二次剩余符号的雅可比符号的计算规则与性质
字数 3853 2025-12-12 17:08:20

二次剩余符号的雅可比符号的计算规则与性质

好的，我们现在来系统学习“二次剩余符号的雅可比符号的计算规则与性质”。这是一个在判断整数模奇合数是否二次剩余时至关重要的工具。我们将从最基础的概念开始，逐步深入。

第一步：回顾基本定义与符号
我们已经熟悉了勒让德符号 (a/p)。它用于素数模p，定义如下：

  • (a/p) = 1， 如果a是模p的二次剩余且p不整除a。
  • (a/p) = -1， 如果a是模p的二次非剩余。
  • (a/p) = 0， 如果p整除a。

核心思想是，勒让德符号高效地“编码”了二次同余方程 \(x^2 \equiv a \pmod{p}\) 的可解性。但当模数n是奇合数时，勒让德符号直接定义为0、1或-1是不明确的。雅可比符号 正是为了解决这个问题而引入的推广。

第二步：雅可比符号的定义
设n是一个正的奇整数，且其素因数分解为 \(n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} ... p_r^{k_r}\)，其中 \(p_i\) 是奇素数。
设a是一个整数。雅可比符号 记作 (a/n)，定义为各个素因子勒让德符号的乘积：

\[\left( \frac{a}{n} \right) = \left( \frac{a}{p_1} \right)^{k_1} \left( \frac{a}{p_2} \right)^{k_2} ... \left( \frac{a}{p_r} \right)^{k_r} \]

这里等式右边的每个因子 \(\left( \frac{a}{p_i} \right)\) 就是我们第一步回顾的勒让德符号。

关键理解：

  1. 计算过程：要计算(a/n)，你必须先将n分解为素因数的幂，然后计算每个素因子对应的勒让德符号，最后将它们乘起来。
  2. 与二次剩余的关系：这是最重要的一点！雅可比符号的值不能像勒让德符号那样直接判定二次剩余性。
    • 如果 (a/n) = -1，那么a一定是模n的二次非剩余。这是可以反向推断的。
  • 但是，如果 (a/n) = 1，a不一定是模n的二次剩余。例如，取n=15=35，a=2。计算(2/15) = (2/3)(2/5) = (-1)*(-1)=1。但检查可知，2模3和模5都是非剩余，所以不可能模15是剩余（因为如果\(x^2 \equiv 2 \pmod{15}\)，则同余式对模3和模5也成立）。实际上，模15的二次剩余是那些模3和模5同时是剩余的a，即a≡±1 mod 15。
    • 如果 (a/n) = 0，则意味着a与n不互素（因为此时某个(a/p_i)=0，即p_i整除a）。

所以，雅可比符号 (a/n)=1 是一个“必要但不充分”的条件，用于判断a是模n的二次剩余。它的主要威力体现在计算上。

第三步：雅可比符号的核心计算规则（性质）
雅可比符号继承并扩展了勒让德符号的优美计算规则，使得我们在不知道n的素因数分解的情况下也能进行计算。这是它在算法（如素性检验、整数分解）中应用的关键。以下是其三大基本规则：

  1. 互补律（处理分子为-1和2）:
  • \(\left( \frac{-1}{n} \right) = (-1)^{(n-1)/2}\)。 这意味着：如果n≡1 mod 4，则值为1；如果n≡3 mod 4，则值为-1。
  • \(\left( \frac{2}{n} \right) = (-1)^{(n^2-1)/8}\)。这意味着：如果n≡±1 mod 8，则值为1；如果n≡±3 mod 8，则值为-1。
  1. 互反律：这是最美妙也最重要的规则。设m, n均为正的奇奇数，且互素（即gcd(m, n)=1），则有：

\[ \left( \frac{m}{n} \right) = \left( \frac{n}{m} \right) \cdot (-1)^{\frac{m-1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}} \]

