幂等理想的Peirce分解
好的，我们现在来讲解代数（环论与模论中的一个重要概念——幂等理想的Peirce分解。为了让你完全理解，我会从最基本的概念开始，一步步构建，最终阐释这个分解的核心思想、形式及其应用。
第一步：回顾基础概念——幂等元与理想
首先，我们需要明确两个基本构件：
- 幂等元：在一个环 \(R\) 中，如果一个元素 \(e\) 满足 \(e^2 = e\)，则称 \(e\) 为幂等元。例如，在任何环中，乘法单位元 \(1\)（如果存在）和加法单位元 \(0\) 都是幂等元。幂等元的核心特性是“自我重复相乘结果不变”。
- 理想：环 \(R\) 的一个子集 \(I\) 称为理想，如果它对 \(R\) 中的加法构成子群，并且对 \(R\) 中任意元素的左乘和右乘都封闭（即 \(rI \subseteq I, Ir \subseteq I, \forall r \in R\)）。理想是构造商环的基石。
第二步：从幂等元到幂等理想
现在，我们将这两个概念结合：
- 幂等理想：环 \(R\) 的一个理想 \(I\) 如果满足 \(I^2 = I\)，则称 \(I\) 为幂等理想。这里 \(I^2\) 表示由所有形如 \(\sum a_i b_i\)（其中 \(a_i, b_i \in I\)）的有限和组成的集合。条件 \(I^2 = I\) 意味着，理想 \(I\) 中的每一个元素，都可以写成 \(I\) 中两个元素乘积的和的形式。这是一个比“理想”更强的条件。
- 为什么重要？ 幂等理想在环的结构理论中扮演关键角色，例如，在诺特环中，幂等理想往往与可逆理想或投射理想等概念紧密相连。更重要的是，单个幂等元可以生成一个幂等理想（例如由 \(e\) 生成的主理想 \(ReR\) ），但幂等理想本身不一定由单个幂等元生成。我们今天讨论的分解，为分析由中心幂等元生成的幂等理想提供了一个强大的工具。
第三步：核心工具——中心幂等元
为了进行清晰的分解，我们需要一个更强的条件：
- 中心幂等元：如果一个幂等元 \(e\) 与环 \(R\) 中的所有元素都可交换（即 \(er = re, \forall r \in R\) ），则称 \(e\) 为中心幂等元。中心幂等元属于环的中心 \(Z(R)\)。
- 中心幂等元生成的理想：由中心幂等元 \(e\) 生成的主理想 \(I = Re\) （由于 \(e\) 是中心的，所以 \(Re = eR\)）是一个幂等理想，因为 \(I^2 = ReRe = Re^2R = ReR = Re = I\)。这个理想还具有一个非常好的性质：\(e\) 是它作为 \(R\)-模的“单位元”（在模的意义上，\(e\) 是它的生成元且 \(e^2=e\)）。
第四步：Peirce分解的构造
假设我们在环 \(R\) 中有一个中心幂等元 \(e\)。
- 观察补元：由于 \(e\) 是中心的幂等元，那么 \(1 - e\) 也是一个中心幂等元（因为 \((1-e)^2 = 1 - 2e + e^2 = 1 - 2e + e = 1 - e\)，且显然也与所有元素交换）。并且 \(e(1-e) = 0\)。
- 分解任意元素：对于环 \(R\) 中的任意元素 \(r\)，我们可以利用单位元 \(1 = e + (1-e)\) 进行“插入”分解：
\[ r = 1 \cdot r \cdot 1 = (e + (1-e)) r (e + (1-e)) \]
- 展开与四个分量：将上式展开：
\[ r = ere + er(1-e) + (1-e)re + (1-e)r(1-e) \]
这四个部分具有非常明确和分离的“作用域”：
- \(ere \in eRe\)
- \(er(1-e) \in eR(1-e)\)
- \((1-e)re \in (1-e)Re\)
- \((1-e)r(1-e) \in (1-e)R(1-e)\)
- 得到环的直和分解：可以证明，作为加法群（阿贝尔群），环 \(R\) 可以分解为四个两两正交的子群的直和：
\[ R = eRe \oplus eR(1-e) \oplus (1-e)Re \oplus (1-e)R(1-e) \]
这里的“正交”指的是乘法上的正交：不同分量之间的乘积为0（例如，\([eRe] \cdot [eR(1-e)] = 0\)，因为 \((eRe)(eR(1-e)) = eR(e^2)R(1-e) = eR(e)R(1-e) = eReR(1-e) \subseteq eR(1-e)\)，但更关键的是不同“坐标位置”的乘积会跨越到其他位置并可能归零，但核心是 \(e(1-e)=0\) 导致交叉项乘积消失）。更重要的是，这个分解不仅是加法群的直和，而且关于环的乘法是封闭的——我们可以将乘法视为在 \(2 \times 2\) “矩阵”上的运算。
第五步：矩阵解释与理想分解
