薛定谔方程

薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子运动状态随时间演化的基本方程。它不是一个单一的方程，而是一个方程族，其核心是描述粒子波函数如何演化。

1. 波函数的概念
   在经典力学中，一个粒子的状态由位置和动量精确描述。但在量子力学中，粒子的状态由一个称为“波函数”的数学函数描述，通常记为 Ψ (读作 Psi)。波函数是位置和时间的函数，即 Ψ(x, y, z, t)。波函数本身没有直接的物理意义，但其绝对值的平方 |Ψ(x, y, z, t)|² 代表了在时间 t、在空间点 (x, y, z) 附近单位体积内发现该粒子的概率。因此，波函数也被称为“概率幅”。

2. 方程的建立：能量与算符
   薛定谔方程的建立源于一个关键的类比：他将经典力学中的物理量（如能量、动量）与特定的数学操作（称为“算符”）联系起来。

   • 在经典力学中，一个粒子的总能量 E 等于其动能 (p²/2m，其中 p 是动量，m 是质量) 加上其势能 V (由粒子所在位置决定，如电磁场中的电势能)。这个关系就是哈密顿量：E = p²/2m + V。
   • 薛定谔提出，在量子力学中，能量 E 应由能量算符 iℏ ∂/∂t 来描述（i 是虚数单位，ℏ 是约化普朗克常数）。
   • 动量 p 应由动量算符 -iℏ ∂/∂x 来描述（对于一维情况）。
   • 将经典的能量关系式中的 E 和 p 替换为对应的算符，并让其作用在波函数 Ψ 上，就得到了薛定谔方程：(iℏ ∂/∂t) Ψ = [ (-iℏ ∂/∂x)² / 2m + V ] Ψ。

3. 含时薛定谔方程
   将上述算符关系整理后，我们得到最一般的形式——含时薛定谔方程：
   iℏ ∂Ψ/∂t = [- (ℏ²/2m) ∇² + V] Ψ
   其中：

   • i 是虚数单位。
   • ℏ 是约化普朗克常数（ℏ = h / 2π，h 是普朗克常数）。
   • ∂Ψ/∂t 是波函数对时间的偏导数，描述了波函数随时间的变化率。
   • ∇² 是拉普拉斯算符（在三维直角坐标系中为 ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²），它作用在波函数上，描述了波函数的空间弯曲程度。
   • V 是势能函数，通常是位置的函数 V(x, y, z)。
     这个方程是一个线性偏微分方程，它决定了波函数 Ψ 如何从初始状态开始，随着时间演化。

4. 定态薛定谔方程
   在许多重要情况下，势能函数 V 不显含时间 t。这时，我们可以使用分离变量法来简化问题。我们假设波函数可以写成一个空间函数和一个时间函数的乘积：Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) * φ(t)。
   将这个形式代入含时薛定谔方程，经过数学推导，我们可以将方程分离成两个独立的方程：一个只关于时间 t，另一个只关于空间坐标 (x, y, z)。其中，空间部分的方程就是极其重要的定态薛定谔方程：
   [- (ℏ²/2m) ∇² + V] ψ = E ψ
   其中：

   • ψ(x, y, z) 称为定态波函数。
   • E 是一个常数，其物理意义是系统的总能量。
     这个方程不再显含时间，其形式是一个本征值方程。算符 Ĥ = - (ℏ²/2m) ∇² + V 称为哈密顿算符（代表总能量），方程意味着：哈密顿算符作用在定态波函数 ψ 上，等于一个常数 E（能量本征值）乘以该波函数 ψ（能量本征函数）。求解定态薛定谔方程，就是找出那些具有确定能量 E 的状态（即定态）以及对应的波函数。

5. 薛定谔方程的意义与应用
   薛定谔方程是量子力学的核心，其地位相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位。它的意义在于：

   • 预测性：给定一个势场 V 和初始波函数，通过求解薛定谔方程，理论上可以预测粒子在未来任何时刻的行为（概率分布）。
   • 量子化：对于束缚态问题（如原子中的电子），定态薛定谔方程会自然地导出能量 E 只能取一系列特定的、离散的值，即能量是“量子化”的。这是理解原子光谱、化学元素周期性等现象的基础。
   • 应用实例：通过求解不同势场（如无限深方势阱、谐振子、氢原子库仑势）下的定态薛定谔方程，可以精确解释微观世界的各种现象，从而构成了现代物理和化学的基石。