球极投影

字数 3340 2025-12-12 21:34:27

球极投影

我们从最简单的球面开始。想象有一个单位球面 \(S^2: x^2 + y^2 + z^2 = 1\)。球极投影是一种将球面（除一个极点外）映射到平面的方法，它能将球面上的圆（包括大圆）映射为平面上的圆或直线，是共形映射（保角映射）的重要例子。

第一步：定义与基本构图
取单位球面。设其“北极点”为 \(N = (0, 0, 1)\)，对应的“南极点”为 \(S = (0, 0, -1)\)。我们将球面上的点（除北极 \(N\) 外）与平面 \(z = 0\)（即 \(xy\)-平面）上的点建立一一对应。
对于球面上一点 \(P = (X, Y, Z)\)（\(P \neq N\)），连接 \(N\) 与 \(P\) 得到一条直线，该直线会与平面 \(z = 0\) 相交于唯一一点 \(p = (x, y, 0)\)。点 \(p\) 就称为点 \(P\) 的球极投影。反之，给定平面一点 \(p\)，连接 \(N\) 与 \(p\) 的直线与球面交于另一点 \(P\)，\(P\) 即 \(p\) 的逆像。

第二步：坐标推导
根据相似三角形关系可以推导出坐标公式。设球面点 \(P = (X, Y, Z)\)，对应平面点 \(p = (x, y, 0)\)。
考虑 \(N, P, p\) 三点共线，以及它们在竖直方向（\(z\) 方向）的投影。从 \(N(0,0,1)\) 到 \(p(x,y,0)\) 的 \(z\) 坐标下降了 1，而从 \(N\) 到 \(P\) 的 \(z\) 坐标下降了 \(1 - Z\)。因为直线是均匀变化的，所以水平坐标 \((X, Y)\) 与 \((x, y)\) 成比例：

\[\frac{X}{x} = \frac{Y}{y} = \frac{1 - Z}{1} = 1 - Z. \]

同时，因为 \(P\) 在球面上：\(X^2 + Y^2 + Z^2 = 1\)。
由比例关系得 \(X = (1-Z)x\)，\(Y = (1-Z)y\)。代入球面方程：

\[(1-Z)^2(x^2 + y^2) + Z^2 = 1. \]

展开：\((1 - 2Z + Z^2)(x^2 + y^2) + Z^2 = 1\)。
整理得：\((x^2 + y^2) - 2Z(x^2 + y^2) + Z^2(x^2 + y^2 + 1) = 1\)。
注意 \(x^2 + y^2\) 记为 \(\rho^2\)，则：

\[\rho^2 - 2Z\rho^2 + Z^2(\rho^2 + 1) = 1. \]

解出 \(Z\)（作为 \(\rho^2\) 的函数）：

\[Z^2(\rho^2 + 1) - 2Z\rho^2 + (\rho^2 - 1) = 0. \]

这可以视为关于 \(Z\) 的二次方程，其一个根对应 \(Z = 1\)（即北极点，此时 \(\rho \to \infty\)），另一个根是我们需要的：

\[Z = \frac{\rho^2 - 1}{\rho^2 + 1}. \]

再由 \(X = (1-Z)x\)，\(Y = (1-Z)y\)，且 \(1-Z = 1 - \frac{\rho^2 - 1}{\rho^2 + 1} = \frac{2}{\rho^2 + 1}\)，于是：

\[X = \frac{2x}{x^2 + y^2 + 1}, \quad Y = \frac{2y}{x^2 + y^2 + 1}, \quad Z = \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2 + 1}. \]

这就是从平面点 \((x, y)\) 得到球面点 \((X, Y, Z)\) 的公式。
反之，若已知球面点 \((X, Y, Z)\)（\(Z \neq 1\)），由相似关系直接得：

\[x = \frac{X}{1-Z}, \quad y = \frac{Y}{1-Z}. \]

这组公式更简洁。

第三步：重要性质1：保圆性
球极投影有一个优美性质：将球面上的任何圆（包括大圆，即过球心的平面与球面的交线）映射为平面上的圆或直线。
解释：球面上的圆可定义为某平面 \(aX + bY + cZ = d\) 与球面 \(X^2+Y^2+Z^2=1\) 的交线。将 \(X, Y, Z\) 用 \(x, y\) 表示代入平面方程，利用公式 \(X = \frac{2x}{R}\), \(Y = \frac{2y}{R}\), \(Z = \frac{\rho^2 - 1}{R}\)，其中 \(R = x^2+y^2+1\)，代入平面方程：

\[a\frac{2x}{R} + b\frac{2y}{R} + c\frac{\rho^2-1}{R} = d. \]

两边乘以 \(R\) 得：\(2ax + 2by + c(\rho^2 - 1) = d(\rho^2 + 1)\)。
整理：\((c-d)\rho^2 + 2ax + 2by + (-c-d) = 0\)。
这是 \(x, y\) 的方程。当 \(c = d\) 时，\(\rho^2\) 项消失，得到直线方程；否则是圆的一般方程。因此球面上的圆对应平面上的圆（当原平面不过北极）或直线（当原平面过北极）。注意，直线可视为半径为无穷大的圆。因此球极投影是“保圆变换”。