这是理解Peirce分解最直观的方式。我们把环 \(R\) 中的元素 \(r\) 按照上面的四个分量排列成一个“广义矩阵”：
\[r \longleftrightarrow \begin{pmatrix} ere & er(1-e) \\ (1-e)re & (1-e)r(1-e) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
其中：
- \(a = ere \in eRe\)
- \(b = er(1-e) \in eR(1-e)\)
- \(c = (1-e)re \in (1-e)Re\)
- \(d = (1-e)r(1-e) \in (1-e)R(1-e)\)
那么，环 \(R\) 的加法和乘法运算，完全对应于这种 \(2 \times 2\) 矩阵的加法和矩阵乘法规则。在这个视角下：
- 子环 \(eRe\) 和 \((1-e)R(1-e)\) 本身都是环，其乘法单位元分别是 \(e\) 和 \(1-e\)。
- \(eR(1-e)\) 是一个 \((eRe, (1-e)R(1-e))\)-双模。
- \((1-e)Re\) 是一个 \(((1-e)R(1-e), eRe)\)-双模。
第六步：聚焦于幂等理想 \(I = Re\) 的分解
现在回到我们的核心：幂等理想 \(I = Re\)（其中 \(e\) 是中心幂等元）。在这个 \(2 \times 2\) 的矩阵表示下，理想 \(I\) 中的元素有什么特点？
- 因为 \(I = Re = R e\)，任何 \(x \in I\) 可以写成 \(x = r e\)。
- 用矩阵表示 \(x = r e = (e + (1-e)) r e = ere + (1-e)re\)。
- 注意，\(er(1-e)\) 和 \((1-e)r(1-e)\) 这两项消失了，因为 \(e \cdot (1-e) = 0\) 和 \((1-e) \cdot e = 0\) 在右乘 \(e\) 后被消去。更精确地计算：
\[ x = re = (e + (1-e)) r e = e r e + (1-e) r e \]
其矩阵表示为：
\[ \begin{pmatrix} ere & 0 \\ (1-e)re & 0 \end{pmatrix} \]
即，矩阵的第二列全为0。
因此，幂等理想 \(I = Re\) 在Peirce分解下，恰好对应于所有第二列为零的矩阵的集合。作为加法群，它可以分解为：
\[I = Re = (eRe) \oplus ((1-e)Re) \oplus 0 \oplus 0 \]
更简洁地写作：
\[I = eRe \oplus (1-e)Re \]
这就是幂等理想的Peirce分解的核心表述。它告诉我们，由中心幂等元 \(e\) 生成的理想 \(I\)，可以“分裂”成两个部分的直和：
- \(eRe\)：这是一个环（以 \(e\) 为单位元），而且它正好是 \(I\) 中那些与 \(e\) 相乘不变的元素（即 \(ex = x\) 的元素）。你可以把它看作 \(I\) 的“核心”部分，它自己作为一个环是 \(R\) 的子环，并且是 \(I\) 的一个直和项。
- \((1-e)Re\)：这是一个左 \((1-e)R(1-e)\)-模，右 \(eRe\)-模。它代表了理想 \(I\) 中那些“不属于核心环 \(eRe\) ”的部分，但通过 \((1-e)\) 和 \(e\) 的乘法与核心部分连接。
第七步：几何与模论意义
- 几何意义：在交换环（对应仿射代数簇）的语境下，中心幂等元 \(e\) 对应环全局函数的一个“特征函数”，它将空间分解为两个互不相交的既开又闭的子集的并：一个由方程 \(e=1\) 定义，另一个由 \(e=0\) 定义。幂等理想 \(I = Re\) 的支集（support）就是 \(e=1\) 这个分支。Peirce分解则反映了整个环（整个空间）的函数如何被限制在这两个分支上以及两个分支之间的“过渡”部分。
- 模论意义：Peirce分解是研究环结构和其模范畴结构的强大工具。它将环 \(R\) 的模范畴分解为更简单的分量的模范畴的直和。具体地，由幂等元 \(e\) 可以构造投射模 \(P = Re\)，而 \(End_R(P) \cong eRe\)。Peirce分解是Morita等价理论的前奏，它表明环 \(R\) 与其子环 \(eRe\) 在模的层面上可能有深刻的联系。
总结：
幂等理想的Peirce分解 特指由一个中心幂等元 \(e\) 生成的幂等理想 \(I = Re\)，在环 \(R\) 的Peirce分解框架下，可以表示为加法群的直和 \(I = eRe \oplus (1-e)Re\)。这个分解将理想清晰地剖分为一个子环分量和一个双模范分量，极大地简化了对环的局部结构、理想结构以及模范畴的分析。它是连接环论、模论和表示论的一个基本而优美的构造。