“代数K理论”（Algebraic K-theory）
字数 3528 2025-10-27 23:50:13

好的，我们这次来讲解 “代数K理论”（Algebraic K-theory）。

代数K理论是代数学与拓扑学交叉的一个领域，它通过构造一系列函子 \(K_n\) 将环（或更一般的代数对象）与一系列 Abel 群联系起来，从而揭示环的深层结构和性质。我会从最直观的背景开始，逐步深入到较高层次的概念。

1. 历史起源与直观思想

代数K理论的思想源头可以追溯到 20 世纪 50 年代末的拓扑K理论（Topological K-theory）。

  • 在拓扑K理论中，对拓扑空间 \(X\)，通过考虑其上的向量丛，构造出群 \(K^0(X)\)，并进一步通过 Bott 周期性 得到高阶群 \(K^{-n}(X)\)。
  • 这种理论在解决拓扑问题（如向量场问题、球面上独立向量场的数量）时非常强大。

代数K理论可以看作是将这种思想 代数化：不再考虑拓扑空间上的向量丛，而是考虑一个环 \(R\) 上的有限生成投射模（类比于向量丛），构造类似的群 \(K_0(R), K_1(R), K_2(R), \dots\)。

2. \(K_0\) 群：投射模的 Grothendieck 群

背景概念

  • 环 \(R\)（有单位元，结合环）。
  • 投射模：是自由模的直和项，在代数上类似于拓扑中的向量丛（局部自由，但代数表述为“投射”）。
  • 有限生成投射模的直和 \(\oplus\) 构成一个交换半群（直和作为加法，零模作为零元）。

构造

定义集合：有限生成投射 \(R\)-模的同构类集合 \(P(R)\)。
在 \(P(R)\) 上定义加法： \([P] + [Q] = [P \oplus Q]\)，这是一个交换半群。

Grothendieck 群 构造：对此半群形式地加入加法逆元，即构造自由 Abel 群再模掉关系

\[[P \oplus Q] = [P] + [Q] \]

实际上更精确地，定义 \(K_0(R)\) 为所有形如 \([P] - [Q]\) 的形式差（满足 \([P] - [Q] = [P'] - [Q']\) 当且仅当存在 \(R\) 模 \(T\) 使得 \(P \oplus Q' \oplus T \cong P' \oplus Q \oplus T\)；若满足消去律，则可取 \(T=0\)）。

结果：\(K_0(R)\) 是一个 Abel 群，它记录了环 \(R\) 上有限生成投射模的稳定等价类信息。

  • 例如若 \(R\) 是域，则投射模就是向量空间，维数给出同构分类，于是 \(K_0(R) \cong \mathbb{Z}\)（由维数决定）。
  • 若 \(R\) 是 Dedekind 域（如整数环 \(\mathbb{Z}\) 或代数整数环），则 \(K_0\) 与理想类群有关。

3. \(K_1\) 群：由一般线性群的 Abel 化

类比拓扑中 \(K^{-1}(X)\) 与环映射的群有关，代数 \(K_1\) 由无限一般线性群定义：

  • 令 \(GL_n(R)\) 为 \(R\) 上的 \(n \times n\) 可逆矩阵群。
  • 包含 \(GL_n \hookrightarrow GL_{n+1}\) 把矩阵 \(A\) 映到 \(\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
  • 定义 \(GL(R) = \varinjlim GL_n(R)\)（无限一般线性群）。

Whitehead 引理：\([GL(R), GL(R)] = E(R)\)（由初等矩阵 \(e_{ij}(r)\) 生成的子群）。
定义：

\[K_1(R) = GL(R) / [GL(R), GL(R)] = GL(R) / E(R) = GL(R)^{\mathrm{ab}}. \]