第四步：重要性质2：共形性（保角性）
球极投影是共形映射，即它保持任意两条曲线在交点处的夹角。直观上，球面上的小区域被映射到平面上时形状会发生畸变（例如面积会变），但局部角度保持不变。
证明思路：考虑球面上一点 \(P\) 处两条切向量的夹角，与它们在平面像点 \(p\) 处对应的切向量的夹角相等。可以通过计算映射的雅可比矩阵并证明它等于一个标量乘以旋转矩阵（即满足柯西-黎曼型条件）来严格证明。在微分几何中，这等价于证明第一基本形式成比例：球面度量在投影下与平面欧氏度量相差一个比例因子 \(\lambda^2(x, y)\)，即 \(ds_{\text{sphere}}^2 = \lambda^2(x, y)(dx^2 + dy^2)\)。直接计算可得 \(\lambda = \frac{2}{1+x^2+y^2}\)（或类似形式，取决于方向）。因为比例因子是标量函数，所以角度保持不变。

第五步：应用与扩展

复分析：将复平面 \(\mathbb{C}\) 与球面（黎曼球面）通过球极投影对应，无穷远点对应北极 \(N\)。这使得复平面紧化成球面，是研究分式线性变换（莫比乌斯变换）的几何基础。
地图制图：虽然球极投影不是等面积的，也不是保距离的，但因为保角，它在航海图、天文图中用于表示天体，能保持星座形状。
非欧几何：球极投影将球面上的大圆（测地线）映射为平面上的圆（或直线），这可用于构造双曲几何的庞加莱圆盘模型（需进一步结合度量变换）。
几何构造：通过球极投影，球面几何问题可转化为平面几何问题，反之亦然，是解决某些问题的有力工具。

第六步：注意事项

北极点 \(N\) 无对应平面有限点，通常对应“无穷远点”。
投影的逆将平面上的直线映射为球面上过北极的大圆。
球面上的对径点（如南极和北极）在投影下不是对称的，因为投影中心在北极。
度量畸变：离北极越近（即球面上越靠近北极的区域），投影到平面上被拉伸得越厉害。南极 \((0,0,-1)\) 投影到平面原点 \((0,0)\)，单位圆 \(x^2+y^2=1\) 对应赤道 \(Z=0\)。

