数学物理方程中的特征线法（续）：完全非线性一阶偏微分方程
字数 5036 2025-12-12 09:33:55

数学物理方程中的特征线法（续）：完全非线性一阶偏微分方程

我们之前已讨论了特征线法在线性和拟线性一阶偏微分方程（PDEs）中的应用。现在，我们将其推广到最一般的形式：完全非线性一阶偏微分方程。这类方程的特点是，未知函数及其一阶偏导数以非线性的方式同时出现，这带来了新的几何结构和求解挑战。让我们循序渐进地理解它。

第一步：完全非线性方程的一般形式与几何视角

一个完全非线性一阶偏微分方程的标准形式为：

\[F(x_1, \dots, x_n, u, p_1, \dots, p_n) = 0 \]

其中，\(u = u(x_1, \dots, x_n)\) 是未知函数，\(p_i = \frac{\partial u}{\partial x_i}\) 是其偏导数。函数 \(F\) 对其所有自变量是充分光滑的，并且关于至少一个 \(p_i\) 是非线性的（否则就退化为拟线性方程）。

与拟线性情况（方程关于 \(p_i\) 是线性的）不同，这里的核心几何对象不再是“方向场”，而是一个更复杂的几何结构：

  • 切触元素 (Contact Element)：在点 \((x_1, \dots, x_n, u)\) 处，一个切触元素由一组数 \((p_1, \dots, p_n)\) 给出，它定义了经过该点的一个可能的切平面。方程 \(F=0\) 则是在 \((2n+1)\) 维的“1-阶切触空间”（坐标为 \((x, u, p)\)）中定义了一个超曲面（或称为“哈密顿-雅可比曲面”）。
  • 几何问题：求解方程，就是在这个 \((2n+1)\) 维空间中寻找一个 \(n\) 维子流形（即解曲面 \(u=u(x)\)），使得其在每一点的切平面都“接触”到由 \(F=0\) 定义的超曲面。这比“方向”匹配要复杂，因为它要求整个切平面（由 \(p\) 描述）满足 \(F=0\)。

第二步：推导特征方程组——切触哈密顿系统

为了构造这样的解曲面，我们需要找到一组特殊的曲线，即特征曲线，它位于解曲面上，并携带了构建整个曲面所需的信息。推导过程基于全微分和相容性条件。

  1. 出发点：假设我们有一个解 \(u=u(x)\)。在其图像上，有 \(p_i = u_{x_i}\)，且 \(F(x, u(x), p(x)) = 0\)。

  2. 对 \(F\) 沿解曲面求全微分：将 \(F=0\) 对每个坐标 \(x_i\) 求导，利用链式法则：

\[ \frac{dF}{dx_i} = F_{x_i} + F_u u_{x_i} + \sum_{j=1}^{n} F_{p_j} \frac{\partial p_j}{\partial x_i} = 0 \]

由于 \(p_j = u_{x_j}\)，我们有 \(\frac{\partial p_j}{\partial x_i} = u_{x_j x_i} = u_{x_i x_j} = \frac{\partial p_i}{\partial x_j}\)。这个对称性（施瓦兹定理）是关键。

  1. 构造对称的微分方程：为了利用上述对称性，我们考虑一个参数 \(s\)（特征参数），并规定 \(x_i\) 和 \(u\) 沿特征线随 \(s\) 变化的规律。我们希望导出一个关于 \(p_i\) 的简单方程。为此，我们定义特征方向的演化方程为：

\[ \frac{dx_i}{ds} = F_{p_i}(x, u, p) \]

\[ \frac{du}{ds} = \sum_{j=1}^{n} p_j F_{p_j}(x, u, p) \]

  1. 推导 \(p_i\) 的演化方程：现在计算 \(p_i\) 沿特征线的变化率 \(\frac{dp_i}{ds} = \sum_j \frac{\partial p_i}{\partial x_j} \frac{dx_j}{ds}\)。代入 \(\frac{dx_j}{ds} = F_{p_j}\) 得到 \(\sum_j u_{x_i x_j} F_{p_j}\)。另一方面，从步骤2中的全微分式子 \(F_{x_i} + F_u p_i + \sum_j F_{p_j} u_{x_j x_i} = 0\)，我们可以解出 \(\sum_j F_{p_j} u_{x_i x_j} = -F_{x_i} - F_u p_i\)。
    因此，我们得到：

\[ \frac{dp_i}{ds} = -F_{x_i}(x, u, p) - p_i F_u(x, u, p) \]