即 \(K_1(R)\) 是 \(GL(R)\) 的 Abel 化。

直观：\(K_1(R)\) 捕捉了可逆矩阵模掉初等变换的差异，反映了环的“行列式”或更一般的线性代数不变量。

  • 若 \(R\) 是域，则 \(K_1(R) \cong R^\times\)（由行列式同构）。
  • 对交换环，有行列式映射 \(K_1(R) \to R^\times\)，但核与 \(SL\) 相关。

4. \(K_2\) 群与 Steinberg 群

Milnor (1970) 给出 \(K_2\) 的定义，通过 Steinberg 群 \(\mathrm{St}(R)\)：

  • Steinberg 群由符号 \(x_{ij}(r)\)（\(i \neq j, r \in R\)）生成，满足一些类似初等矩阵的关系（如 \([x_{ij}(r), x_{jk}(s)] = x_{ik}(rs)\) 对 \(i,j,k\) 不同等）。
  • 有自然满同态 \(\phi: \mathrm{St}(R) \to E(R)\)，\(x_{ij}(r) \mapsto e_{ij}(r)\)。

定义：

\[K_2(R) = \ker(\phi). \]

即 \(K_2(R)\) 是 Steinberg 群关系中不属于初等矩阵群的那部分“冗余关系”，描述了环中乘法结构带来的某种非平凡关系。

Matsumoto 定理：对域 \(F\)，\(K_2(F)\) 由形如 \(\{a, b\}\) 的符号生成（\(a,b \in F^\times\)），满足双线性与 Steinberg 关系 \(\{a, 1-a\} = 1\)（对 \(a \neq 0,1\)）。这就是域的 Milnor K-群 \(K_2^M(F)\)。

5. 高阶 \(K_n\)：\(Q\)-构造与 \(K\)-理论空间

要系统得到所有 \(n \ge 0\) 的 \(K_n\)，Quillen 引入了 \(Q\)-构造（1973）：

  • 考虑环 \(R\) 的投射模范畴 \(\mathcal{P}(R)\)。
  • 对其作 \(Q\)-构造得到分类空间 \(BQP(R)\)。
  • 定义 \(K_n(R) = \pi_n( BQP(R)^+ )\)，其中 \(^+\) 是 Quillen 的 加号构造，使空间具有 Abel 基本群且保持同调。

另一种等价定义（对 \(n\ge 0\)）：
取无限一般线性群 \(GL(R)\) 的分类空间 \(BGL(R)\)，应用加号构造得到 \(BGL(R)^+\)，则

\[K_n(R) = \pi_n( BGL(R)^+ ), \quad n \ge 1, \]

并且 \(K_0(R)\) 如前定义，可纳入此谱序列。

这样 \(K\)-理论成为一类 广义上同调理论，具有类似拓扑K理论的周期性在某些情形出现（如代数K理论的 Bott 周期性对某些正则环成立）。

6. 应用与意义

  • \(K_0\)：在代数几何中联系向量丛的分类；在算子代数中用于 C*-代数的分类。
  • \(K_1\)：在几何拓扑的 Whitehead 挠率中出现，用于区分同伦等价但不同胚的流形。
  • \(K_2\)：与 Brauer 群、中心扩张有关，数论中与类域论相关（Hilbert 符号、互反律）。
  • 高阶 \(K_n\)：代数几何中研究簇的 Chow 群、算术中 L-函数值的公式（Lichtenbaum 猜想）、代数拓扑中应用到高维流形分类。

7. 现代发展

  • 负K理论（Bass, Karoubi）：\(K_{-n}(R)\) 也有定义。
  • ** motivic K-理论**：将代数K理论与 motivic 上同调联系，是 Voevodsky 发展 motivic 理论的核心部分。
  • 非交换几何：Connes 用K理论研究非交换空间的“拓扑”不变量。

希望这个从 \(K_0, K_1, K_2\) 到 Quillen 高阶K理论的渐进介绍，能帮你理解这一领域的概貌。是否需要我在某个环节（比如 \(Q\)-构造的直观或某个具体例子）再展开一些？

