因此，**第二基本形式**为：

**高斯曲率的符号分布**是圆环面几何的核心特征：

圆环面的几何与微分几何性质 我将为您系统讲解 圆环面 （torus）的几何与微分几何知识。圆环面是一个简单而重要的曲面，在数学和工程中都有广泛应用。 1. 圆环面的基本定义与几何构造 圆环面，通常指 旋转环面 ，是一个由圆绕空间中一条与它共面的直线旋转一周所生成的曲面。 构造方法 ：在三维空间 \( \mathbb{R}^3 \) 中，考虑一个半径为 \( r \) 的圆（称为 母线圆 或 生成圆 ），其圆心位于 \( xOz \) 平面上距离 \( z \) 轴为 \( R \)（\( R > r > 0 \)）的点 \( (R, 0, 0) \) 处。让这个圆绕 \( z \) 轴旋转一周，得到的曲面就是圆环面。 关键参数 ： 大半径 \( R \) ：从旋转轴（\( z \) 轴）到母线圆中心的距离。 小半径 \( r \) ：母线圆的半径。 当 \( R > r \) 时，生成的是常见的 凸环面 ，像一个充了气的轮胎。 当 \( R = r \) 时，生成的是 脐环面 （horn torus），圆心轨迹恰好与母线圆相切。 当 \( R < r \) 时，生成的是 自交环面 （spindle torus），曲面会自交，形状像两个尖端相对的苹果。 2. 圆环面的参数方程 基于其旋转构造，我们可以方便地写出它的参数表示。 设参数： \( \theta \)（\( 0 \leq \theta < 2\pi \)）：描述母线圆上一点相对于其自身圆心的角度。 \( \phi \)（\( 0 \leq \phi < 2\pi \)）：描述母线圆绕 \( z \) 轴旋转的角度。 那么，圆环面上任意一点 \( P \) 的直角坐标 \( (x, y, z) \) 为： \[ \begin{aligned} x(\theta, \phi) &= (R + r\cos\theta) \cos\phi, \\ y(\theta, \phi) &= (R + r\cos\theta) \sin\phi, \\ z(\theta, \phi) &= r\sin\theta. \end{aligned} \] 这里，\( (R + r\cos\theta) \) 是点 \( P \) 到 \( z \) 轴的距离（柱坐标下的 \( \rho \) 坐标），\( r\sin\theta \) 是它的高度。 3. 圆环面的第一基本形式 第一基本形式描述了曲面上的度量（弧长、面积等）。 首先计算偏导数： \[ \begin{aligned} \mathbf{r} \theta &= \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta \cos\phi,\ -r\sin\theta \sin\phi,\ r\cos\theta), \\ \mathbf{r} \phi &= \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = (-(R + r\cos\theta)\sin\phi,\ (R + r\cos\theta)\cos\phi,\ 0). \end{aligned} \] 其中 \( \mathbf{r}(\theta, \phi) = (x(\theta, \phi),\ y(\theta, \phi),\ z(\theta, \phi)) \)。 计算系数： \[ \begin{aligned} E &= \mathbf{r} \theta \cdot \mathbf{r} \theta = r^2\sin^2\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi) + r^2\cos^2\theta = r^2, \\ F &= \mathbf{r} \theta \cdot \mathbf{r} \phi = r\sin\theta \cos\phi \cdot (-(R+r\cos\theta)\sin\phi) + \cdots = 0, \\ G &= \mathbf{r} \phi \cdot \mathbf{r} \phi = (R + r\cos\theta)^2 (\sin^2\phi+\cos^2\phi) = (R + r\cos\theta)^2. \end{aligned} \] 因此， 第一基本形式 为： \[ \mathrm{I} = ds^2 = E\ d\theta^2 + 2F\ d\theta d\phi + G\ d\phi^2 = r^2\ d\theta^2 + (R + r\cos\theta)^2\ d\phi^2. \] 关键观察：\( F=0 \) 意味着参数曲线 \( \theta = \text{常数} \)（纬线圆）和 \( \phi = \text{常数} \)（经线圆）是 相互正交 的。这里的 \( (\theta, \phi) \) 构成了一个 正交参数网 。 4. 圆环面的面积与体积 利用第一基本形式可以计算几何量。 表面积 ：曲面面积元为 \( dA = \sqrt{EG - F^2}\ d\theta d\phi = \sqrt{r^2(R+r\cos\theta)^2}\ d\theta d\phi = r(R+r\cos\theta)\ d\theta d\phi \)。 