可测函数关于符号测度的积分

字数 3783 2025-12-12 16:13:36

可测函数关于符号测度的积分

我们之前已经详细讨论了许多实变函数的核心概念，包括可测函数、勒贝格积分、符号测度（及其哈恩分解和若尔当分解）。现在，我们将这些知识综合起来，建立一个非常重要的概念：可测函数关于符号测度的积分。这个构造是理解Riesz表示定理、复测度理论以及泛函分析中许多问题的基石。

第一步：重温基础——符号测度与可测函数

符号测度：在一个可测空间$(X, \mathcal{F})$上，一个符号测度$\nu$是一个从$\mathcal{F}$到$[-\infty, +\infty]$的集函数，它满足：

$\nu(\emptyset) = 0$。
$\sigma$-可加性：对任意一列互不相交的集合$\{E_i\} \subset \mathcal{F}$，有$\nu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \nu(E_i)$，并且这个级数必须绝对收敛（当$\nu$取有限值时）或确定地发散到$+\infty$或$-\infty$（避免出现$\infty - \infty$的不定型）。
关键点：符号测度可以取负值，但不能同时取$+\infty$和$-\infty$。

哈恩分解与若尔当分解：这是处理符号测度的核心工具。

哈恩分解：存在$X$的一个分割$X = P \cup N$，其中$P$是$\nu$的正集（对任意$E \subset P$可测，有$\nu(E) \ge 0$），$N$是$\nu$的负集（对任意$E \subset N$可测，有$\nu(E) \le 0$）。这个分解在几乎意义下唯一。
- 若尔当分解：基于哈恩分解，我们可以定义两个（非负）测度：
正变差：$\nu^+(E) = \nu(E \cap P)$
负变差：$\nu^-(E) = -\nu(E \cap N)$
则$\nu = \nu^+ - \nu^-$。进一步定义全变差测度$|\nu| = \nu^+ + \nu^-$。$|\nu|$是一个（非负）测度。

可测函数：我们考虑的函数$f: X \to [-\infty, +\infty]$是关于$\mathcal{F}$可测的。

第二步：积分的定义——分解与绝对可积性

我们的目标是定义积分$\int_X f \, d\nu$。思路很自然：利用若尔当分解，将符号测度分解为正、负两部分，然后分别积分再相减。但这里有一个关键的细节需要注意：要避免出现$\infty - \infty$的不定型。

定义（关于符号测度的积分）：
设$(X, \mathcal{F})$为可测空间，$\nu$是其上的符号测度，$f: X \to [-\infty, +\infty]$为可测函数。我们分两步定义积分：

绝对可积性条件：首先，我们要求$f$关于全变差测度$|\nu|$是可积的，即：

\[ \int_X |f| \, d|\nu| < +\infty \]

这个条件至关重要。因为$|\nu| = \nu^+ + \nu^-$，上述条件等价于$f$同时关于$\nu^+$和$\nu^-$可积（因为$|f|$在两者上的积分都控制于在$|\nu|$上的积分）。

积分的值：在满足绝对可积性条件的前提下，我们定义$f$关于$\nu$的积分为：

\[ \int_X f \, d\nu := \int_X f \, d\nu^+ - \int_X f \, d\nu^- \]

由于我们要求了$\int_X |f| d|\nu| < \infty$，可以保证上式右端是两个有限数的差，不会出现不定型。

为什么需要绝对可积性？
考虑一个简单的例子：设$X = \mathbb{R}$，$\nu = \delta_0 - \delta_1$（即0点的点质量减去1点的点质量），$f(x) = 1$（常值函数）。如果直接形式地计算$\int f d\nu^+ - \int f d\nu^- = 1 - 1 = 0$，似乎没问题。但如果考虑$g(x) = \frac{1}{x}$（在0和1处适当定义以避免无穷），则$\int g d\nu^+$和$\int g d\nu^-$可能都是无穷大，其差$\infty - \infty$无定义。绝对可积性条件$\int |g| d|\nu| < \infty$排除了这种情况，它要求函数在正、负两部分测度上的“大小”都必须有限，从而保证差值是良好定义的。