**等价表述**：
  • 如果m≡1 (mod 4) 或 n≡1 (mod 4)，则 \(\left( \frac{m}{n} \right) = \left( \frac{n}{m} \right)\)。
  • 如果m≡n≡3 (mod 4)，则 \(\left( \frac{m}{n} \right) = -\left( \frac{n}{m} \right)\)。
  1. 乘法性：
  • 对分子：\(\left( \frac{ab}{n} \right) = \left( \frac{a}{n} \right) \left( \frac{b}{n} \right)\)。
  • 对分母：\(\left( \frac{a}{mn} \right) = \left( \frac{a}{m} \right) \left( \frac{a}{n} \right)\)，要求m, n为奇正数。
  1. 周期性（分母的周期性）：如果a≡b (mod n)，则 \(\left( \frac{a}{n} \right) = \left( \frac{b}{n} \right)\)。

第四步：通过一个例子演示计算流程
让我们计算雅可比符号 \(\left( \frac{219}{383} \right)\)。注意383是素数，但计算过程不需要知道这点，我们像对待合数一样操作。

计算步骤:

  1. 检查互素：gcd(219, 383)=1。继续。
  2. 对分子取模分母：219 < 383，直接进入下一步。
  3. 对分子分解：219是合数（219=3*73）。利用乘法性：\(\left( \frac{219}{383} \right) = \left( \frac{3}{383} \right) \left( \frac{73}{383} \right)\)。
  4. 计算第一部分 \(\left( \frac{3}{383} \right)\)：
    • 因为3和383都是奇数且互素，用二次互反律。
    • 判断符号指数：3≡3 mod 4，383≡3 mod 4，所以满足m≡n≡3 mod 4的情况，符号取反。
  • 所以 \(\left( \frac{3}{383} \right) = -\left( \frac{383}{3} \right)\)。
  • 对分母取模分子：383 ≡ 2 (mod 3)，所以 \(-\left( \frac{383}{3} \right) = -\left( \frac{2}{3} \right)\)。
  • 利用互补律（2的规则）：\(\left( \frac{2}{3} \right) = (-1)^{(9-1)/8} = (-1)^1 = -1\)。
  • 因此，\(\left( \frac{3}{383} \right) = -(-1) = 1\)。
  1. 计算第二部分 \(\left( \frac{73}{383} \right)\)：
  • 用二次互反律：73≡1 mod 4，所以符号不变，\(\left( \frac{73}{383} \right) = \left( \frac{383}{73} \right)\)。
  • 对分母取模分子：383 ÷ 73 = 5 ... 18，即383 ≡ 18 (mod 73)。所以 \(\left( \frac{383}{73} \right) = \left( \frac{18}{73} \right)\)。
  • 利用乘法性分解分子：\(\left( \frac{18}{73} \right) = \left( \frac{2}{73} \right) \left( \frac{9}{73} \right)\)。
  • 计算 \(\left( \frac{2}{73} \right)\)：利用互补律，73 ≡ 1 (mod 8)，所以值为1。
  • 计算 \(\left( \frac{9}{73} \right)\)：注意 \(\left( \frac{9}{73} \right) = \left( \frac{3^2}{73} \right)\)。根据勒让德符号定义（平方的符号为1），并且雅可比符号继承此性质，所以其值为1。
  • 因此，\(\left( \frac{18}{73} \right) = 1 * 1 = 1\)。逆推回去，\(\left( \frac{73}{383} \right) = 1\)。
  1. 综合结果：\(\left( \frac{219}{383} \right) = 1 * 1 = 1\)。

结论：雅可比符号 \(\left( \frac{219}{383} \right) = 1\)。这告诉我们，如果219是模383的二次剩余，其符号必须是1（确实为1），但我们不能因此断定它就是剩余。由于383是素数，此时雅可比符号退化为勒让德符号，所以我们可以断定：219是模素数383的二次剩余。

总结：
雅可比符号通过其精妙的计算规则（特别是互反律），将一个需要分解n的问题，转化为一个类似于欧几里得算法的、纯整数的、高效的计算过程。尽管它丢失了模合数时二次剩余性的完整信息，但其计算上的高效性，使其在Solovay-Strassen素性概率检验、二次筛法中的因子基筛选等高级数论算法中扮演了核心角色。它是从勒让德符号的理论概念通往实际计算的桥梁。

