xxx粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题
粘弹性流体是介于理想流体（无粘性）和牛顿流体（线性粘性）之间的一类复杂介质，其力学响应既具有弹性固体的特性（应力与应变相关），又具有粘性流体的特性（应力与应变率相关）。斯托克斯问题在粘弹性流体中是一个经典范例，用于揭示这类材料的记忆效应和频率响应特性。我将从最基础的概念开始，循序渐进地讲解。
第一步：从牛顿流体到线性粘弹性本构关系
- 牛顿流体：其应力与应变率呈简单的线性关系，即 \(\boldsymbol{\tau} = \mu \dot{\boldsymbol{\gamma}}\)，其中 \(\boldsymbol{\tau}\) 是偏应力张量，\(\mu\) 是动力粘度，\(\dot{\boldsymbol{\gamma}}\) 是应变率张量。其行为是瞬间的、无记忆的。
- 线性粘弹性模型：为了描述材料的记忆效应（即当前应力取决于整个变形历史），我们引入本构关系。最简单的模型是麦克斯韦模型和开尔文-沃伊特模型，它们可以统一地用线性微分算子的形式表示：
\[ P(\partial_t) \boldsymbol{\tau} = Q(\partial_t) \dot{\boldsymbol{\gamma}} \]
其中 \(P\) 和 \(Q\) 是时间导数的多项式。更一般地，我们使用松弛模量函数 \(G(t)\) 来描述：
\[ \boldsymbol{\tau}(t) = \int_{-\infty}^{t} G(t-s) \dot{\boldsymbol{\gamma}}(s) \, ds \]
这个积分形式清晰地表达了历史依赖性：当前时刻 \(t\) 的应力，是过去所有时刻 \(s\) 的应变率，经过一个随时间衰减的“记忆核” \(G(t-s)\) 加权后的累积结果。常见的 \(G(t)\) 形式如指数衰减和（多个麦克斯韦模型叠加）形式。
第二步：流体运动的基本方程——广义纳维-斯托克斯方程
对于不可压缩的线性粘弹性流体，运动由连续性方程和动量方程控制：
- 连续性方程：\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)（不可压缩条件）。
- 动量方程：
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \mathbf{f} \]
其中 \(\rho\) 是密度，\(\mathbf{v}\) 是速度场，\(p\) 是压力，\(\mathbf{f}\) 是体积力，\(\boldsymbol{\tau}\) 是满足上述粘弹性本构关系的偏应力张量。
3. 线性化：在“斯托克斯问题”的经典设定中，我们通常考虑低速（低雷诺数） 或小扰动，因此可以忽略对流项 \((\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}\)，将动量方程简化为：
\[ \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \mathbf{f} \]
这本质上是一个带有记忆效应的广义斯托克斯方程。
第三步：斯托克斯第一问题（粘弹性流体中的突然启动平板）
- 问题描述：考虑半无限空间 \((y > 0)\) 充满粘弹性流体，初始静止。在 \(t=0^+\) 时刻，底部的平板 \((y=0)\) 突然以恒定速度 \(U\) 沿 \(x\) 方向运动。求此后流体的速度分布 \(u(y, t)\)。
- 控制方程简化：
- 由对称性，速度场为 \(\mathbf{v} = (u(y, t), 0, 0)\)，自动满足连续性方程。
- 压力梯度为零。动量方程简化为：
\[ \rho \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} \]
其中切应力 \(\tau_{xy}(y, t) = \int_{0}^{t} G(t-s) \frac{\partial u}{\partial y}(y, s) \, ds\)。
* 得到积分-偏微分方程：
\[ \rho \frac{\partial u(y, t)}{\partial t} = \int_{0}^{t} G(t-s) \frac{\partial^2 u(y, s)}{\partial y^2} \, ds \]
- 求解与物理意义：这是一个关于 \(y\) 和 \(t\) 的初边值问题，初始条件 \(u(y, 0)=0\)，边界条件 \(u(0, t)=U H(t)\)（\(H(t)\) 是单位阶跃函数），无穷远条件 \(u(\infty, t)=0\)。通常用拉普拉斯变换求解。