第三步：基本性质

这样定义的积分继承了勒贝格积分的许多良好性质，并且与符号测度的分解是相容的。

线性性：若$f, g$关于$\nu$绝对可积，$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，则

\[ \int (\alpha f + \beta g) \, d\nu = \alpha \int f \, d\nu + \beta \int g \, d\nu. \]

证明的关键在于利用若尔当分解和勒贝格积分的线性性。

可加性：若$E, F$是不交可测集，则

\[ \int_{E \cup F} f \, d\nu = \int_E f \, d\nu + \int_F f \, d\nu. \]

关于全变差的不等式：由定义直接可得一个非常重要的估计：

\[ \left| \int_E f \, d\nu \right| \le \int_E |f| \, d|\nu|. \]

这个不等式是许多估计的起点，它将关于符号测度的积分控制在一个非负测度的积分之下。

与哈恩分解的关系：设$X = P \cup N$是$\nu$的一个哈恩分解。那么对于任意可测集$E$，有：

\[ \nu^+(E) = \int_E \chi_P \, d\nu = \int_E \chi_P \, d\nu^+ \quad \text{和} \quad \nu^-(E) = -\int_E \chi_N \, d\nu = \int_E \chi_N \, d\nu^-. \]

这表明，指示函数$\chi_P$和$\chi_N$的积分正好“提取”出了符号测度的正部和负部。

第四步：与Radon-Nikodym导数的联系

这是该理论的一个高峰。回忆勒贝格-拉东-尼科迪姆定理：如果$\lambda$是一个$\sigma$-有限的（非负）测度，$\mu$是一个关于$\lambda$绝对连续($\mu \ll \lambda$)的$\sigma$-有限的符号测度，那么存在一个可测函数$h$（称为Radon-Nikodym导数，记作$d\mu/d\lambda$），使得对任意可测集$E$，有：

\[ \mu(E) = \int_E h \, d\lambda. \]

并且$h$在$\lambda$-几乎处处的意义下是唯一的。

现在，对于任意一个关于$\mu$绝对可积的函数$f$，我们有如下至关重要的等式：

\[ \int_X f \, d\mu = \int_X f \cdot h \, d\lambda, \quad \text{其中} \quad h = \frac{d\mu}{d\lambda}. \]

证明思路：

首先对$f$是简单函数的情况验证等式成立（利用积分的线性性）。
然后，对非负可测函数$f$，用一列单调递增的非负简单函数逼近它，利用单调收敛定理将等式推广到$f$。
最后，对一般的绝对可积函数$f$，将其写成正部$f^+$和负部$f^-$之差，再次利用线性性完成证明。

这个等式极其重要，因为它将关于符号测度$\mu$的积分，转化为了关于一个固定的、通常更简单的（如勒贝格测度）非负测度$\lambda$的积分，只是被积函数多了一个因子$h$。这在计算和理论分析中都带来了巨大的便利。例如，在概率论中，期望的计算经常涉及关于一个概率测度（可能是符号的，如在条件期望中）的积分，Radon-Nikodym导数（即概率密度）使我们能将期望写为关于勒贝格测度的积分。

第五步：总结与展望

至此，我们已经完成了可测函数关于符号测度积分的完整构造。其核心路径是：
符号测度 $\xrightarrow{\text{Hahn分解}}$ 非负测度 $\nu^+, \nu^-$ $\xrightarrow{\text{勒贝格积分}}$**定义积分**$\int f d\nu = \int f d\nu^+ - \int f d\nu^-\xrightarrow{\text{绝对可积条件}}$**保证良定义**$\xrightarrow{\text{Radon-Nikodym定理}}$ 化为经典积分。

这个概念是连接测度论、泛函分析（如Riesz表示定理说，某些空间上的连续线性泛函可以表示为一个符号测度的积分）和概率论（符号测度可以表示带符号的“电荷”分布或“效用”差异，其积分就是总电荷或总效用）的关键桥梁。掌握了它，你就能够统一地处理一大类涉及“带符号权重”的求和（积分）问题。