  1. 完整的特征方程组：将以上方程组合，我们得到完全非线性一阶PDE的特征方程组，也称为切触哈密顿系统或特征ODE系统：

\[ \begin{aligned} \frac{dx_i}{ds} &= F_{p_i}(x, u, p), \\ \frac{dp_i}{ds} &= -F_{x_i}(x, u, p) - p_i F_u(x, u, p), \\ \frac{du}{ds} &= \sum_{j=1}^{n} p_j F_{p_j}(x, u, p). \end{aligned} \]

这是一个包含 \(2n+1\) 个未知函数 \((x, p, u)\) 的 \(2n+1\) 个一阶常微分方程组。

第三步：特征线的性质与柯西问题

  1. 沿特征线 \(F\) 为常数：一个重要性质是，如果初始数据满足 \(F=0\)，那么沿由此系统确定的特征曲线，函数 \(F\) 保持为常数（通常为0）。证明：计算 \(\frac{dF}{ds} = \sum F_{x_i} \frac{dx_i}{ds} + F_u \frac{du}{ds} + \sum F_{p_i} \frac{dp_i}{ds}\)，代入特征方程组后，各项恰好相消，得到 \(\frac{dF}{ds} = 0\)。这保证了特征线一旦在 \(F=0\) 的超曲面上，就始终停留在上面。

  2. 柯西问题的提法：给定一个 \((n-1)\) 维的初始流形 \(\Gamma\)，由参数 \(t = (t_1, \dots, t_{n-1})\) 描述：

\[ x_i = x_i^0(t), \quad u = u^0(t) \]

我们需要在 \(\Gamma\) 上额外给定“切触元素”，即函数 \(p^0(t) = (p_1^0(t), \dots, p_n^0(t))\)，它们必须满足两个条件：

  • 切触条件 (Transversality Condition)：初始导数 \(p^0\) 与初始流形 \(\Gamma\) 相容。即，\(u^0(t)\) 对 \(t_k\) 的偏导数必须等于 \(\sum_i p_i^0 \frac{\partial x_i^0}{\partial t_k}\)。
  • 方程条件：在初始流形上，\(F(x^0(t), u^0(t), p^0(t)) = 0\)。
  1. 求解过程（特征带法）：
    a. 初始化：对于初始流形 \(\Gamma\) 上的每一点（由参数 \(t\) 标记），我们有一组初始数据 \((x^0(t), u^0(t), p^0(t))\)，满足上述两个条件。
    b. 求解特征ODE：对每个固定的 \(t\)，将上述初始数据在 \(s=0\) 时刻代入特征方程组，求解这个以 \(s\) 为自变量的常微分方程组。得到一组解，称为特征带 (Characteristic Strip)：

\[ x_i = X_i(s, t), \quad p_i = P_i(s, t), \quad u = U(s, t)。 \]

c. 恢复解 \(u(x)\)：从 \(x_i = X_i(s, t)\) 中，理论上我们可以反解出 \(s\) 和 \(t\) 作为 \(x\) 的函数：\(s = S(x), t = T(x)\)。则原PDE的解为 \(u(x) = U(S(x), T(x))\)。这要求雅可比行列式 \(\frac{\partial (X_1, \dots, X_n)}{\partial (s, t_1, \dots, t_{n-1})} \neq 0\)，保证了从 \((s, t)\) 到 \(x\) 的映射是局部可逆的。

第四步：一个经典例子——Eikonal方程

考虑方程 \(F(x, y, u, p, q) = p^2 + q^2 - 1 = 0\)，其中 \(p=u_x, q=u_y\)。这是一个完全非线性方程（关于 \(p, q\) 是二次的），在几何光学（描述波前）中称为Eikonal方程。

  1. 特征方程组：

\[ \begin{aligned} \frac{dx}{ds} &= F_p = 2p, \quad \frac{dy}{ds} = F_q = 2q, \\ \frac{dp}{ds} &= -F_x - pF_u = 0, \quad \frac{dq}{ds} = -F_y - qF_u = 0, \\ \frac{du}{ds} &= pF_p + qF_q = 2(p^2+q^2) = 2. \end{aligned} \]

