二次型的雅可比符号（Jacobi symbol for quadratic forms）
字数 3383 2025-12-12 10:50:32

二次型的雅可比符号（Jacobi symbol for quadratic forms）

我们先从一个熟悉的概念入手。回想一下，在模素数 \(p\) 的二次剩余理论中，勒让德符号 \(\left( \frac{a}{p} \right)\) 是一个核心工具，它判断整数 \(a\) 是否是模奇素数 \(p\) 的二次剩余。其值为 \(1, -1\) 或 \(0\)。但勒让德符号要求模必须是素数。为了处理合数模的二次剩余问题，雅可比符号被引入。

  1. 雅可比符号（基础定义）
    首先，我们明确雅可比符号的定义。设 \(n\) 是一个正奇数，且其素因数分解为 \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}\)，其中 \(p_i\) 是奇素数。对于任意整数 \(a\)，定义雅可比符号 \(\left( \frac{a}{n} \right)\) 为：

\[ \left( \frac{a}{n} \right) = \left( \frac{a}{p_1} \right)^{\alpha_1} \left( \frac{a}{p_2} \right)^{\alpha_2} \cdots \left( \frac{a}{p_k} \right)^{\alpha_k} \]

其中右边的每个 \(\left( \frac{a}{p_i} \right)\) 是勒让德符号。请注意，即使 \(a\) 是模 \(n\) 的二次剩余，雅可比符号也可能为 \(-1\)（因为它不保持“剩余性”判断，而是继承了勒让德符号的乘性）。它的主要价值在于其计算性质和与二次互反律的优美结合。

  1. 从单个整数到二次型：问题的提出
    现在，我们将视线转向二次型。回忆一个（整系数）二次型是一个齐次二次多项式，例如 \(Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\)。一个重要的问题是：给定一个整数 \(m\) 和一个模数 \(n\)，二次型 \(Q\) 能否表示一个与 \(m\) 模 \(n\) 同余的数？即，是否存在整数 \(x, y\) 使得 \(Q(x, y) \equiv m \pmod{n}\)？
    当 \(n\) 是素数 \(p\) 时，我们可以利用二次剩余理论。例如，对于最简单的二次型 \(Q(x) = x^2\)，条件 \(x^2 \equiv m \pmod{p}\) 有解当且仅当 \(\left( \frac{m}{p} \right) = 1\) 或 \(0\)。对于更一般的二次型，其可表示性与二次型的判别式（例如 \(\Delta = b^2 - 4ac\)）紧密相关。

  2. 二次型与雅可比符号的桥梁：希尔伯特符号（局部情形）
    为了从“模素数”过渡到“模合数”，我们需要一个局部到整体的工具。回忆二次互反律，它联系了不同素数模下的二次剩余性质。对于二次型的可解性，一个更强大的局部工具是希尔伯特符号 \((a, b)_p\)，其中 \(p\) 是一个素数（或无穷素数 \(\infty\)）。对于给定的局部域 \(\mathbb{Q}_p\)，\((a, b)_p = 1\) 表示方程 \(z^2 = a x^2 + b y^2\) 在 \(\mathbb{Q}_p\) 中有非平凡解，否则为 \(-1\)。希尔伯特符号是双线性的，并且满足一个关键的“乘积公式”：对任意非零整数 \(a, b\)，有 \(\prod_{p \leq \infty} (a, b)_p = 1\)。这个公式是将所有局部信息拼合成整体信息的基石。

  3. 定义：二次型的雅可比符号（整体情形）
    现在，我们如何为二次型本身定义一个“雅可比符号”？考虑一个二元二次型 \(Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\)，其判别式为 \(\Delta = b^2 - 4ac\)。设 \(n\) 是一个与 \(2\Delta\) 互素的正奇数（这个互素条件是为了避免技术上的麻烦，保证符号是良定义的乘性函数）。
    二次型的雅可比符号（有时称为克罗内克符号的推广，或称二次型的雅可比-克罗内克符号）定义为：

\[ \left( \frac{Q}{n} \right) := \prod_{p | n} \left( \frac{\Delta}{p} \right)^{\nu_p(n)} \]

其中 \(\nu_p(n)\) 是 \(n\) 中素数 \(p\) 的指数，右边是普通的雅可比符号（因为每个 \((\Delta / p)\) 是勒让德符号）。更一般地，对于任何与 \(2\Delta\) 互素的奇数 \(n\)，我们简单地将其视为对 \(n\) 的每个素因子取勒让德符号后的乘积。这个符号继承了普通雅可比符号的完全乘性：\(\left( \frac{Q}{mn} \right) = \left( \frac{Q}{m} \right) \left( \frac{Q}{n} \right)\)。