综上，球极投影是一个连接球面与平面的基本几何映射，其核心特性是保圆性和保角性，在多个数学分支和实际应用中扮演重要角色。

球极投影我们从最简单的球面开始。想象有一个单位球面 \( S^2: x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)。球极投影是一种将球面（除一个极点外）映射到平面的方法，它能将球面上的圆（包括大圆）映射为平面上的圆或直线，是共形映射（保角映射）的重要例子。第一步：定义与基本构图取单位球面。设其“北极点”为 \( N = (0, 0, 1) \)，对应的“南极点”为 \( S = (0, 0, -1) \)。我们将球面上的点（除北极 \( N \) 外）与平面 \( z = 0 \)（即 \( xy \)-平面）上的点建立一一对应。对于球面上一点 \( P = (X, Y, Z) \)（\( P \neq N \)），连接 \( N \) 与 \( P \) 得到一条直线，该直线会与平面 \( z = 0 \) 相交于唯一一点 \( p = (x, y, 0) \)。点 \( p \) 就称为点 \( P \) 的球极投影。反之，给定平面一点 \( p \)，连接 \( N \) 与 \( p \) 的直线与球面交于另一点 \( P \)，\( P \) 即 \( p \) 的逆像。第二步：坐标推导根据相似三角形关系可以推导出坐标公式。设球面点 \( P = (X, Y, Z) \)，对应平面点 \( p = (x, y, 0) \)。考虑 \( N, P, p \) 三点共线，以及它们在竖直方向（\( z \) 方向）的投影。从 \( N(0,0,1) \) 到 \( p(x,y,0) \) 的 \( z \) 坐标下降了 1，而从 \( N \) 到 \( P \) 的 \( z \) 坐标下降了 \( 1 - Z \)。因为直线是均匀变化的，所以水平坐标 \( (X, Y) \) 与 \( (x, y) \) 成比例： \[ \frac{X}{x} = \frac{Y}{y} = \frac{1 - Z}{1} = 1 - Z. \] 同时，因为 \( P \) 在球面上：\( X^2 + Y^2 + Z^2 = 1 \)。由比例关系得 \( X = (1-Z)x \)，\( Y = (1-Z)y \)。代入球面方程： \[ (1-Z)^2(x^2 + y^2) + Z^2 = 1. \] 展开：\( (1 - 2Z + Z^2)(x^2 + y^2) + Z^2 = 1 \)。整理得：\( (x^2 + y^2) - 2Z(x^2 + y^2) + Z^2(x^2 + y^2 + 1) = 1 \)。注意 \( x^2 + y^2 \) 记为 \( \rho^2 \)，则： \[ \rho^2 - 2Z\rho^2 + Z^2(\rho^2 + 1) = 1. \] 解出 \( Z \)（作为 \( \rho^2 \) 的函数）： \[ Z^2(\rho^2 + 1) - 2Z\rho^2 + (\rho^2 - 1) = 0. \] 这可以视为关于 \( Z \) 的二次方程，其一个根对应 \( Z = 1 \)（即北极点，此时 \( \rho \to \infty \)），另一个根是我们需要的： \[ Z = \frac{\rho^2 - 1}{\rho^2 + 1}. \] 再由 \( X = (1-Z)x \)，\( Y = (1-Z)y \)，且 \( 1-Z = 1 - \frac{\rho^2 - 1}{\rho^2 + 1} = \frac{2}{\rho^2 + 1} \)，于是： \[ X = \frac{2x}{x^2 + y^2 + 1}, \quad Y = \frac{2y}{x^2 + y^2 + 1}, \quad Z = \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2 + 1}. \] 这就是从平面点 \( (x, y) \) 得到球面点 \( (X, Y, Z) \) 的公式。反之，若已知球面点 \( (X, Y, Z) \)（\( Z \neq 1 \)），由相似关系直接得： \[ x = \frac{X}{1-Z}, \quad y = \frac{Y}{1-Z}. \] 这组公式更简洁。第三步：重要性质1：保圆性球极投影有一个优美性质：将球面上的任何圆（包括大圆，即过球心的平面与球面的交线）映射为平面上的圆或直线。解释：球面上的圆可定义为某平面 \( aX + bY + cZ = d \) 与球面 \( X^2+Y^2+Z^2=1 \) 的交线。将 \( X, Y, Z \) 用 \( x, y \) 表示代入平面方程，利用公式 \( X = \frac{2x}{R} \), \( Y = \frac{2y}{R} \), \( Z = \frac{\rho^2 - 1}{R} \)，其中 \( R = x^2+y^2+1 \)，代入平面方程： \[ a\frac{2x}{R} + b\frac{2y}{R} + c\frac{\rho^2-1}{R} = d. \] 两边乘以 \( R \) 得：\( 2ax + 2by + c(\rho^2 - 1) = d(\rho^2 + 1) \)。整理：\( (c-d)\rho^2 + 2ax + 2by + (-c-d) = 0 \)。这是 \( x, y \) 的方程。当 \( c = d \) 时，\( \rho^2 \) 项消失，得到直线方程；否则是圆的一般方程。因此球面上的圆对应平面上的圆（当原平面不过北极）或直线（当原平面过北极）。注意，直线可视为半径为无穷大的圆。因此球极投影是“保圆变换”。第四步：重要性质2：共形性（保角性）球极投影是共形映射，即它保持任意两条曲线在交点处的夹角。直观上，球面上的小区域被映射到平面上时形状会发生畸变（例如面积会变），但局部角度保持不变。证明思路：考虑球面上一点 \( P \) 处两条切向量的夹角，与它们在平面像点 \( p \) 处对应的切向量的夹角相等。可以通过计算映射的雅可比矩阵并证明它等于一个标量乘以旋转矩阵（即满足柯西-黎曼型条件）来严格证明。在微分几何中，这等价于证明第一基本形式成比例：球面度量在投影下与平面欧氏度量相差一个比例因子 \( \lambda^2(x, y) \)，即 \( ds_ {\text{sphere}}^2 = \lambda^2(x, y)(dx^2 + dy^2) \)。直接计算可得 \( \lambda = \frac{2}{1+x^2+y^2} \)（或类似形式，取决于方向）。因为比例因子是标量函数，所以角度保持不变。第五步：应用与扩展复分析：将复平面 \( \mathbb{C} \) 与球面（黎曼球面）通过球极投影对应，无穷远点对应北极 \( N \)。这使得复平面紧化成球面，是研究分式线性变换（莫比乌斯变换）的几何基础。地图制图：虽然球极投影不是等面积的，也不是保距离的，但因为保角，它在航海图、天文图中用于表示天体，能保持星座形状。非欧几何：球极投影将球面上的大圆（测地线）映射为平面上的圆（或直线），这可用于构造双曲几何的庞加莱圆盘模型（需进一步结合度量变换）。几何构造：通过球极投影，球面几何问题可转化为平面几何问题，反之亦然，是解决某些问题的有力工具。第六步：注意事项北极点 \( N \) 无对应平面有限点，通常对应“无穷远点”。投影的逆将平面上的直线映射为球面上过北极的大圆。球面上的对径点（如南极和北极）在投影下不是对称的，因为投影中心在北极。度量畸变：离北极越近（即球面上越靠近北极的区域），投影到平面上被拉伸得越厉害。南极 \( (0,0,-1) \) 投影到平面原点 \( (0,0) \)，单位圆 \( x^2+y^2=1 \) 对应赤道 \( Z=0 \)。综上，球极投影是一个连接球面与平面的基本几何映射，其核心特性是保圆性和保角性，在多个数学分支和实际应用中扮演重要角色。