  1. 求解特征带：从 \(dp/ds=0, dq/ds=0\) 知 \(p, q\) 为常数。设初始时为 \(p_0, q_0\)，且满足 \(p_0^2+q_0^2=1\)。
    于是，\(x = x_0 + 2p_0 s, \quad y = y_0 + 2q_0 s, \quad u = u_0 + 2s\)。

  2. 物理/几何解释：特征线 \((x(s), y(s))\) 是直线，方向由 \((p_0, q_0)\)（即初始梯度方向）决定，且沿着这条线，\(u\) 线性增长，增长率为2。这正对应于一束光线的路径，\(u\) 表示光程。解 \(u(x,y)\) 的等高线（\( u=\)常数）是“波前”，特征线是与之垂直的“光线”。这展示了完全非线性方程的特征线法与几何（如射线光学、哈密顿力学）的深刻联系。

第五步：与哈密顿-雅可比方程的联系

当方程 \(F=0\) 具有形式 \(\frac{\partial u}{\partial t} + H(t, x, \nabla_x u) = 0\) 时，它就是著名的哈密顿-雅可比方程。此时，令 \(p = \nabla_x u\)，特征方程组变为：

\[\frac{dx}{ds} = \nabla_p H, \quad \frac{dp}{ds} = -\nabla_x H, \quad \frac{du}{ds} = p \cdot \nabla_p H - H。 \]

这正是经典力学中的哈密顿正则方程（前两行）加上一个作用量 \(u\) 的演化方程。这揭示了特征线法是求解哈密顿-雅可比方程的经典工具，也体现了力学中“特征线”即“粒子轨迹”的对应关系。

总结：对于完全非线性一阶PDE，特征线法通过引入切触元素 \((x, u, p)\) 和推导切触哈密顿系统，将偏微分方程求解转化为求解一组常微分方程（特征带方程）。求解过程从满足切触条件和方程条件的初始流形出发，沿特征线“编织”出整个解曲面。这个方法不仅是一个强大的解析工具，也深刻揭示了非线性波动、几何光学和经典力学背后的统一几何结构。

