费马大定理（Fermat’s Last Theorem） 步骤一：问题的最初表述 费马大定理是数论中最著名的问题之一，由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出。 问题原始形式 ： 费马在阅读丢番图《算术》时，在书边写道：当整数 \( n > 2 \) 时，关于 \( x, y, z \) 的方程 \[ x^n + y^n = z^n \] 没有正整数解。他声称自己有一个“绝妙的证明”，但书页边角空白太小，写不下。 步骤二：特殊情形与早期尝试 在费马之前，人们已知道： \( n = 2 \) 时，方程即勾股定理 \( x^2 + y^2 = z^2 \)，有无穷多组正整数解（如 \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)）。 费马本人确实证明了 \( n = 4 \) 的情况（通过无穷递降法）。 18世纪，欧拉证明了 \( n = 3 \) 的情况（证明有漏洞，但后来被补全）。 19世纪，数学家陆续证明了 \( n = 5, 7 \) 等特殊情形，但未能覆盖所有 \( n > 2 \)。 步骤三：关键转折——代数数论的引入 19世纪中期，库默尔在研究费马大定理时发现，如果直接假设在整数环中分解 \( x^n + y^n \)，会误用唯一分解定理（因为一般代数整数环未必有唯一分解）。 他引入了 理想数 （后发展为理想理论）和 分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_ n)\)（其中 \(\zeta_ n\) 是 \( n \) 次单位根），并证明了： 若 \( n \) 是 正则素数 （不整除分圆域类数的素数），则费马方程无正整数解。 这一方法解决了许多素数指数情形，但仍有许多非正则素数（如 \( n = 37, 59, 67 \) 等）无法覆盖。 步骤四：20世纪的间接进展 费马大定理的证明逐渐与更深刻的数学理论关联： 莫德尔猜想 （1983年由法尔廷斯证明）： 若代数曲线 \( F(x,y) = 0 \) 的亏格 \( \ge 2 \)，则方程只有有限个有理数解。 这推出：对每个固定 \( n > 3 \)，费马方程最多只有有限组互素的正整数解（但未证明解数为零）。 椭圆曲线与模形式关联 （谷山–志村猜想）： 1950年代，谷山丰、志村五郎提出：所有有理数域上的椭圆曲线都是模的（即对应一个模形式）。 1980年代，弗雷和塞尔指出：如果费马方程有非零解 \( (a,b,c) \)，则可构造一条椭圆曲线（弗雷曲线）： \[ y^2 = x(x-a^n)(x+b^n), \] 这条曲线具有极不寻常的性质（例如半稳定且不可模）。 里贝特在1986年证明了：弗雷曲线若存在，则违反谷山–志村猜想。 因此， 若谷山–志村猜想对半稳定椭圆曲线成立，则费马大定理成立 。 步骤五：怀尔斯的最终证明 1994年，安德鲁·怀尔斯（部分与理查德·泰勒合作）证明了谷山–志村猜想对半稳定椭圆曲线成立，从而完成了费马大定理的证明。 证明核心思路 ： 通过伽罗瓦表示，将椭圆曲线的模性问题转化为 模形式的形变理论 。 利用 海克代数 和 自守形式 ，比较不同模形式空间的维数。 关键工具包括： \( p \)-进伽罗瓦表示； 岩泽理论； 科利瓦金–弗莱切方法（构造欧拉系统）。 最终证明：所有半稳定椭圆曲线的L函数等于某个模形式的L函数，从而弗雷曲线不可能存在。 步骤六：影响与延伸 费马大定理的证明不仅是数论的胜利，也推动了整个数学的发展： 加强了 朗兰兹纲领 中不同数学对象（伽罗瓦表示、自守形式、代数簇）之间的关联。 发展了 模形式提升理论 和 p进霍奇理论 。 激发了后续对 BSD猜想 、 模性定理 等问题的研究。 总结 费马大定理从简单叙述到最终证明，跨越358年，其解决路径体现了数论从初等问题到现代算术几何的演变。证明的核心并非直接处理费马方程，而是通过证明更深刻的 谷山–志村猜想 ，将整数解问题转化为椭圆曲线的模性，并借助20世纪代数数论、表示论和模形式的宏大框架完成。