二次剩余符号的雅可比符号的计算规则与性质 好的，我们现在来系统学习“二次剩余符号的雅可比符号的计算规则与性质”。这是一个在判断整数模奇合数是否二次剩余时至关重要的工具。我们将从最基础的概念开始，逐步深入。 第一步：回顾基本定义与符号 我们已经熟悉了 勒让德符号 (a/p)。它用于素数模p，定义如下： (a/p) = 1， 如果a是模p的二次剩余且p不整除a。 (a/p) = -1， 如果a是模p的二次非剩余。 (a/p) = 0， 如果p整除a。 核心思想是，勒让德符号高效地“编码”了二次同余方程 \(x^2 \equiv a \pmod{p}\) 的可解性。但当模数n是奇合数时，勒让德符号直接定义为0、1或-1是不明确的。 雅可比符号 正是为了解决这个问题而引入的推广。 第二步：雅可比符号的定义 设n是一个正的奇整数，且其素因数分解为 \(n = p_ 1^{k_ 1} p_ 2^{k_ 2} ... p_ r^{k_ r}\)，其中 \(p_ i\) 是奇素数。 设a是一个整数。 雅可比符号 记作 (a/n)，定义为各个素因子勒让德符号的乘积： \[ \left( \frac{a}{n} \right) = \left( \frac{a}{p_ 1} \right)^{k_ 1} \left( \frac{a}{p_ 2} \right)^{k_ 2} ... \left( \frac{a}{p_ r} \right)^{k_ r} \] 这里等式右边的每个因子 \(\left( \frac{a}{p_ i} \right)\) 就是我们第一步回顾的勒让德符号。 关键理解 ： 计算过程 ：要计算(a/n)，你 必须 先将n分解为素因数的幂，然后计算每个素因子对应的勒让德符号，最后将它们乘起来。 与二次剩余的关系 ：这是最重要的一点！雅可比符号的值 不能 像勒让德符号那样直接判定二次剩余性。 如果 (a/n) = -1，那么a一定是模n的 二次非剩余 。这是可以反向推断的。 但是，如果 (a/n) = 1，a 不一定 是模n的二次剩余。例如，取n=15=3 5，a=2。计算(2/15) = (2/3) (2/5) = (-1)* (-1)=1。但检查可知，2模3和模5都是非剩余，所以不可能模15是剩余（因为如果\(x^2 \equiv 2 \pmod{15}\)，则同余式对模3和模5也成立）。实际上，模15的二次剩余是那些模3和模5 同时 是剩余的a，即a≡±1 mod 15。 如果 (a/n) = 0，则意味着a与n不互素（因为此时某个(a/p_ i)=0，即p_ i整除a）。 所以，雅可比符号 (a/n)=1 是一个“必要但不充分”的条件，用于判断a是模n的二次剩余。它的主要威力体现在计算上。 第三步：雅可比符号的核心计算规则（性质） 雅可比符号继承并扩展了勒让德符号的优美计算规则，使得我们在 不知道n的素因数分解的情况下 也能进行计算。这是它在算法（如素性检验、整数分解）中应用的关键。以下是其三大基本规则： 互补律（处理分子为-1和2） : \(\left( \frac{-1}{n} \right) = (-1)^{(n-1)/2}\)。 这意味着：如果n≡1 mod 4，则值为1；如果n≡3 mod 4，则值为-1。 \(\left( \frac{2}{n} \right) = (-1)^{(n^2-1)/8}\)。这意味着：如果n≡±1 mod 8，则值为1；如果n≡±3 mod 8，则值为-1。 互反律 ：这是最美妙也最重要的规则。设m, n均为正的奇奇数，且互素（即gcd(m, n)=1），则有： \[ \left( \frac{m}{n} \right) = \left( \frac{n}{m} \right) \cdot (-1)^{\frac{m-1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}} \] 等价表述 ： 如果m≡1 (mod 4) 或 n≡1 (mod 4)，则 \(\left( \frac{m}{n} \right) = \left( \frac{n}{m} \right)\)。 如果m≡n≡3 (mod 4)，则 \(\left( \frac{m}{n} \right) = -\left( \frac{n}{m} \right)\)。 乘法性 ： 对分子：\(\left( \frac{ab}{n} \right) = \left( \frac{a}{n} \right) \left( \frac{b}{n} \right)\)。 