数学物理方程中的特征线法（续）：完全非线性一阶偏微分方程 我们之前已讨论了特征线法在线性和拟线性一阶偏微分方程（PDEs）中的应用。现在，我们将其推广到最一般的形式： 完全非线性一阶偏微分方程 。这类方程的特点是，未知函数及其一阶偏导数以非线性的方式同时出现，这带来了新的几何结构和求解挑战。让我们循序渐进地理解它。 第一步：完全非线性方程的一般形式与几何视角 一个完全非线性一阶偏微分方程的标准形式为： \[ F(x_ 1, \dots, x_ n, u, p_ 1, \dots, p_ n) = 0 \] 其中，\( u = u(x_ 1, \dots, x_ n) \) 是未知函数，\( p_ i = \frac{\partial u}{\partial x_ i} \) 是其偏导数。函数 \( F \) 对其所有自变量是充分光滑的，并且 关于至少一个 \( p_ i \) 是非线性的 （否则就退化为拟线性方程）。 与拟线性情况（方程关于 \( p_ i \) 是线性的）不同，这里的核心几何对象不再是“方向场”，而是一个更复杂的几何结构： 切触元素 (Contact Element) ：在点 \( (x_ 1, \dots, x_ n, u) \) 处，一个切触元素由一组数 \( (p_ 1, \dots, p_ n) \) 给出，它定义了经过该点的一个可能的切平面。方程 \( F=0 \) 则是在 \( (2n+1) \) 维的“1-阶切触空间”（坐标为 \( (x, u, p) \)）中定义了一个 超曲面 （或称为“哈密顿-雅可比曲面”）。 几何问题 ：求解方程，就是在这个 \( (2n+1) \) 维空间中寻找一个 \( n \) 维子流形（即解曲面 \( u=u(x) \)），使得其在每一点的切平面都“接触”到由 \( F=0 \) 定义的超曲面。这比“方向”匹配要复杂，因为它要求整个切平面（由 \( p \) 描述）满足 \( F=0 \)。 第二步：推导特征方程组——切触哈密顿系统 为了构造这样的解曲面，我们需要找到一组特殊的曲线，即 特征曲线 ，它位于解曲面上，并携带了构建整个曲面所需的信息。推导过程基于全微分和相容性条件。 出发点 ：假设我们有一个解 \( u=u(x) \)。在其图像上，有 \( p_ i = u_ {x_ i} \)，且 \( F(x, u(x), p(x)) = 0 \)。 对 \( F \) 沿解曲面求全微分 ：将 \( F=0 \) 对每个坐标 \( x_ i \) 求导，利用链式法则： \[ \frac{dF}{dx_ i} = F_ {x_ i} + F_ u u_ {x_ i} + \sum_ {j=1}^{n} F_ {p_ j} \frac{\partial p_ j}{\partial x_ i} = 0 \] 由于 \( p_ j = u_ {x_ j} \)，我们有 \( \frac{\partial p_ j}{\partial x_ i} = u_ {x_ j x_ i} = u_ {x_ i x_ j} = \frac{\partial p_ i}{\partial x_ j} \)。这个对称性（施瓦兹定理）是关键。 构造对称的微分方程 ：为了利用上述对称性，我们考虑一个参数 \( s \)（特征参数），并 规定 \( x_ i \) 和 \( u \) 沿特征线随 \( s \) 变化的规律。我们希望导出一个关于 \( p_ i \) 的简单方程。为此，我们 定义 特征方向的演化方程为： \[ \frac{dx_ i}{ds} = F_ {p_ i}(x, u, p) \] \[ \frac{du}{ds} = \sum_ {j=1}^{n} p_ j F_ {p_ j}(x, u, p) \] 推导 \( p_ i \) 的演化方程 ：现在计算 \( p_ i \) 沿特征线的变化率 \( \frac{dp_ i}{ds} = \sum_ j \frac{\partial p_ i}{\partial x_ j} \frac{dx_ j}{ds} \)。代入 \( \frac{dx_ j}{ds} = F_ {p_ j} \) 得到 \( \sum_ j u_ {x_ i x_ j} F_ {p_ j} \)。另一方面，从步骤2中的全微分式子 \( F_ {x_ i} + F_ u p_ i + \sum_ j F_ {p_ j} u_ {x_ j x_ i} = 0 \)，我们可以解出 \( \sum_ j F_ {p_ j} u_ {x_ i x_ j} = -F_ {x_ i} - F_ u p_ i \)。 因此，我们得到： \[ \frac{dp_ i}{ds} = -F_ {x_ i}(x, u, p) - p_ i F_ u(x, u, p) \] 完整的特征方程组 ：将以上方程组合，我们得到 完全非线性一阶PDE的特征方程组 ，也称为 切触哈密顿系统 或 特征ODE系统 ： \[ \begin{aligned} \frac{dx_ i}{ds} &= F_ {p_ i}(x, u, p), \\ \frac{dp_ i}{ds} &= -F_ {x_ i}(x, u, p) - p_ i F_ u(x, u, p), \\ \frac{du}{ds} &= \sum_ {j=1}^{n} p_ j F_ {p_ j}(x, u, p). \end{aligned} \] 这是一个包含 \( 2n+1 \) 个未知函数 \( (x, p, u) \) 的 \( 2n+1 \) 个一阶常微分方程组。 第三步：特征线的性质与柯西问题 沿特征线 \( F \) 为常数 ：一个重要性质是，如果初始数据满足 \( F=0 \)，那么沿由此系统确定的特征曲线，函数 \( F \) 保持为常数（通常为0）。