 \int_r^R \frac{\omega(t)}{t} dt + C R^2 \omega(R)\)。
- 由于迪尼条件 \(\int_0^1 \omega(t)/t dt < \infty\) 成立，上式中当 \(r \to 0\) 时，积分项是有限的。这最终导致估计：
\[ U(r) \le C r^2 \left( 1 + \int_r^1 \frac{\omega(t)}{t} dt \right) \]
这正好意味着 \(D^2 u\) 的震荡被一个与 \(\omega\) 相关的模所控制，即 \(D^2 u \in C^{0, \tilde{\omega}}\)，其中 \(\tilde{\omega}(r) = \int_0^r \frac{\omega(t)}{t} dt + r \int_r^1 \frac{\omega(t)}{t^2} dt\)。这个新模 \(\tilde{\omega}\) 也满足迪尼条件。
第五步：总结定理与意义
综上，我们可以陈述一个经典结论（以Schauder估计的迪尼推广为例）：
定理（迪尼连续性定理）：设 \(\Omega\) 是一个有界区域，椭圆型算子 \(L\) 的系数 \(a_{ij} \in C^{0, \omega}(\overline{\Omega})\) 满足一致椭圆条件，且 \(c \le 0\)。若非齐次项 \(f \in C^{0, \omega}(\overline{\Omega})\)，其中模 \(\omega\) 满足迪尼条件，则方程 \(Lu = f\) 的任意解 \(u \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline{\Omega})\) 必然满足 \(u \in C^{2, \omega}(\overline{\Omega})\)，并且存在常数 \(C\) 使得：
\[\|u\|_{C^{2, \omega}(\overline{\Omega})} \le C ( \|u\|_{C^0(\overline{\Omega})} + \|f\|_{C^{0, \omega}(\overline{\Omega})} ) \]
这里 \(C^{2, \omega}\) 表示函数本身、一阶及二阶导数均关于模 \(\omega\) 迪尼连续。
意义：
- 正则性提升：它将方程右端项 \(f\) 的光滑性（迪尼连续）精确地传递给了解的二阶导数（同样是迪尼连续）。
- 比经典Schauder估计更优：经典的Schauder理论要求 \(a_{ij}, f \in C^{0, \alpha}\)（赫尔德连续），结论是 \(u \in C^{2, \alpha}\)。迪尼连续性定理放宽了对系数的要求，允许更一般的连续性模，只要其满足可积条件。赫尔德连续是它的一个特例。
- 应用广泛：此方法是研究非线性椭圆方程、完全非线性方程（如蒙日-安培方程）正则性理论的基石之一。在研究自由边界问题、最优控制问题中解的光滑性时，当系数或数据仅有迪尼连续性时，该方法至关重要。
通过这五个步骤，我们从迪尼连续性的定义出发，经历了Campanato空间的积分刻画、局部能量估计、冻结逼近与迭代放大等关键思想，最终理解了如何从系数和数据的积分型连续性条件，推导出解的高阶导数具有同类连续性这一深刻结论。