阿波罗尼奥斯球
我将为你系统性地讲解“阿波罗尼奥斯球”这一几何概念。请留意，这个词条在你提供的列表中并未出现过，因此我将从头开始，循序渐进地展开讲解。
1. 从二维到三维的推广：阿波罗尼奥斯圆的回顾
为了更好地理解阿波罗尼奥斯球，我们先简要回顾二维平面上的阿波罗尼奥斯圆。
- 定义：在平面上，给定两个固定点 \(A\) 和 \(B\)，以及一个定值比 \(k > 0\,(k \neq 1)\)，则满足条件
\[ \frac{PA}{PB} = k \]
的点 \(P\) 的轨迹是一个圆，称为阿波罗尼奥斯圆（或阿波罗尼奥斯轨迹）。
- 几何意义：这个圆是以 \(A\) 和 \(B\) 的定比分点（内分点和外分点）为直径端点的圆。当 \(k=1\) 时，轨迹是线段 \(AB\) 的垂直平分线（可视为半径无穷大的圆）。
2. 三维空间中的自然推广：阿波罗尼奥斯球的定义
将上述二维结论推广到三维空间：
- 给定两个固定点 \(A\) 和 \(B\)（坐标为 \(\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3\)），以及常数 \(k > 0\,(k \neq 1)\)。
- 考虑所有满足
\[ \frac{|\mathbf{p} - \mathbf{a}|}{|\mathbf{p} - \mathbf{b}|} = k \]
的点 \(P\)（位置向量为 \(\mathbf{p}\)）的集合。
- 结论：这个集合是一个球面，称为阿波罗尼奥斯球。
3. 推导阿波罗尼奥斯球的方程与球心半径
设 \(A=(x_1, y_1, z_1)\)，\(B=(x_2, y_2, z_2)\)，点 \(P=(x, y, z)\)。
由距离比条件：
\[\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2} = k \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}. \]
两边平方并整理：
\[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2 = k^2\left[(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2\right]. \]
展开后合并同类项：
\[(1-k^2)(x^2+y^2+z^2) - 2(x_1 - k^2 x_2)x - 2(y_1 - k^2 y_2)y - 2(z_1 - k^2 z_2)z + (x_1^2+y_1^2+z_1^2 - k^2(x_2^2+y_2^2+z_2^2)) = 0. \]
由于 \(k \neq 1\)，可除以 \(1-k^2\) 得到球面的一般方程：
\[x^2+y^2+z^2 - 2\frac{x_1 - k^2 x_2}{1-k^2}x - 2\frac{y_1 - k^2 y_2}{1-k^2}y - 2\frac{z_1 - k^2 z_2}{1-k^2}z + \frac{x_1^2+y_1^2+z_1^2 - k^2(x_2^2+y_2^2+z_2^2)}{1-k^2} = 0. \]
因此，球心坐标 \(\mathbf{c}\) 为：
\[\mathbf{c} = \frac{\mathbf{a} - k^2 \mathbf{b}}{1-k^2}. \]
半径 \(R\) 可通过代入球心到点 \(A\) 的距离与比例关系求出，更直接的方法是计算球心到点 \(A\) 的距离：
设 \(d = |\mathbf{b}-\mathbf{a}|\) 为 \(A,B\) 间距离，则
\[R = \frac{k\,d}{|1-k^2|}. \]
推导提示：由 \(|\mathbf{c}-\mathbf{a}| = \frac{k^2 d}{|1-k^2|}\) 和 \(|\mathbf{c}-\mathbf{b}| = \frac{d}{|1-k^2|}\)，且 \(|\mathbf{c}-\mathbf{a}| = k |\mathbf{c}-\mathbf{b}|\)，再取球面上任意点 \(P\) 与 \(A,B\) 满足比例条件，可得上述半径公式。
4. 几何解释与球心的位置
- 球心 \(\mathbf{c}\) 位于直线 \(AB\) 上，并且是线段 \(AB\) 的定比分点。
具体地，若将 \(A\) 和 \(B\) 视为基点，则
\[ \frac{AC}{CB} = k^2 \quad (\text{注意这里是距离比，不是 }k)。 \]
因为从 \(\mathbf{c} = \frac{\mathbf{a} - k^2 \mathbf{b}}{1-k^2}\) 可得向量关系：
\[ \mathbf{c} - \mathbf{a} = \frac{-k^2}{1-k^2}(\mathbf{b}-\mathbf{a}), \quad \mathbf{c} - \mathbf{b} = \frac{-1}{1-k^2}(\mathbf{b}-\mathbf{a}), \]
所以 \(|\mathbf{c}-\mathbf{a}| : |\mathbf{c}-\mathbf{b}| = k^2 : 1\)。
- 当 \(k>1\) 时，球心靠近 \(B\) 侧（因为 \(k^2>1\)，内分点更靠近 \(B\) 的外侧对应外分点需小心，实际符号判断：若 \(k>1\)，则 \(1-k^2<0\)，所以 \(\mathbf{c}\) 在 \(AB\) 延长线上位于 \(B\) 远离 \(A\) 的一侧）。
- 当 \(0
- 半径公式 \(R = \frac{k d}{|1-k^2|}\) 显示，当 \(k \to 1\) 时，半径趋于无穷大，球面退化为线段 \(AB\) 的垂直平分平面（三维空间中的中垂面）。
5. 特殊情形与退化
- \(k=1\)：轨迹是线段 \(AB\) 的垂直平分平面（可视为球心在无穷远、半径无穷大的球面）。
- \(k \to 0^+\)：若 \(A \neq B\)，当 \(k \to 0\) 时，球面收缩到点 \(A\)（但 \(k=0\) 通常排除，因分母定义需 \(k>0\)）。
- 对称性：比值为 \(k\) 和 \(1/k\) 的两个阿波罗尼奥斯球关于线段 \(AB\) 的中点对称。
6. 阿波罗尼奥斯球的应用与相关概念
- 三维坐标几何：用于构造到两定点距离成定比的曲面，是阿波罗尼奥斯问题（切圆问题）在三维的类似物。
- 球面反射与折射：在光学中，到两点距离比为常数的曲面与光程恒定有关，但通常介质均匀时是平面或球面。
- 阿波罗尼奥斯问题在三维的推广：给定四个球，求与它们都相切的球，其解与二维的阿波罗尼奥斯相切圆问题类似，可通过反演变换求解。
- 与其它几何轨迹的联系：若将两定点视为焦点，该球面可看作三维空间中到两焦点距离之比为常数的旋转曲面（实际上是球面，而非椭球面或双曲面）。
7. 小结
- 阿波罗尼奥斯球是阿波罗尼奥斯圆在三维空间的直接推广，定义为到两定点距离之比为常数（不为1）的点的轨迹，是一个球面。
- 球心在两点连线上，是两点按 \(k^2:1\) 的定比分点，半径 \(R = \frac{k d}{|1-k^2|}\)。
- 当比例 \(k=1\) 时退化为中垂平面。
- 该概念在经典几何、坐标几何及几何变换中具有基础地位，是理解三维轨迹与比例性质的良好范例。