证明：计算 \( \frac{dF}{ds} = \sum F_ {x_ i} \frac{dx_ i}{ds} + F_ u \frac{du}{ds} + \sum F_ {p_ i} \frac{dp_ i}{ds} \)，代入特征方程组后，各项恰好相消，得到 \( \frac{dF}{ds} = 0 \)。这保证了特征线一旦在 \( F=0 \) 的超曲面上，就始终停留在上面。 柯西问题的提法 ：给定一个 \( (n-1) \) 维的初始流形 \( \Gamma \)，由参数 \( t = (t_ 1, \dots, t_ {n-1}) \) 描述： \[ x_ i = x_ i^0(t), \quad u = u^0(t) \] 我们需要在 \( \Gamma \) 上额外给定“切触元素”，即函数 \( p^0(t) = (p_ 1^0(t), \dots, p_ n^0(t)) \)，它们必须满足两个条件： 切触条件 (Transversality Condition) ：初始导数 \( p^0 \) 与初始流形 \( \Gamma \) 相容。即，\( u^0(t) \) 对 \( t_ k \) 的偏导数必须等于 \( \sum_ i p_ i^0 \frac{\partial x_ i^0}{\partial t_ k} \)。 方程条件 ：在初始流形上，\( F(x^0(t), u^0(t), p^0(t)) = 0 \)。 求解过程（特征带法） ： a. 初始化 ：对于初始流形 \( \Gamma \) 上的每一点（由参数 \( t \) 标记），我们有一组初始数据 \( (x^0(t), u^0(t), p^0(t)) \)，满足上述两个条件。 b. 求解特征ODE ：对每个固定的 \( t \)，将上述初始数据在 \( s=0 \) 时刻代入特征方程组，求解这个以 \( s \) 为自变量的常微分方程组。得到一组解，称为 特征带 (Characteristic Strip) ： \[ x_ i = X_ i(s, t), \quad p_ i = P_ i(s, t), \quad u = U(s, t)。 \] c. 恢复解 \( u(x) \) ：从 \( x_ i = X_ i(s, t) \) 中，理论上我们可以反解出 \( s \) 和 \( t \) 作为 \( x \) 的函数：\( s = S(x), t = T(x) \)。则原PDE的解为 \( u(x) = U(S(x), T(x)) \)。这要求雅可比行列式 \( \frac{\partial (X_ 1, \dots, X_ n)}{\partial (s, t_ 1, \dots, t_ {n-1})} \neq 0 \)，保证了从 \( (s, t) \) 到 \( x \) 的映射是局部可逆的。 第四步：一个经典例子——Eikonal方程 考虑方程 \( F(x, y, u, p, q) = p^2 + q^2 - 1 = 0 \)，其中 \( p=u_ x, q=u_ y \)。这是一个完全非线性方程（关于 \( p, q \) 是二次的），在几何光学（描述波前）中称为Eikonal方程。 特征方程组 ： \[ \begin{aligned} \frac{dx}{ds} &= F_ p = 2p, \quad \frac{dy}{ds} = F_ q = 2q, \\ \frac{dp}{ds} &= -F_ x - pF_ u = 0, \quad \frac{dq}{ds} = -F_ y - qF_ u = 0, \\ \frac{du}{ds} &= pF_ p + qF_ q = 2(p^2+q^2) = 2. \end{aligned} \] 求解特征带 ：从 \( dp/ds=0, dq/ds=0 \) 知 \( p, q \) 为常数。设初始时为 \( p_ 0, q_ 0 \)，且满足 \( p_ 0^2+q_ 0^2=1 \)。 于是，\( x = x_ 0 + 2p_ 0 s, \quad y = y_ 0 + 2q_ 0 s, \quad u = u_ 0 + 2s \)。 物理/几何解释 ：特征线 \( (x(s), y(s)) \) 是直线，方向由 \( (p_ 0, q_ 0) \)（即初始梯度方向）决定，且沿着这条线，\( u \) 线性增长，增长率为2。这正对应于一束光线的路径，\( u \) 表示光程。解 \( u(x,y) \) 的等高线（\( u=\)常数）是“波前”，特征线是与之垂直的“光线”。这展示了完全非线性方程的特征线法与几何（如射线光学、哈密顿力学）的深刻联系。 第五步：与哈密顿-雅可比方程的联系 当方程 \( F=0 \) 具有形式 \( \frac{\partial u}{\partial t} + H(t, x, \nabla_ x u) = 0 \) 时，它就是著名的 哈密顿-雅可比方程 。此时，令 \( p = \nabla_ x u \)，特征方程组变为： \[ \frac{dx}{ds} = \nabla_ p H, \quad \frac{dp}{ds} = -\nabla_ x H, \quad \frac{du}{ds} = p \cdot \nabla_ p H - H。 \] 这正是经典力学中的 哈密顿正则方程 （前两行）加上一个作用量 \( u \) 的演化方程。这揭示了特征线法是求解哈密顿-雅可比方程的经典工具，也体现了力学中“特征线”即“粒子轨迹”的对应关系。 总结 ：对于完全非线性一阶PDE，特征线法通过引入 切触元素 \( (x, u, p) \) 和推导 切触哈密顿系统 ，将偏微分方程求解转化为求解一组常微分方程（特征带方程）。求解过程从满足切触条件和方程条件的初始流形出发，沿特征线“编织”出整个解曲面。这个方法不仅是一个强大的解析工具，也深刻揭示了非线性波动、几何光学和经典力学背后的统一几何结构。