曲面的主曲率与欧拉公式（续三）

字数 3188 2025-12-12 18:14:37

曲面的主曲率与欧拉公式（续三）

你已经了解了曲面上一点的主曲率 \(k_1\) 和 \(k_2\) 的概念，以及沿任意切方向 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv\) 的法曲率 \(k_n\) 满足欧拉公式：

\[k_n = k_1 \cos^2\theta + k_2 \sin^2\theta \]

其中 \(\theta\) 是该切方向与第一主方向之间的夹角。现在，我们进一步探讨当曲面参数化不是正交网或曲率线网时，如何实际计算主曲率、主方向，并深入理解欧拉公式的几何内涵。

步骤一：回顾基本公式与定义
设曲面参数方程为 \(\mathbf{r}(u, v)\)，其第一基本形式系数为 \(E, F, G\)，第二基本形式系数为 \(L, M, N\)。在给定点，法曲率 \(k_n\) 由第二基本形式与第一基本形式的比值给出：

\[k_n = \frac{L du^2 + 2M du dv + N dv^2}{E du^2 + 2F du dv + G dv^2} \]

主曲率 \(k_1, k_2\) 是该点所有法曲率中的最大值和最小值，它们满足特征方程：

\[(EG - F^2) k^2 - (EN - 2FM + GL) k + (LN - M^2) = 0 \]

主方向是使法曲率取极值的方向，对应于特征方程的特征向量。

步骤二：非标准参数化下的主方向计算
当参数曲线网不是曲率线网（即 \(F \neq 0\) 和/或 \(M \neq 0\)）时，主方向与参数曲线的方向不一致。设切方向为 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv\)，方向比 \(\lambda = dv/du\)。法曲率可写为：

\[k_n(\lambda) = \frac{L + 2M \lambda + N \lambda^2}{E + 2F \lambda + G \lambda^2} \]

为求主方向，需对 \(k_n(\lambda)\) 关于 \(\lambda\) 求导并令导数为零，得到方程：

\[(F k_n - M) + (G k_n - N)\lambda = 0 \]

但更系统的方法是求解广义特征值问题。主方向满足方程：

\[\begin{vmatrix} L - k E & M - k F \\ M - k F & N - k G \end{vmatrix} = 0 \]

对于每个主曲率 \(k\)，主方向 \((du, dv)\) 满足线性方程组：

\[(L - kE) du + (M - kF) dv = 0 \\ (M - kF) du + (N - kG) dv = 0 \]

解此齐次方程组（系数矩阵秩为1）可得主方向。

步骤三：欧拉公式的几何推导与解释
欧拉公式的几何意义在于，它将任意方向的法曲率表示为两个主曲率在方向角 \(\theta\) 上的“加权平均”。为了理解其来源，考虑曲面在该点的切平面上的单位圆：每个方向 \(\theta\) 对应单位切向量 \(\mathbf{e}(\theta)\)。法曲率 \(k_n(\theta)\) 是曲面沿该方向的弯曲程度。

在主方向坐标系中，设第一主方向对应 \(\theta = 0\)，第二主方向对应 \(\theta = \pi/2\)，则任意方向 \(\mathbf{e}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)\)。
此时，第一基本形式矩阵为单位矩阵（因主方向正交且已单位化），第二基本形式矩阵为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(k_1, k_2)\)。
法曲率公式简化为：

\[ k_n(\theta) = k_1 \cos^2\theta + k_2 \sin^2\theta \]

这正是欧拉公式。它表明法曲率随方向角呈简谐变化，其图像为一个周期为 \(\pi\) 的曲线。

步骤四：欧拉公式的矩阵形式与不变量
在一般参数下，设切方向向量为 \(\mathbf{w} = (du, dv)^T\)，则欧拉公式可写为：

\[k_n = \frac{\mathbf{w}^T \mathbf{I\!I} \mathbf{w}}{\mathbf{w}^T \mathbf{I} \mathbf{w}} \]

其中 \(\mathbf{I}\) 和 \(\mathbf{I\!I}\) 分别是第一、第二基本形式的矩阵表示。通过正交变换将 \(\mathbf{I}\) 化为单位矩阵，同时将 \(\mathbf{I\!I}\) 对角化，即可导出欧拉公式。这种形式揭示了法曲率是第二基本形式相对于第一基本形式的瑞利商，主曲率是瑞利商的极值。

