波动率互换（Volatility Swap）
好的，我们开始学习一个新的金融数学词条：波动率互换。这是一个与方差互换密切相关但又有重要区别的衍生品。我们将从最基础的概念开始，循序渐进地深入。
第一步：理解波动率互换的基本概念与动机
1. 是什么？
波动率互换是一种场外（OTC）衍生品合约。交易双方约定，在未来某个特定日期（到期日T），一方（买方）将支付一笔预先设定的固定金额（固定波动率 * 名义本金），而另一方（卖方）则支付一个根据合约存续期内标的资产（如股票指数）的实际波动率计算出的浮动金额（实现的波动率 * 名义本金）。
2. 核心交易要素：
- 固定端（Fixed Leg）：支付金额为
固定波动率 * 名义本金。 - 浮动端（Floating Leg）：支付金额为
已实现波动率 * 名义本金。 - 结算方式：通常为到期时现金交割，支付两者的差额。
3. 为什么需要它？交易动机是什么？
交易者利用它来纯粹地交易或对冲标的资产的未来波动率风险，而不直接依赖于资产价格本身的方向。
- 买方：预期未来实际波动率会上升（比如预计市场将有重大事件）。如果实际波动率高于固定波动率，则买方盈利。
- 卖方：预期未来实际波动率会下降（比如市场将进入平稳期）。如果实际波动率低于固定波动率，则卖方盈利。
第二步：从简单到期权组合理解其经济含义
为了理解“纯粹”的波动率敞口，我们先看一个传统的工具：期权跨式组合。
1. 期权跨式组合（Straddle）
同时买入（或卖出）一份相同到期日、相同行权价的看涨期权和看跌期权。买入跨式组合的收益与标的资产价格的大幅变动（无论方向）相关，也就是与波动率有关。
2. 波动率互换 vs. 跨式组合
- 相似性：两者都能提供对波动率的敞口。
- 关键区别：
- 跨式组合：其价值受多种因素影响，包括Delta（方向风险）、Gamma（凸性）、Vega（波动率风险）和Theta（时间衰减）。即使你对波动率判断正确，如果资产价格不动，时间价值衰减也会导致亏损。
- 波动率互换：其损益完全且线性地取决于已实现波动率与固定波动率的差额。它没有方向性风险（Delta=0），没有时间衰减，也没有凸性（Gamma）。它提供了最“纯净”的波动率风险敞口。
通过比较，你可以理解波动率互换是比期权组合更“干净”的对赌或对冲波动率的工具。
第三步：核心变量——“已实现波动率”的精确计算
这是合约设计的核心。为了让合约公平且可交割，必须精确定义如何计算合约期内的“已实现波动率”。
1. 基础：从价格序列到收益率序列
首先，在合约期内，我们观测标的资产在预设的N个时间点（通常是每日收盘价）的价格 \(S_0, S_1, ..., S_N\)。
计算对数收益率：
\[u_i = \ln \left( \frac{S_i}{S_{i-1}} \right), \quad i = 1, 2, ..., N \]
2. 年化已实现波动率的计算公式
合约定义的已实现波动率 \(\sigma_R\)（也叫作实际波动率）通常采用以下标准公式：
\[\sigma_R = \sqrt{\frac{A}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (u_i - \bar{u})^2} \]
其中：
- \(\bar{u} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} u_i\) 是样本平均收益率。
- \(A\) 是年化因子。例如，如果观测是交易日收盘价，一年通常有252个交易日，则 \(A = 252\)。
关键点：公式中使用的是样本标准差（分母N-1），而非总体标准差，也包含了均值调整。这一点与方差互换（直接计算样本方差）的计算基础不同，导致了两种产品的根本区别。
第四步：波动率互换的定价原理
定价的核心是确定那个“固定波动率”，使得合约在初始时刻的价值为零。这个固定波动率被称为 “公平波动率” 或 “波动率互换执行价”。
1. 定价的基本逻辑
在风险中性定价框架下，一个零成本的远期合约，其固定端支付在到期日的现值，应等于浮动端支付在到期日的风险中性期望现值。
假设无风险利率为常数r，名义本金为1，则：
\[E^Q [ e^{-rT} \sigma_R ] = e^{-rT} K \]