好的，我们这次来讲解 “代数K理论”（Algebraic K-theory） 。 代数K理论是代数学与拓扑学交叉的一个领域，它通过构造一系列函子 \( K_ n \) 将环（或更一般的代数对象）与一系列 Abel 群联系起来，从而揭示环的深层结构和性质。我会从最直观的背景开始，逐步深入到较高层次的概念。 1. 历史起源与直观思想 代数K理论的思想源头可以追溯到 20 世纪 50 年代末的拓扑K理论（Topological K-theory）。 在拓扑K理论中，对拓扑空间 \( X \)，通过考虑其上的向量丛，构造出群 \( K^0(X) \)，并进一步通过 Bott 周期性 得到高阶群 \( K^{-n}(X) \)。 这种理论在解决拓扑问题（如向量场问题、球面上独立向量场的数量）时非常强大。 代数K理论可以看作是将这种思想 代数化 ：不再考虑拓扑空间上的向量丛，而是考虑一个环 \( R \) 上的有限生成投射模（类比于向量丛），构造类似的群 \( K_ 0(R), K_ 1(R), K_ 2(R), \dots \)。 2. \( K_ 0 \) 群：投射模的 Grothendieck 群 背景概念 环 \( R \)（有单位元，结合环）。 投射模 ：是自由模的直和项，在代数上类似于拓扑中的向量丛（局部自由，但代数表述为“投射”）。 有限生成投射模的直和 \(\oplus\) 构成一个交换半群（直和作为加法，零模作为零元）。 构造 定义集合：有限生成投射 \( R \)-模的同构类集合 \( P(R) \)。 在 \( P(R) \) 上定义加法： \([ P] + [ Q] = [ P \oplus Q ]\)，这是一个交换半群。 Grothendieck 群 构造：对此半群形式地加入加法逆元，即构造自由 Abel 群再模掉关系 \[ [ P \oplus Q] = [ P] + [ Q ] \] 实际上更精确地，定义 \( K_ 0(R) \) 为所有形如 \( [ P] - [ Q] \) 的形式差（满足 \( [ P] - [ Q] = [ P'] - [ Q' ] \) 当且仅当存在 \( R \) 模 \( T \) 使得 \( P \oplus Q' \oplus T \cong P' \oplus Q \oplus T \)；若满足消去律，则可取 \( T=0 \)）。 结果 ：\( K_ 0(R) \) 是一个 Abel 群，它记录了环 \( R \) 上有限生成投射模的稳定等价类信息。 例如若 \( R \) 是域，则投射模就是向量空间，维数给出同构分类，于是 \( K_ 0(R) \cong \mathbb{Z} \)（由维数决定）。 若 \( R \) 是 Dedekind 域（如整数环 \(\mathbb{Z}\) 或代数整数环），则 \( K_ 0 \) 与理想类群有关。 3. \( K_ 1 \) 群：由一般线性群的 Abel 化 类比拓扑中 \( K^{-1}(X) \) 与环映射的群有关，代数 \( K_ 1 \) 由无限一般线性群定义： 令 \( GL_ n(R) \) 为 \( R \) 上的 \( n \times n \) 可逆矩阵群。 包含 \( GL_ n \hookrightarrow GL_ {n+1} \) 把矩阵 \( A \) 映到 \( \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)。 定义 \( GL(R) = \varinjlim GL_ n(R) \)（无限一般线性群）。 Whitehead 引理 ：\( [ GL(R), GL(R)] = E(R) \)（由初等矩阵 \( e_ {ij}(r) \) 生成的子群）。 定义： \[ K_ 1(R) = GL(R) / [ GL(R), GL(R) ] = GL(R) / E(R) = GL(R)^{\mathrm{ab}}. \] 即 \( K_ 1(R) \) 是 \( GL(R) \) 的 Abel 化。 直观：\( K_ 1(R) \) 捕捉了可逆矩阵模掉初等变换的差异，反映了环的“行列式”或更一般的线性代数不变量。 