曲面的高斯映射与法曲率的线性表示
好的，我们来探讨一个连接曲面局部形状与整体几何的重要概念。要理解这个概念，我们需要循序渐进地建立知识。
第一步：回顾基础——曲面的参数化、法向量与法曲率
首先，想象一个光滑曲面 \(S\)。为了定量地研究它，我们通常用一个参数方程来描述它：
\[\mathbf{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \]
其中 \((u, v)\) 是定义在某个平面区域上的参数。
- 切平面与法向量：在曲面上一点 \(p = \mathbf{r}(u_0, v_0)\)，我们可以求出两个偏导向量 \(\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\) 和 \(\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\)。只要它们不平行，它们就张成了曲面在该点的切平面 \(T_pS\)。垂直于这个切平面的方向就是法线方向。我们通常取单位法向量：
\[ \mathbf{N}(u, v) = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|} \]
这个向量定义了曲面在该点的“正面”朝向，就像一个小箭头垂直地立在曲面上。
- 法曲率：在曲面 \(S\) 上点 \(p\) 处，我们沿着某个切方向 \(\mathbf{v}\)（单位向量）做一条曲线。这条曲线在 \(p\) 点有一个曲率。但曲率的大小依赖于曲线在三维空间中的弯曲，其中一部分朝向曲面法向弯曲，一部分是“侧向”弯曲。法曲率 \(\kappa_n\) 被定义为曲线曲率向量在曲面单位法向量 \(\mathbf{N}\) 上的投影。它衡量了曲面沿该方向在多大程度上是“凹”或“凸”的。法曲率是一个标量，可正可负（符号依赖于曲线弯曲方向与 \(\mathbf{N}\) 相同还是相反）。
第二步：高斯映射的引入与定义
现在，我们引入核心工具——高斯映射。
- 定义：高斯映射 \(G: S \rightarrow S^2\) 是一个从曲面 \(S\) 到单位球面 \(S^2\) 的映射。它的规则非常简单：它将曲面 \(S\) 上的每一点 \(p\)，映射到该点的单位法向量 \(\mathbf{N}(p)\) 的末端，而这个末端恰好落在单位球面 \(S^2\) 上。
- 几何图像：想象曲面 \(S\) 放在三维空间中。在 \(S\) 的每一点，都“长”着一个长度为1的小法向量。把所有这些小法向量的起点都平移到坐标原点，它们的终点就在一个单位球面上。高斯映射做的就是记录这个“终点坐标”对应关系。
- 目的：高斯映射将曲面局部“朝向”的变化，转换成了球面上的点。如果曲面一块区域是“平坦”的（例如平面），那么所有点的法向量都平行，高斯映射就把这一整块区域映射到球面上的一个点。如果曲面弯曲剧烈，法向量变化很快，那么高斯映射就会将曲面上一小块区域拉伸或压缩地映射到球面上较大一块区域。因此，高斯映射的“拉伸程度”编码了曲面的弯曲信息。
第三步：高斯映射的微分（魏因加滕映射）与切空间的对应
高斯映射 \(G\) 本身是一个曲面到球面的映射。我们可以对它求微分，研究它如何将 \(S\) 在点 \(p\) 的切平面 \(T_pS\) 映射到球面在点 \(G(p)=\mathbf{N}\) 的切平面 \(T_{\mathbf{N}}S^2\)。
- 关键观察：球面在点 \(\mathbf{N}\) 的切平面 \(T_{\mathbf{N}}S^2\)，恰好是与向量 \(\mathbf{N}\) 垂直的平面。而这正是曲面在点 \(p\) 的切平面 \(T_pS\) ！因为 \(\mathbf{N}\) 就是 \(T_pS\) 的法向量。所以，高斯映射的微分是一个从 \(T_pS\) 到其自身的线性变换：
\[ dG_p: T_pS \rightarrow T_pS \]
这个线性映射被称为魏因加滕映射（或形状算子），通常记作 \(W_p\) 或 \(S_p\)。
- 如何计算：给定一个切向量 \(\mathbf{v} \in T_pS\)，我们可以用曲线来定义微分。设 \(\alpha(t)\) 是 \(S\) 上一条过点 \(p\) 的曲线，满足 \(\alpha(0)=p\) 且 \(\alpha'(0)=\mathbf{v}\)。那么，高斯映射的微分作用在 \(\mathbf{v}\) 上，等于沿着曲线 \(\alpha\) 的单位法向量的变化率：
\[ dG_p(\mathbf{v}) = W_p(\mathbf{v}) = \frac{d}{dt} \mathbf{N}(\alpha(t)) \bigg|_{t=0} \]
由于 \(\mathbf{N}(\alpha(t))\) 始终是单位向量，其导数 \(\mathbf{N}’\) 必然垂直于 \(\mathbf{N}\) 自身，因此确实落在切平面 \(T_pS\) 中，这与我们的观察一致。
第四步：法曲率的线性表示——核心结论
现在，我们到达了最精妙的一步，它将魏因加滕映射与第一步提到的法曲率联系起来。
- 定理：对于任意单位切向量 \(\mathbf{v} \in T_pS\)，曲面 \(S\) 沿 \(\mathbf{v}\) 方向的法曲率 \(\kappa_n(\mathbf{v})\)，等于魏因加滕映射 \(W_p\) 作用在 \(\mathbf{v}\) 上后，再与 \(\mathbf{v}\) 自身做点积的相反数：
\[ \kappa_n(\mathbf{v}) = -\mathbf{v} \cdot W_p(\mathbf{v}) \]