其中 \(K\) 是我们要找的公平固定波动率。消去折现因子：
\[K = E^Q [\sigma_R] \]
结论：波动率互换的公平固定波动率，等于合约有效期内已实现波动率在风险中性测度下的期望值。
2. 与方差互换定价的深刻区别
这里出现了一个巨大的理论和实践难题。
- 方差互换：其浮动端支付是已实现方差 \(\sigma_R^2\)。由于方差在风险中性测度下的期望 \(E^Q[\sigma_R^2]\) 可以通过一系列欧式期权价格（期权跨式组合）的静态复制来获得，这就是著名的“模型无关的方差互换定价公式”。因此，方差互换的定价可以相对“模型无关”。
- 波动率互换：我们需要的是波动率的期望 \(E^Q[\sigma_R]\)。但是，波动率期望不等于方差期望的平方根，因为 \(E[\sigma_R] \le \sqrt{E[\sigma_R^2]}\)（由詹森不等式）。\(E^Q[\sigma_R]\) 没有一个简单的、模型无关的静态复制组合。
因此，波动率互换的定价高度依赖于模型。
第五步：模型依赖的定价方法——“凸性调整”
由于无法像方差互换那样精确复制，实践中必须对从方差到波动率的转换进行近似。这个转换的核心是“凸性调整”。
1. 核心思路
我们已知如何从期权价格得到风险中性方差期望 \(E^Q[\sigma_R^2]\)（记作 \(V\)）。我们想要的是 \(E^Q[\sigma_R]\)（记作 \(K\)）。
两者之间存在一个近似关系：
\[K \approx \sqrt{V} - \frac{\text{Var}^Q(\sigma_R^2)}{8 V^{3/2}} \]
其中 \(\text{Var}^Q(\sigma_R^2)\) 是已实现方差在风险中性测度下的方差。
理解：\(\sqrt{V}\) 是假设波动率为常数时得到的结果。减去的那一项就是“凸性调整”，它修正了因为波动率本身是随机的（存在“波动率的波动率”）而带来的偏差。这个调整项总是负的，所以 \(K < \sqrt{V}\)，这与詹森不等式一致。
2. 如何进行凸性调整？
凸性调整项 \(\frac{\text{Var}^Q(\sigma_R^2)}{8 V^{3/2}}\) 的计算必须依赖一个特定的随机过程模型，比如赫斯顿模型或SABR模型。因为这些模型能够描述波动率（或方差）的动态变化，从而可以计算出 \(\text{Var}^Q(\sigma_R^2)\)。
定价流程总结：
- 获得方差期望：使用当前市场的期权价格，通过模型无关的复制公式，计算出公平方差互换率 \(V\)。
- 选择模型：选择一个合适的随机波动率模型。
- 校准模型：用当前市场的隐含波动率曲面（或期权价格）来校准模型的参数。
- 计算调整：在校准好的模型下，计算已实现方差的方差 \(\text{Var}^Q(\sigma_R^2)\)。
- 得到公平波动率：代入公式 \(K \approx \sqrt{V} - \text{调整项}\)。
第六步：与方差互换的对比及应用场景
现在，我们可以清晰地对比这两个产品。
| 特性 | 波动率互换 | 方差互换 |
|---|---|---|
| 支付函数 | 线性于已实现波动率 | 线性于已实现方差 |
| 定价 | 模型依赖，需要凸性调整 | 模型无关（可静态复制） |
| 对冲 | 动态对冲（依赖模型） | 静态对冲（通过期权组合） |
| 风险敞口 | “纯净”的波动率风险 | 方差风险（对极端波动更敏感） |
| 凸性 | 损益对波动率是线性的 | 损益对波动率是凸的（二次函数） |
应用场景：
- 波动率互换：适合那些希望对未来波动率水平进行线性对冲或投机的交易者。例如，一个期权做市商，其组合的Vega风险是线性的，用波动率互换对冲更匹配。
- 方差互换：适合对冲或投机波动率平方的风险，对市场出现“黑天鹅”事件（大幅波动）更为敏感。由于其定价透明、对冲相对静态，是更为主流的波动率交易工具。
总结
波动率互换是一种提供纯粹、线性波动率敞口的场外衍生品。它的核心在于通过定义明确的公式计算已实现波动率。其定价的复杂性源于“波动率期望”的模型依赖性，必须通过凸性调整从可观测的“方差期望”中推导出来。这使得它比其近亲——方差互换——更难以定价和对冲，但也为需要精确匹配线性波动率风险的市场参与者提供了独特的工具。