步骤五：应用示例——验证主曲率极值性
利用欧拉公式可直接验证主曲率的极值性质。对 \(k_n(\theta) = k_1 \cos^2\theta + k_2 \sin^2\theta\) 求导：

\[\frac{dk_n}{d\theta} = -2k_1 \cos\theta \sin\theta + 2k_2 \sin\theta \cos\theta = (k_2 - k_1) \sin 2\theta \]

令导数为零，解得 \(\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\) 等，对应主方向。二阶导数为：

\[\frac{d^2 k_n}{d\theta^2} = 2(k_2 - k_1) \cos 2\theta \]

在 \(\theta = 0\) 时，二阶导数为 \(2(k_2 - k_1)\)，故若 \(k_1 < k_2\)，则 \(k_1\) 为极小值；在 \(\theta = \pi/2\) 时，二阶导数为 \(-2(k_2 - k_1)\)，故 \(k_2\) 为极大值。这直观显示了主曲率确实是法曲率的极值。

步骤六：扩展到三维空间中的方向余弦形式
在三维空间中，若曲面在一点有单位法向量 \(\mathbf{n}\)，任意单位切向量 \(\mathbf{t}\) 可分解为两个正交主方向 \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\) 的线性组合：\(\mathbf{t} = \cos\theta \mathbf{e}_1 + \sin\theta \mathbf{e}_2\)。此时欧拉公式仍成立，且可写成方向余弦形式。进一步，结合法曲率与曲面第二基本形式的二次型，可得出欧拉公式是曲面局部几何形状的精确刻画。

步骤七：与平均曲率、高斯曲率的关系
由欧拉公式可推导平均曲率 \(H\) 和高斯曲率 \(K\) 的几何意义：

对 \(k_n(\theta)\) 在一个周期内积分平均，可得：

\[ \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} k_n(\theta) d\theta = \frac{k_1 + k_2}{2} = H \]

这说明平均曲率是法曲率在所有方向上的平均值。

高斯曲率 \(K = k_1 k_2\) 则反映了法曲率分布的乘积特性，与曲面的内在几何紧密相关。

通过以上步骤，你应当能更深入地理解：即使在非标准参数化下，主曲率和主方向的计算方法；欧拉公式不仅是法曲率与方向角的简洁表达式，更是曲面局部几何的深刻反映，它将法曲率的极值、平均值、乘积与主曲率直接联系起来，是微分几何中分析曲面形状的基石之一。