  1. 核心作用：在二次型的局部-全局原理（Hasse-Minkowski定理）中的角色
    这个符号的威力在于它在哈塞-闵可夫斯基定理中的应用。该定理说：一个二次型在有理数 \(\mathbb{Q}\) 上表示 \(0\)（有非平凡零解），当且仅当它在所有完备化（即实数域 \(\mathbb{R}\) 和所有 \(p\)-进数域 \(\mathbb{Q}_p\) ）上表示 \(0\)。
    在实际检验时，对于给定的整数 \(m\)，判断 \(Q(x, y) = m\) 是否有有理数解，可以转化为一系列局部可解性条件。其中，对于奇素数 \(p\) 不整除 \(m\) 和 \(\Delta\) 的情形，可解性条件可以由一个类似雅可比符号的条件来简洁表达。更具体地说，\(Q\) 在 \(\mathbb{Q}_p\) 中表示 \(m\) 的条件，等价于一个由 \(m, \Delta\) 和 \(p\) 决定的希尔伯特符号等式。利用希尔伯特符号的乘积公式，所有这些局部条件相乘必须为 \(1\)。这最终会推导出一些整体的同余条件，这些条件常常可以表述为对某些模数 \(n\)，二次型的雅可比符号 \(\left( \frac{Q}{n} \right)\) 必须等于 \(1\)。因此，二次型的雅可比符号是将无穷多个局部条件（对每个素数 \(p\)）打包成有限个整体同余条件的关键编码工具之一。

  2. 与类群和类域论的联系
    最后，从更高的视角看，二次型 \(Q\) 对应着其判别式 \(\Delta\) 的二次域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})\) 中的一个理想类。二次型的雅可比符号 \(\left( \frac{Q}{n} \right)\) 本质上与阿廷互反律中定义的、从理想类群到复数单位根群的同态密切相关。具体地，对于一个在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})\) 中非分歧的素数 \(p\)（即 \(p\) 不整除 \(2\Delta\)），弗罗贝尼乌斯自同构 \(\left( \frac{\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})/\mathbb{Q}}{p} \right)\) 作用于 \(\sqrt{\Delta}\) 的效果由 \(\left( \frac{\Delta}{p} \right)\) 决定。因此，符号 \(\left( \frac{Q}{n} \right)\) 可以解释为理想 \((n)\) 在类域论对应下的伽罗瓦元素的某种“求值”。这使得它成为连接二次型理论、类群结构和类域论的一个具体而微的桥梁。

