一维波方程
我将为您讲解“一维波方程”，这是数学物理方程中最基本和重要的双曲型偏微分方程之一，用于描述弦振动、声波等多种波动现象。
第一步：物理背景与方程建立
想象一根拉紧的、均匀的弹性细弦，长度为 \(L\)，两端固定。当弦受到初始扰动（例如拨动）后，其横向位移 \(u(x, t)\) 是关于位置 \(x\) ( \(0 \le x \le L\) ) 和时间 \(t\) ( \(t \ge 0\) ) 的函数。
基于牛顿第二定律，在“振动幅度很小、张力恒定、忽略重力及其他外力、弦是理想的均匀弹性体”等基本假设下，对弦上一个微元进行受力分析，可以得到控制方程：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
其中，常数 \(c = \sqrt{T/\rho}\)，\(T\) 是弦的张力，\(\rho\) 是线密度。这个方程就是一维齐次波动方程。\(c\) 具有速度量纲，表示波沿弦传播的波速。
第二步：定解条件
仅凭上述方程不足以确定弦的振动，我们需要附加条件，即定解条件。
- 边界条件：描述弦两端的状态。最常见的是两端固定的狄利克雷边界条件：
\[ u(0, t) = 0, \quad u(L, t) = 0, \quad t \ge 0 \]
- 初始条件：描述弦在初始时刻 \(t=0\) 时的状态。通常需要给出初始位移和初始速度：
\[ u(x, 0) = \phi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x), \quad 0 \le x \le L \]
这里 \(\phi(x)\) 是初始形状，\(\psi(x)\) 是初始速度分布。
第三步：达朗贝尔公式（无界弦情形）
为了理解波动方程的核心性质，我们先考虑一个理想化但极具启发性的情形：弦是无限长的（\(-\infty < x < \infty\)）。此时没有边界条件，只有初始条件。这个初值问题（柯西问题）的解由著名的达朗贝尔公式给出：
\[u(x, t) = \frac{1}{2}[\phi(x+ct) + \phi(x-ct)] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) \, ds \]
物理意义详解：
- 行波分解：公式表明，任意扰动都可以分解为两个分别以速度 \(c\) 向右 (\(x-ct\)) 和向左 (\(x+ct\)) 传播的行波，形状由初始条件决定。
- 依赖区间：解在点 \((x, t)\) 的值，只依赖于初始区间 \([x-ct, x+ct]\) 上的初始数据。这个区间称为点 \((x, t)\) 的依赖区间。这体现了波动传播的有限速度特性。
- 决定区域与影响区域：反之，初始点 \((x_0, 0)\) 的扰动，其影响范围是锥形区域 \(|x - x_0| \le ct\)，称为其影响区域。这定义了波的“前缘”。
第四步：分离变量法（有界弦情形）
对于两端固定的有限长弦问题，最经典的方法是分离变量法。
- 分离变量：设解具有变量分离形式 \(u(x, t) = X(x)T(t)\)。代入齐次方程和齐次边界条件，可以得到两个常微分方程：
\[ X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(0)=X(L)=0 \]
\[ T''(t) + \lambda c^2 T(t) = 0 \]
其中 \(\lambda\) 是分离常数。
- 求解特征值问题：第一个方程连同边界条件构成了一个施图姆-刘维尔特征值问题。求解可得：
\[ \lambda_n = (\frac{n\pi}{L})^2, \quad X_n(x) = \sin(\frac{n\pi x}{L}), \quad n=1,2,3,\dots \]
这里的 \(\lambda_n\) 是特征值，\(X_n(x)\) 是对应的特征函数。
- 求解时间部分：将 \(\lambda_n\) 代入时间方程，解得：
\[ T_n(t) = A_n \cos(\frac{n\pi c}{L}t) + B_n \sin(\frac{n\pi c}{L}t) \]
因此，每个特解（称为**驻波模式**或**本征振动**）为：
\[ u_n(x, t) = \sin(\frac{n\pi x}{L}) \left[ A_n \cos(\omega_n t) + B_n \sin(\omega_n t) \right] \]
其中 \(\omega_n = \frac{n\pi c}{L}\) 是第 \(n\) 阶振动的固有频率。
- 叠加与系数确定：由于方程是线性的，通解是所有特解的线性叠加：
\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \sin(\frac{n\pi x}{L}) \left[ A_n \cos(\omega_n t) + B_n \sin(\omega_n t) \right] \]
系数 \(A_n, B_n\) 由初始条件通过傅里叶正弦级数展开确定：
\[ A_n = \frac{2}{L} \int_0^L \phi(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) \, dx, \quad B_n = \frac{2}{n\pi c} \int_0^L \psi(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) \, dx \]
第五步：物理诠释与基本性质
- 驻波与频谱：分离变量法得到的解是驻波的叠加。每个驻波模式在空间上有固定的节点（始终不动的点），其形状由特征函数 \(\sin(n\pi x/L)\) 描述，时间上以单一频率 \(\omega_n\) 做简谐振动。所有可能的频率 \(\{ \omega_n \}\) 构成了系统的离散频谱。
- 能量守恒：对于齐次波动方程，可以定义总能量（动能与势能之和）：
\[ E(t) = \frac{1}{2} \int_0^L \left[ \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right)^2 + T \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 \right] dx \]
可以证明，在齐次边界条件下，\(dE/dt = 0\)，即能量守恒。这是波动方程的一个基本而重要的性质。
第六步：非齐次问题与外力驱动
如果弦上受到持续的外力 \(F(x, t)\)（单位长度的横向力），方程变为非齐次波动方程：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x, t) \]
其中 \(f = F/\rho\)。求解此类问题主要有两种方法：
- 特征函数展开法：将解 \(u(x, t)\)、外力 \(f(x, t)\) 都用齐次问题的特征函数系 \(\{ \sin(n\pi x/L) \}\) 展开，将原偏微分方程转化为关于时间 \(t\) 的一系列二阶常微分方程来求解。这实质上是将外力按系统的固有振动模式进行分解。
- 格林函数法/冲量原理：将连续分布的外力 \(f(x, t)\) 视为无数个瞬时、局域冲击的叠加。先求解一个“单位瞬时点源”（在 \(x=\xi, t=\tau\) 作用一个单位冲量）所引起的振动，这个解称为格林函数 \(G(x,t;\xi,\tau)\)。原问题的解就是所有点源的贡献（格林函数）关于 \(\xi\) 和 \(\tau\) 的积分（叠加）。这种方法清晰地揭示了波动方程的因果性。
总结：
一维波方程是理解波动现象的基石。从无界弦的达朗贝尔公式，我们揭示了波传播的行波本质、有限速度与依赖区域等核心概念。从有界弦的分离变量法，我们得到了系统的离散频谱和驻波模式，这是理解更复杂系统（如膜振动、电磁谐振腔）的基础。其延伸出的非齐次问题、能量守恒、格林函数等方法论，是处理数学物理中各类发展方程（如热传导方程、薛定谔方程）的范本。