若 \( R \) 是域，则 \( K_ 1(R) \cong R^\times \)（由行列式同构）。 对交换环，有行列式映射 \( K_ 1(R) \to R^\times \)，但核与 \( SL \) 相关。 4. \( K_ 2 \) 群与 Steinberg 群 Milnor (1970) 给出 \( K_ 2 \) 的定义，通过 Steinberg 群 \( \mathrm{St}(R) \)： Steinberg 群由符号 \( x_ {ij}(r) \)（\( i \neq j, r \in R \)）生成，满足一些类似初等矩阵的关系（如 \( [ x_ {ij}(r), x_ {jk}(s)] = x_ {ik}(rs) \) 对 \( i,j,k \) 不同等）。 有自然满同态 \( \phi: \mathrm{St}(R) \to E(R) \)，\( x_ {ij}(r) \mapsto e_ {ij}(r) \)。 定义： \[ K_ 2(R) = \ker(\phi). \] 即 \( K_ 2(R) \) 是 Steinberg 群关系中不属于初等矩阵群的那部分“冗余关系”，描述了环中乘法结构带来的某种非平凡关系。 Matsumoto 定理 ：对域 \( F \)，\( K_ 2(F) \) 由形如 \( \{a, b\} \) 的符号生成（\( a,b \in F^\times \)），满足双线性与 Steinberg 关系 \( \{a, 1-a\} = 1 \)（对 \( a \neq 0,1 \)）。这就是域的 Milnor K-群 \( K_ 2^M(F) \)。 5. 高阶 \( K_ n \)：\( Q \)-构造与 \( K \)-理论空间 要系统得到所有 \( n \ge 0 \) 的 \( K_ n \)，Quillen 引入了 \( Q \)-构造 （1973）： 考虑环 \( R \) 的投射模范畴 \( \mathcal{P}(R) \)。 对其作 \( Q \)-构造得到分类空间 \( BQP(R) \)。 定义 \( K_ n(R) = \pi_ n( BQP(R)^+ ) \)，其中 \( ^+ \) 是 Quillen 的 加号构造 ，使空间具有 Abel 基本群且保持同调。 另一种等价定义（对 \( n\ge 0 \)）： 取无限一般线性群 \( GL(R) \) 的分类空间 \( BGL(R) \)，应用加号构造得到 \( BGL(R)^+ \)，则 \[ K_ n(R) = \pi_ n( BGL(R)^+ ), \quad n \ge 1, \] 并且 \( K_ 0(R) \) 如前定义，可纳入此谱序列。 这样 \( K \)-理论成为一类 广义上同调理论 ，具有类似拓扑K理论的周期性在某些情形出现（如代数K理论的 Bott 周期性对某些正则环成立）。 6. 应用与意义 \( K_ 0 \)：在代数几何中联系向量丛的分类；在算子代数中用于 C* -代数的分类。 \( K_ 1 \)：在几何拓扑的 Whitehead 挠率中出现，用于区分同伦等价但不同胚的流形。 \( K_ 2 \)：与 Brauer 群、中心扩张有关，数论中与类域论相关（Hilbert 符号、互反律）。 高阶 \( K_ n \)：代数几何中研究簇的 Chow 群、算术中 L-函数值的公式（Lichtenbaum 猜想）、代数拓扑中应用到高维流形分类。 7. 现代发展 负K理论 （Bass, Karoubi）：\( K_ {-n}(R) \) 也有定义。 ** motivic K-理论** ：将代数K理论与 motivic 上同调联系，是 Voevodsky 发展 motivic 理论的核心部分。 非交换几何 ：Connes 用K理论研究非交换空间的“拓扑”不变量。 希望这个从 \( K_ 0, K_ 1, K_ 2 \) 到 Quillen 高阶K理论的渐进介绍，能帮你理解这一领域的概貌。是否需要我在某个环节（比如 \( Q \)-构造的直观或某个具体例子）再展开一些？