对分母：\(\left( \frac{a}{mn} \right) = \left( \frac{a}{m} \right) \left( \frac{a}{n} \right)\)，要求m, n为奇正数。 周期性（分母的周期性） ：如果a≡b (mod n)，则 \(\left( \frac{a}{n} \right) = \left( \frac{b}{n} \right)\)。 第四步：通过一个例子演示计算流程 让我们计算雅可比符号 \(\left( \frac{219}{383} \right)\)。注意383是素数，但计算过程不需要知道这点，我们像对待合数一样操作。 计算步骤 : 检查互素：gcd(219, 383)=1。继续。 对分子取模分母：219 < 383，直接进入下一步。 对分子分解：219是合数（219=3* 73）。利用乘法性：\(\left( \frac{219}{383} \right) = \left( \frac{3}{383} \right) \left( \frac{73}{383} \right)\)。 计算第一部分 \(\left( \frac{3}{383} \right)\)： 因为3和383都是奇数且互素，用 二次互反律 。 判断符号指数：3≡3 mod 4，383≡3 mod 4，所以满足m≡n≡3 mod 4的情况，符号取反。 所以 \(\left( \frac{3}{383} \right) = -\left( \frac{383}{3} \right)\)。 对分母取模分子：383 ≡ 2 (mod 3)，所以 \(-\left( \frac{383}{3} \right) = -\left( \frac{2}{3} \right)\)。 利用互补律（2的规则）：\(\left( \frac{2}{3} \right) = (-1)^{(9-1)/8} = (-1)^1 = -1\)。 因此，\(\left( \frac{3}{383} \right) = -(-1) = 1\)。 计算第二部分 \(\left( \frac{73}{383} \right)\)： 用 二次互反律 ：73≡1 mod 4，所以符号不变，\(\left( \frac{73}{383} \right) = \left( \frac{383}{73} \right)\)。 对分母取模分子：383 ÷ 73 = 5 ... 18，即383 ≡ 18 (mod 73)。所以 \(\left( \frac{383}{73} \right) = \left( \frac{18}{73} \right)\)。 利用乘法性分解分子：\(\left( \frac{18}{73} \right) = \left( \frac{2}{73} \right) \left( \frac{9}{73} \right)\)。 计算 \(\left( \frac{2}{73} \right)\)：利用互补律，73 ≡ 1 (mod 8)，所以值为1。 计算 \(\left( \frac{9}{73} \right)\)：注意 \(\left( \frac{9}{73} \right) = \left( \frac{3^2}{73} \right)\)。根据勒让德符号定义（平方的符号为1），并且雅可比符号继承此性质，所以其值为1。 因此，\(\left( \frac{18}{73} \right) = 1 * 1 = 1\)。逆推回去，\(\left( \frac{73}{383} \right) = 1\)。 综合结果：\(\left( \frac{219}{383} \right) = 1 * 1 = 1\)。 结论 ：雅可比符号 \(\left( \frac{219}{383} \right) = 1\)。这告诉我们，如果219是模383的二次剩余，其符号必须是1（确实为1），但我们不能因此断定它就是剩余。由于383是素数，此时雅可比符号退化为勒让德符号，所以我们可以断定：219是模素数383的二次剩余。 总结 ： 雅可比符号通过其精妙的计算规则（特别是互反律），将一个需要分解n的问题，转化为一个类似于欧几里得算法的、纯整数的、高效的计算过程。尽管它丢失了模合数时二次剩余性的完整信息，但其计算上的高效性，使其在 Solovay-Strassen素性概率检验 、 二次筛法 中的因子基筛选等高级数论算法中扮演了核心角色。它是从勒让德符号的理论概念通往实际计算的桥梁。