曲面的主曲率与欧拉公式（续三）你已经了解了曲面上一点的主曲率 \(k_ 1\) 和 \(k_ 2\) 的概念，以及沿任意切方向 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_ u du + \mathbf{r}_ v dv\) 的法曲率 \(k_ n\) 满足欧拉公式： \[ k_ n = k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta \] 其中 \(\theta\) 是该切方向与第一主方向之间的夹角。现在，我们进一步探讨当曲面参数化不是正交网或曲率线网时，如何实际计算主曲率、主方向，并深入理解欧拉公式的几何内涵。步骤一：回顾基本公式与定义设曲面参数方程为 \(\mathbf{r}(u, v)\)，其第一基本形式系数为 \(E, F, G\)，第二基本形式系数为 \(L, M, N\)。在给定点，法曲率 \(k_ n\) 由第二基本形式与第一基本形式的比值给出： \[ k_ n = \frac{L du^2 + 2M du dv + N dv^2}{E du^2 + 2F du dv + G dv^2} \] 主曲率 \(k_ 1, k_ 2\) 是该点所有法曲率中的最大值和最小值，它们满足特征方程： \[ (EG - F^2) k^2 - (EN - 2FM + GL) k + (LN - M^2) = 0 \] 主方向是使法曲率取极值的方向，对应于特征方程的特征向量。步骤二：非标准参数化下的主方向计算当参数曲线网不是曲率线网（即 \(F \neq 0\) 和/或 \(M \neq 0\)）时，主方向与参数曲线的方向不一致。设切方向为 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_ u du + \mathbf{r}_ v dv\)，方向比 \(\lambda = dv/du\)。法曲率可写为： \[ k_ n(\lambda) = \frac{L + 2M \lambda + N \lambda^2}{E + 2F \lambda + G \lambda^2} \] 为求主方向，需对 \(k_ n(\lambda)\) 关于 \(\lambda\) 求导并令导数为零，得到方程： \[ (F k_ n - M) + (G k_ n - N)\lambda = 0 \] 但更系统的方法是求解广义特征值问题。主方向满足方程： \[ \begin{vmatrix} L - k E & M - k F \\ M - k F & N - k G \end{vmatrix} = 0 \] 对于每个主曲率 \(k\)，主方向 \((du, dv)\) 满足线性方程组： \[ (L - kE) du + (M - kF) dv = 0 \\ (M - kF) du + (N - kG) dv = 0 \] 解此齐次方程组（系数矩阵秩为1）可得主方向。步骤三：欧拉公式的几何推导与解释欧拉公式的几何意义在于，它将任意方向的法曲率表示为两个主曲率在方向角 \(\theta\) 上的“加权平均”。为了理解其来源，考虑曲面在该点的切平面上的单位圆：每个方向 \(\theta\) 对应单位切向量 \(\mathbf{e}(\theta)\)。法曲率 \(k_ n(\theta)\) 是曲面沿该方向的弯曲程度。在主方向坐标系中，设第一主方向对应 \(\theta = 0\)，第二主方向对应 \(\theta = \pi/2\)，则任意方向 \(\mathbf{e}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)\)。此时，第一基本形式矩阵为单位矩阵（因主方向正交且已单位化），第二基本形式矩阵为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(k_ 1, k_ 2)\)。法曲率公式简化为： \[ k_ n(\theta) = k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta \] 这正是欧拉公式。它表明法曲率随方向角呈简谐变化，其图像为一个周期为 \(\pi\) 的曲线。步骤四：欧拉公式的矩阵形式与不变量在一般参数下，设切方向向量为 \(\mathbf{w} = (du, dv)^T\)，则欧拉公式可写为： \[ k_ n = \frac{\mathbf{w}^T \mathbf{I\!I} \mathbf{w}}{\mathbf{w}^T \mathbf{I} \mathbf{w}} \] 其中 \(\mathbf{I}\) 和 \(\mathbf{I\!I}\) 分别是第一、第二基本形式的矩阵表示。通过正交变换将 \(\mathbf{I}\) 化为单位矩阵，同时将 \(\mathbf{I\!I}\) 对角化，即可导出欧拉公式。这种形式揭示了法曲率是第二基本形式相对于第一基本形式的瑞利商，主曲率是瑞利商的极值。步骤五：应用示例——验证主曲率极值性利用欧拉公式可直接验证主曲率的极值性质。对 \(k_ n(\theta) = k_ 1 \cos^2\theta + k_ 2 \sin^2\theta\) 求导： \[ \frac{dk_ n}{d\theta} = -2k_ 1 \cos\theta \sin\theta + 2k_ 2 \sin\theta \cos\theta = (k_ 2 - k_ 1) \sin 2\theta \] 令导数为零，解得 \(\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\) 等，对应主方向。二阶导数为： \[ \frac{d^2 k_ n}{d\theta^2} = 2(k_ 2 - k_ 1) \cos 2\theta \] 在 \(\theta = 0\) 时，二阶导数为 \(2(k_ 2 - k_ 1)\)，故若 \(k_ 1 < k_ 2\)，则 \(k_ 1\) 为极小值；在 \(\theta = \pi/2\) 时，二阶导数为 \(-2(k_ 2 - k_ 1)\)，故 \(k_ 2\) 为极大值。这直观显示了主曲率确实是法曲率的极值。步骤六：扩展到三维空间中的方向余弦形式在三维空间中，若曲面在一点有单位法向量 \(\mathbf{n}\)，任意单位切向量 \(\mathbf{t}\) 可分解为两个正交主方向 \(\mathbf{e}_ 1, \mathbf{e}_ 2\) 的线性组合：\(\mathbf{t} = \cos\theta \mathbf{e}_ 1 + \sin\theta \mathbf{e}_ 2\)。此时欧拉公式仍成立，且可写成方向余弦形式。进一步，结合法曲率与曲面第二基本形式的二次型，可得出欧拉公式是曲面局部几何形状的精确刻画。步骤七：与平均曲率、高斯曲率的关系由欧拉公式可推导平均曲率 \(H\) 和高斯曲率 \(K\) 的几何意义：对 \(k_ n(\theta)\) 在一个周期内积分平均，可得： \[ \frac{1}{\pi} \int_ 0^{\pi} k_ n(\theta) d\theta = \frac{k_ 1 + k_ 2}{2} = H \] 这说明平均曲率是法曲率在所有方向上的平均值。高斯曲率 \(K = k_ 1 k_ 2\) 则反映了法曲率分布的乘积特性，与曲面的内在几何紧密相关。通过以上步骤，你应当能更深入地理解：即使在非标准参数化下，主曲率和主方向的计算方法；欧拉公式不仅是法曲率与方向角的简洁表达式，更是曲面局部几何的深刻反映，它将法曲率的极值、平均值、乘积与主曲率直接联系起来，是微分几何中分析曲面形状的基石之一。