可测函数关于符号测度的积分我们之前已经详细讨论了许多实变函数的核心概念，包括可测函数、勒贝格积分、符号测度（及其哈恩分解和若尔当分解）。现在，我们将这些知识综合起来，建立一个非常重要的概念：可测函数关于符号测度的积分。这个构造是理解Riesz表示定理、复测度理论以及泛函分析中许多问题的基石。第一步：重温基础——符号测度与可测函数符号测度：在一个可测空间$(X, \mathcal{F})$上，一个符号测度 $\nu$是一个从$\mathcal{F}$到$[ -\infty, +\infty ]$的集函数，它满足： $\nu(\emptyset) = 0$。 $\sigma$-可加性：对任意一列互不相交的集合$\{E_ i\} \subset \mathcal{F}$，有$\nu(\bigcup_ {i=1}^\infty E_ i) = \sum_ {i=1}^\infty \nu(E_ i)$，并且这个级数必须绝对收敛（当$\nu$取有限值时）或确定地发散到$+\infty$或$-\infty$（避免出现$\infty - \infty$的不定型）。关键点：符号测度可以取负值，但不能同时取$+\infty$和$-\infty$。哈恩分解与若尔当分解：这是处理符号测度的核心工具。哈恩分解：存在$X$的一个分割$X = P \cup N$，其中$P$是$\nu$的正集（对任意$E \subset P$可测，有$\nu(E) \ge 0$），$N$是$\nu$的负集（对任意$E \subset N$可测，有$\nu(E) \le 0$）。这个分解在几乎意义下唯一。若尔当分解：基于哈恩分解，我们可以定义两个（非负）测度：正变差：$\nu^+(E) = \nu(E \cap P)$ 负变差：$\nu^-(E) = -\nu(E \cap N)$ 则$\nu = \nu^+ - \nu^-$。进一步定义全变差测度 $|\nu| = \nu^+ + \nu^-$。$|\nu|$是一个（非负）测度。可测函数：我们考虑的函数$f: X \to [ -\infty, +\infty ]$是关于$\mathcal{F}$可测的。第二步：积分的定义——分解与绝对可积性我们的目标是定义积分$\int_ X f \, d\nu$。思路很自然：利用若尔当分解，将符号测度分解为正、负两部分，然后分别积分再相减。但这里有一个关键的细节需要注意：要避免出现$\infty - \infty$的不定型。定义（关于符号测度的积分）：设$(X, \mathcal{F})$为可测空间，$\nu$是其上的符号测度，$f: X \to [ -\infty, +\infty ]$为可测函数。我们分两步定义积分：绝对可积性条件：首先，我们要求$f$关于全变差测度$|\nu|$是可积的，即： $$ \int_ X |f| \, d|\nu| < +\infty $$ 这个条件至关重要。因为$|\nu| = \nu^+ + \nu^-$，上述条件等价于$f$同时关于$\nu^+$和$\nu^-$可积（因为$|f|$在两者上的积分都控制于在$|\nu|$上的积分）。积分的值：在满足绝对可积性条件的前提下，我们定义$f$关于$\nu$的积分为： $$ \int_ X f \, d\nu := \int_ X f \, d\nu^+ - \int_ X f \, d\nu^- $$ 由于我们要求了$\int_ X |f| d|\nu| < \infty$，可以保证上式右端是两个有限数的差，不会出现不定型。为什么需要绝对可积性？考虑一个简单的例子：设$X = \mathbb{R}$，$\nu = \delta_ 0 - \delta_ 1$（即0点的点质量减去1点的点质量），$f(x) = 1$（常值函数）。如果直接形式地计算$\int f d\nu^+ - \int f d\nu^- = 1 - 1 = 0$，似乎没问题。但如果考虑$g(x) = \frac{1}{x}$（在0和1处适当定义以避免无穷），则$\int g d\nu^+$和$\int g d\nu^-$可能都是无穷大，其差$\infty - \infty$无定义。绝对可积性条件$\int |g| d|\nu| < \infty$排除了这种情况，它要求函数在正、负两部分测度上的“大小”都必须有限，从而保证差值是良好定义的。