泊松方程 基本定义 泊松方程是二阶椭圆型偏微分方程，形式为 \[ \nabla^2 u = f(x), \] 其中 \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子（对空间变量求二阶偏导之和），\(u\) 是未知函数，\(f(x)\) 是已知函数（通常表示源项或汇项）。当 \(f=0\) 时，方程退化为拉普拉斯方程 \(\nabla^2 u = 0\)。 物理背景与意义 泊松方程常见于描述有源的稳定场分布。例如： 静电学 ：电势 \(u\) 满足 \(\nabla^2 u = -\rho/\varepsilon_ 0\)，其中 \(\rho\) 是电荷密度，\(\varepsilon_ 0\) 是真空介电常数。 重力场 ：引力势与质量分布的关系类似。 热力学稳态 ：存在热源时，温度分布满足泊松方程。 数学特性 解的唯一性 ：在给定边界条件（如狄利克雷条件或诺伊曼条件）下，解是唯一的。 叠加原理不直接适用 ：因方程非齐次，但可通过格林函数法将问题分解为齐次方程特解和边界效应叠加。 求解方法示例：格林函数法 若已知泊松方程在区域 \(\Omega\) 上的格林函数 \(G(x,y)\)（满足 \(\nabla^2 G = \delta(x-y)\)），解可表示为： \[ u(x) = \int_ \Omega G(x,y) f(y) dy + \text{边界项}. \] 例如，自由空间的格林函数为 \(G(x,y) = -\frac{1}{4\pi |x-y|}\)（三维情形）。 与拉普拉斯方程的关系 泊松方程的解可写为特解 \(u_ p\)（满足 \(\nabla^2 u_ p = f\)）与齐次解 \(u_ h\)（满足拉普拉斯方程）之和： \[ u = u_ p + u_ h. \] 齐次解 \(u_ h\) 用于满足边界条件，体现了拉普拉斯方程在边值问题中的核心作用。 数值应用 泊松方程常用有限元法（FEM）或有限差分法（FDM）求解。例如，在网格上离散拉普拉斯算子，转化为线性方程组 \(A u = b\)，其中 \(b\) 由 \(f(x)\) 和边界条件决定。