二次型的雅可比符号（Jacobi symbol for quadratic forms） 我们先从一个熟悉的概念入手。回想一下，在模素数 \( p \) 的二次剩余理论中， 勒让德符号 \( \left( \frac{a}{p} \right) \) 是一个核心工具，它判断整数 \( a \) 是否是模奇素数 \( p \) 的二次剩余。其值为 \( 1, -1 \) 或 \( 0 \)。但勒让德符号要求模必须是素数。为了处理合数模的二次剩余问题，雅可比符号被引入。 雅可比符号（基础定义） 首先，我们明确雅可比符号的定义。设 \( n \) 是一个正奇数，且其素因数分解为 \( n = p_ 1^{\alpha_ 1} p_ 2^{\alpha_ 2} \cdots p_ k^{\alpha_ k} \)，其中 \( p_ i \) 是奇素数。对于任意整数 \( a \)，定义 雅可比符号 \( \left( \frac{a}{n} \right) \) 为： \[ \left( \frac{a}{n} \right) = \left( \frac{a}{p_ 1} \right)^{\alpha_ 1} \left( \frac{a}{p_ 2} \right)^{\alpha_ 2} \cdots \left( \frac{a}{p_ k} \right)^{\alpha_ k} \] 其中右边的每个 \( \left( \frac{a}{p_ i} \right) \) 是勒让德符号。请注意，即使 \( a \) 是模 \( n \) 的二次剩余，雅可比符号也可能为 \( -1 \)（因为它不保持“剩余性”判断，而是继承了勒让德符号的乘性）。它的主要价值在于其计算性质和与二次互反律的优美结合。 从单个整数到二次型：问题的提出 现在，我们将视线转向二次型。回忆一个（整系数）二次型是一个齐次二次多项式，例如 \( Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \)。一个重要的问题是：给定一个整数 \( m \) 和一个模数 \( n \)，二次型 \( Q \) 能否表示一个与 \( m \) 模 \( n \) 同余的数？即，是否存在整数 \( x, y \) 使得 \( Q(x, y) \equiv m \pmod{n} \)？ 当 \( n \) 是素数 \( p \) 时，我们可以利用二次剩余理论。例如，对于最简单的二次型 \( Q(x) = x^2 \)，条件 \( x^2 \equiv m \pmod{p} \) 有解当且仅当 \( \left( \frac{m}{p} \right) = 1 \) 或 \( 0 \)。对于更一般的二次型，其可表示性与二次型的判别式（例如 \( \Delta = b^2 - 4ac \)）紧密相关。 二次型与雅可比符号的桥梁：希尔伯特符号（局部情形） 为了从“模素数”过渡到“模合数”，我们需要一个局部到整体的工具。回忆 二次互反律 ，它联系了不同素数模下的二次剩余性质。对于二次型的可解性，一个更强大的局部工具是 希尔伯特符号 \( (a, b)_ p \)，其中 \( p \) 是一个素数（或无穷素数 \( \infty \)）。对于给定的局部域 \( \mathbb{Q}_ p \)，\( (a, b)_ p = 1 \) 表示方程 \( z^2 = a x^2 + b y^2 \) 在 \( \mathbb{Q} p \) 中有非平凡解，否则为 \( -1 \)。希尔伯特符号是双线性的，并且满足一个关键的“乘积公式”：对任意非零整数 \( a, b \)，有 \( \prod {p \leq \infty} (a, b)_ p = 1 \)。这个公式是将所有局部信息拼合成整体信息的基石。 定义：二次型的雅可比符号（整体情形） 现在，我们如何为二次型本身定义一个“雅可比符号”？考虑一个二元二次型 \( Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \)，其判别式为 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。设 \( n \) 是一个与 \( 2\Delta \) 互素的正奇数（这个互素条件是为了避免技术上的麻烦，保证符号是良定义的乘性函数）。 二次型的雅可比符号 （有时称为克罗内克符号的推广，或称二次型的雅可比-克罗内克符号）定义为： \[ \left( \frac{Q}{n} \right) := \prod_ {p | n} \left( \frac{\Delta}{p} \right)^{\nu_ p(n)} \] 其中 \( \nu_ p(n) \) 是 \( n \) 中素数 \( p \) 的指数，右边是普通的雅可比符号（因为每个 \( (\Delta / p) \) 是勒让德符号）。更一般地，对于任何与 \( 2\Delta \) 互素的奇数 \( n \)，我们简单地将其视为对 \( n \) 的每个素因子取勒让德符号后的乘积。这个符号继承了普通雅可比符号的完全乘性：\( \left( \frac{Q}{mn} \right) = \left( \frac{Q}{m} \right) \left( \frac{Q}{n} \right) \)。 核心作用：在二次型的局部-全局原理（Hasse-Minkowski定理）中的角色 这个符号的威力在于它在 哈塞-闵可夫斯基定理 中的应用。该定理说：一个二次型在有理数 \( \mathbb{Q} \) 上表示 \( 0 \)（有非平凡零解），当且仅当它在所有完备化（即实数域 \( \mathbb{R} \) 和所有 \( p \)-进数域 \( \mathbb{Q}_ p \) ）上表示 \( 0 \)。 在实际检验时，对于给定的整数 \( m \)，判断 \( Q(x, y) = m \) 是否有有理数解，可以转化为一系列局部可解性条件。其中，对于奇素数 \( p \) 不整除 \( m \) 和 \( \Delta \) 的情形，可解性条件可以由一个类似雅可比符号的条件来简洁表达。更具体地说，\( Q \) 在 \( \mathbb{Q}_ p \) 中表示 \( m \) 的条件，等价于一个由 \( m, \Delta \) 和 \( p \) 决定的希尔伯特符号等式。利用希尔伯特符号的乘积公式，所有这些局部条件相乘必须为 \( 1 \)。这最终会推导出一些整体的同余条件，这些条件常常可以表述为对某些模数 \( n \)，二次型的雅可比符号 \( \left( \frac{Q}{n} \right) \) 必须等于 \( 1 \)。因此，二次型的雅可比符号是将无穷多个局部条件（对每个素数 \( p \)）打包成有限个整体同余条件的关键编码工具之一。 与类群和类域论的联系 最后，从更高的视角看，二次型 \( Q \) 对应着其判别式 \( \Delta \) 的二次域 \( \mathbb{Q}(\sqrt{\Delta}) \) 中的一个理想类。二次型的雅可比符号 \( \left( \frac{Q}{n} \right) \) 本质上与 阿廷互反律 中定义的、从理想类群到复数单位根群的同态密切相关。具体地，对于一个在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{\Delta}) \) 中非分歧的素数 \( p \)（即 \( p \) 不整除 \( 2\Delta \)），弗罗贝尼乌斯自同构 \( \left( \frac{\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})/\mathbb{Q}}{p} \right) \) 作用于 \( \sqrt{\Delta} \) 的效果由 \( \left( \frac{\Delta}{p} \right) \) 决定。因此，符号 \( \left( \frac{Q}{n} \right) \) 可以解释为理想 \( (n) \) 在类域论对应下的伽罗瓦元素的某种“求值”。这使得它成为连接二次型理论、类群结构和类域论的一个具体而微的桥梁。