- 对方程关于 \(t\) 作拉普拉斯变换，记 \(\hat{u}(y, s) = \mathcal{L}\{u(y, t)\}\)，\(\hat{G}(s) = \mathcal{L}\{G(t)\}\)。利用卷积定理，方程化为：
\[ \rho s \hat{u} = \hat{G}(s) \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial y^2} \]
- 这是一个关于 \(y\) 的常微分方程，其解为 \(\hat{u}(y, s) = \frac{U}{s} e^{-y \sqrt{\rho s / \hat{G}(s)} }\)。
- 核心在于广义的动态粘度 \(\hat{\eta}(s) = \hat{G}(s)/s\)。在牛顿流体中，\(G(t) = \mu \delta(t)\)，则 \(\hat{\eta}(s) = \mu\)，解回到经典的误差函数解 \(u = U \, \text{erfc}(y/(2\sqrt{\nu t}))\)。
- 对于粘弹性流体，其速度剖面不仅随时间扩散，其形态还强烈依赖于记忆核 \(G(t)\)。例如，对于麦克斯韦流体，解会表现出振荡衰减的波形，这是弹性波（剪切波）和粘性扩散耦合的结果，与纯扩散的牛顿流体有本质区别。
第四步：斯托克斯第二问题（粘弹性流体中的振荡平板）
- 问题描述：同样的半无限空间。在 \(t>0\) 时，底部平板 \((y=0)\) 在自身平面内作角频率为 \(\omega\) 的简谐振荡，即 \(u(0, t) = U \cos(\omega t)\) 或 \(U e^{i\omega t}\)。求定常周期状态下的速度场 \(u(y, t)\)。
- 控制方程与求解：由于是周期驱动，我们寻找形式为 \(u(y, t) = \Re\{f(y) e^{i\omega t}\}\) 的解。代入线性化的动量方程和粘弹性本构关系，得到关于 \(y\) 的方程：
\[ i\omega \rho f(y) = G^*(i\omega) \frac{d^2 f}{dy^2} \]
这里出现了复数剪切模量 \(G^*(\omega) = i\omega \hat{\eta}(i\omega) = G'(\omega) + i G''(\omega)\)，其中实部 \(G'\) 为储能模量（弹性部分），虚部 \(G''\) 为损耗模量（粘性部分）。
3. 解的形式与物理意义：方程解为：
\[ u(y, t) = U e^{-y/\delta} \cos(\omega t - y/\delta) \]
其中关键参数是穿透深度（或趋肤深度）\(\delta\) 和波长 \(\lambda = 2\pi\delta\)：
\[ \delta = \sqrt{\frac{2|G^*|}{\rho \omega^2} \frac{1}{\sqrt{1 + \sin \phi}} } \quad \text{或更常见地由} \quad \frac{1}{\delta} = \sqrt{\frac{\rho \omega^2}{2|G^*|}} \left( \sqrt{1+(\frac{G''}{G'})^2} - \frac{G''}{G'} \right)^{1/2} \]
这里 \(\phi = \arctan(G''/G')\) 是损耗角。
- 解表示一个沿 \(y\) 方向传播的衰减剪切波，其振幅随 \(y\) 指数衰减，每传播一个深度 \(\delta\) 振幅衰减为 \(1/e\)。同时，波在空间上存在相位滞后。
- 在牛顿流体极限下，\(G'=0, G''=\mu \omega\)，则 \(\delta = \sqrt{2\nu/\omega}\)，这是经典的粘性穿透深度，波形无振荡（只有同相和异相分量叠加）。而在弹性占优的材料中（\(G' \gg G''\)），穿透深度增大，波形更接近无衰减的横波，清晰地展示了粘弹性材料在周期载荷下弹性响应与粘性耗散的竞争。
总结：
粘弹性流体中的斯托克斯第一和第二问题，通过相对简单的几何和运动学设置，深刻揭示了粘弹性介质动力学的核心特征：记忆效应（通过积分本构关系体现）、应力松弛、以及依赖于频率的复模量。第一问题展现了启动过程中的波扩散与振荡现象，而第二问题则给出了测量复模量 \(G^*(\omega)\) 的理论基础（通过测量穿透深度和相位差），是流变学和材料科学中动态力学分析的理论基石。从牛顿流体到粘弹性流体的过渡，完美体现了在数学物理方程中，通过推广本构关系来刻画更丰富物理现象的典型范式。