第三步：基本性质这样定义的积分继承了勒贝格积分的许多良好性质，并且与符号测度的分解是相容的。线性性：若$f, g$关于$\nu$绝对可积，$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，则 $$ \int (\alpha f + \beta g) \, d\nu = \alpha \int f \, d\nu + \beta \int g \, d\nu. $$ 证明的关键在于利用若尔当分解和勒贝格积分的线性性。可加性：若$E, F$是不交可测集，则 $$ \int_ {E \cup F} f \, d\nu = \int_ E f \, d\nu + \int_ F f \, d\nu. $$ 关于全变差的不等式：由定义直接可得一个非常重要的估计： $$ \left| \int_ E f \, d\nu \right| \le \int_ E |f| \, d|\nu|. $$ 这个不等式是许多估计的起点，它将关于符号测度的积分控制在一个非负测度的积分之下。与哈恩分解的关系：设$X = P \cup N$是$\nu$的一个哈恩分解。那么对于任意可测集$E$，有： $$ \nu^+(E) = \int_ E \chi_ P \, d\nu = \int_ E \chi_ P \, d\nu^+ \quad \text{和} \quad \nu^-(E) = -\int_ E \chi_ N \, d\nu = \int_ E \chi_ N \, d\nu^-. $$ 这表明，指示函数$\chi_ P$和$\chi_ N$的积分正好“提取”出了符号测度的正部和负部。第四步：与Radon-Nikodym导数的联系这是该理论的一个高峰。回忆勒贝格-拉东-尼科迪姆定理：如果$\lambda$是一个$\sigma$-有限的（非负）测度，$\mu$是一个关于$\lambda$绝对连续($\mu \ll \lambda$)的$\sigma$-有限的符号测度，那么存在一个可测函数 $h$（称为Radon-Nikodym导数，记作$d\mu/d\lambda$），使得对任意可测集$E$，有： $$ \mu(E) = \int_ E h \, d\lambda. $$ 并且$h$在$\lambda$-几乎处处的意义下是唯一的。现在，对于任意一个关于$\mu$绝对可积的函数$f$，我们有如下至关重要的等式： $$ \int_ X f \, d\mu = \int_ X f \cdot h \, d\lambda, \quad \text{其中} \quad h = \frac{d\mu}{d\lambda}. $$ 证明思路：首先对$f$是简单函数的情况验证等式成立（利用积分的线性性）。然后，对非负可测函数$f$，用一列单调递增的非负简单函数逼近它，利用单调收敛定理将等式推广到$f$。最后，对一般的绝对可积函数$f$，将其写成正部$f^+$和负部$f^-$之差，再次利用线性性完成证明。这个等式极其重要，因为它将关于符号测度$\mu$的积分，转化为了关于一个固定的、通常更简单的（如勒贝格测度）非负测度$\lambda$的积分，只是被积函数多了一个因子$h$。这在计算和理论分析中都带来了巨大的便利。例如，在概率论中，期望的计算经常涉及关于一个概率测度（可能是符号的，如在条件期望中）的积分，Radon-Nikodym导数（即概率密度）使我们能将期望写为关于勒贝格测度的积分。第五步：总结与展望至此，我们已经完成了可测函数关于符号测度积分的完整构造。其核心路径是：符号测度 $\xrightarrow{\text{Hahn分解}}$ 非负测度 $\nu^+, \nu^-$ $\xrightarrow{\text{勒贝格积分}}$ 定义积分 $\int f d\nu = \int f d\nu^+ - \int f d\nu^-$ $\xrightarrow{\text{绝对可积条件}}$ 保证良定义 $\xrightarrow{\text{Radon-Nikodym定理}}$ 化为经典积分。这个概念是连接测度论、泛函分析（如Riesz表示定理说，某些空间上的连续线性泛函可以表示为一个符号测度的积分）和概率论（符号测度可以表示带符号的“电荷”分布或“效用”差异，其积分就是总电荷或总效用）的关键桥梁。掌握了它，你就能够统一地处理一大类涉及“带符号权重”的求和（积分）问题。