有时也写作 \(\kappa_n(\mathbf{v}) = -\langle W_p(\mathbf{v}), \mathbf{v} \rangle\)。
- 推导思路：考虑过点 \(p\)、切方向为 \(\mathbf{v}\) 的曲线 \(\alpha(s)\)（以弧长 \(s\) 为参数）。我们有 \(\alpha'(s)\) 是单位切向量，且 \(\alpha’’(s)\) 是曲率向量。法曲率定义为 \(\kappa_n = \alpha’’(0) \cdot \mathbf{N}(p)\)。
另一方面，对恒等式 \(\alpha'(s) \cdot \mathbf{N}(\alpha(s)) = 0\) 两边对 \(s\) 求导：
\[ \alpha’’(s) \cdot \mathbf{N}(\alpha(s)) + \alpha'(s) \cdot \frac{d}{ds}\mathbf{N}(\alpha(s)) = 0 \]
在 \(s=0\) 处，\(\alpha(0)=p, \alpha'(0)=\mathbf{v}, \mathbf{N}(\alpha(0)) = \mathbf{N}(p)\)。代入得：
\[ \alpha’’(0) \cdot \mathbf{N}(p) + \mathbf{v} \cdot \frac{d}{ds}\mathbf{N}(\alpha(s)) \big|_{s=0} = 0 \]
而 \(\frac{d}{ds}\mathbf{N}(\alpha(s)) \big|_{s=0}\) 正是 \(W_p(\mathbf{v})\)。于是：
\[ \kappa_n + \mathbf{v} \cdot W_p(\mathbf{v}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \kappa_n(\mathbf{v}) = -\mathbf{v} \cdot W_p(\mathbf{v}) \]
第五步：几何意义与应用
这个关系 \(\kappa_n(\mathbf{v}) = -\mathbf{v} \cdot W_p(\mathbf{v})\) 具有深刻的几何与代数意义：
- 线性代数封装：它意味着曲面在一点所有方向的弯曲信息（法曲率），完全由一个作用于切平面的线性算子（魏因加滕映射）决定。这极大地简化了问题的结构。
- 主曲率与主方向：由于 \(W_p\) 是一个对称线性变换（关于由曲面第一、第二基本形式诱导的内积），根据线性代数，存在 \(T_pS\) 中的一组标准正交基 \(\{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \}\)，使得 \(W_p\) 在这组基下是对角矩阵：
\[ W_p(\mathbf{e}_1) = \kappa_1 \mathbf{e}_1, \quad W_p(\mathbf{e}_2) = \kappa_2 \mathbf{e}_2 \]
这里的 \(\kappa_1, \kappa_2\) 就是主曲率，\(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\) 就是对应的主方向。代入公式，沿主方向的法曲率就是主曲率本身：\(\kappa_n(\mathbf{e}_i) = -\mathbf{e}_i \cdot (\kappa_i \mathbf{e}_i) = -\kappa_i\)（这里的负号有时因法向量朝向约定而被吸收到定义中，不影响本质）。
3. 欧拉公式的再现：对于任意与 \(\mathbf{e}_1\) 夹角为 \(\theta\) 的单位向量 \(\mathbf{v} = \cos\theta \mathbf{e}_1 + \sin\theta \mathbf{e}_2\)，我们可以计算：
\[ \kappa_n(\theta) = -\mathbf{v} \cdot W_p(\mathbf{v}) = -(\cos\theta \mathbf{e}_1 + \sin\theta \mathbf{e}_2) \cdot (\kappa_1 \cos\theta \mathbf{e}_1 + \kappa_2 \sin\theta \mathbf{e}_2) = \kappa_1 \cos^2\theta + \kappa_2 \sin^2\theta \]
这正是著名的**欧拉公式**，它用主曲率给出了任意方向的法曲率。
- 高斯曲率与平均曲率：高斯映射的微分（魏因加滕映射）的行列式就是高斯曲率 \(K = \det(W_p) = \kappa_1 \kappa_2\)；它的迹的一半的相反数是平均曲率 \(H = -\frac{1}{2}\text{tr}(W_p) = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2}\)。因此，高斯映射的局部行为（是保持面积、反向还是收缩）直接反映了内在的（高斯曲率）和外在的（平均曲率）弯曲性质。
总结：
我们从曲面的基本描述出发，引入了记录法向变化的高斯映射。其微分给出了一个从切空间到自身的线性算子——魏因加滕映射。最终我们发现，曲面的局部弯曲度量法曲率，可以优雅地表示为这个线性算子的一个二次型 \(\kappa_n(\mathbf{v}) = -\mathbf{v} \cdot W_p(\mathbf{v})\)。这个表达式将微分几何中的曲率研究与线性代数紧密结合，是理解曲面主曲率、欧拉公式、高斯曲率和平均曲率等核心概念的基石。