因此，总表面积为： \[ A = \int_ {0}^{2\pi} \int_ {0}^{2\pi} r(R+r\cos\theta)\ d\phi d\theta = \int_ {0}^{2\pi} 2\pi r (R+r\cos\theta)\ d\theta = 4\pi^2 R r. \] 这个结果 (\( 4\pi^2 R r \)) 有一个经典解释：等于母线圆周长 \( 2\pi r \) 乘以圆心轨迹（一个半径为 \( R \) 的圆）的周长 \( 2\pi R \)。 体积 （实体环的体积）：根据古尔丁定理（Pappus centroid theorem），体积等于母线圆的面积 \( \pi r^2 \) 乘以该圆圆心在旋转过程中所经过路径的长度 \( 2\pi R \)。 \[ V = (\pi r^2) \cdot (2\pi R) = 2\pi^2 R r^2. \] 5. 圆环面的第二基本形式与法向量 第二基本形式描述了曲面在空间中的弯曲程度。 单位法向量 ：由于参数曲线正交，单位法向量可以直接由两个切向量的叉积归一化得到： \[ \mathbf{N} = \frac{\mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi}{\|\mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi\|}. \] 计算可得：\( \mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi = ( -r(R+r\cos\theta)\cos\theta \cos\phi,\ -r(R+r\cos\theta)\cos\theta \sin\phi,\ -r(R+r\cos\theta)\sin\theta ) \)。 其模长为 \( \|\mathbf{r} \theta \times \mathbf{r} \phi\| = r(R+r\cos\theta) \)。 因此， \[ \mathbf{N}(\theta, \phi) = ( -\cos\theta \cos\phi,\ -\cos\theta \sin\phi,\ -\sin\theta ). \] 有趣的是，法向量只与 \( \theta \) 有关，与 \( R \) 无关。 第二基本形式系数 ： \[ \begin{aligned} L &= \mathbf{r} {\theta\theta} \cdot \mathbf{N} = (-r\cos\theta \cos\phi, -r\cos\theta \sin\phi, -r\sin\theta) \cdot \mathbf{N} = r, \\ M &= \mathbf{r} {\theta\phi} \cdot \mathbf{N} = (r\sin\theta \sin\phi, -r\sin\theta \cos\phi, 0) \cdot \mathbf{N} = 0, \\ N &= \mathbf{r}_ {\phi\phi} \cdot \mathbf{N} = (-(R+r\cos\theta)\cos\phi, -(R+r\cos\theta)\sin\phi, 0) \cdot \mathbf{N} = (R+r\cos\theta)\cos\theta. \end{aligned} \] 因此， 第二基本形式 为： \[ \mathrm{II} = L\ d\theta^2 + 2M\ d\theta d\phi + N\ d\phi^2 = r\ d\theta^2 + (R+r\cos\theta)\cos\theta\ d\phi^2. \] 6. 圆环面的主曲率、高斯曲率与平均曲率 现在我们利用第一、第二基本形式研究曲率。 主曲率 \( k_ 1, k_ 2 \) ：对于正交参数网 (\(F=M=0\))，主曲率就是法曲率沿参数曲线方向的极值，可以直接由公式给出： \[ k_ 1 = \frac{L}{E} = \frac{r}{r^2} = \frac{1}{r}, \quad \quad k_ 2 = \frac{N}{G} = \frac{(R+r\cos\theta)\cos\theta}{(R+r\cos\theta)^2} = \frac{\cos\theta}{R+r\cos\theta}. \] \( k_ 1 = 1/r \) 是常数，对应于沿 经线圆 （\(\phi\)=常数）方向的曲率。这很直观：经线圆就是半径为 \( r \) 的母线圆，其曲率当然是 \( 1/r \)。 \( k_ 2 \) 对应于沿 纬线圆 （\(\theta\)=常数）方向的曲率。纬线圆是一个半径为 \( \rho = R + r\cos\theta \) 的圆，其法曲率应为 \( \cos\alpha / \rho \)，其中 \( \alpha \) 是该圆所在平面与法向量的夹角。计算验证确实与 \( k_ 2 \) 公式一致。 高斯曲率 \( K \) ：定义为两个主曲率的乘积。 \[ K = k_ 1 k_ 2 = \left( \frac{1}{r} \right) \left( \frac{\cos\theta}{R+r\cos\theta} \right) = \frac{\cos\theta}{r(R+r\cos\theta)}. \] 高斯曲率的符号分布 是圆环面几何的核心特征： 在 外赤道 （\( \theta = 0 \)）上，\( \cos\theta = 1 > 0 \)，所以 \( K > 0 \)。曲面局部呈椭圆点（像碗口）。 在 内赤道 （\( \theta = \pi \)）上，\( \cos\theta = -1 < 0 \)，所以 \( K < 0 \)。曲面局部呈双曲点（像马鞍）。 在 两条平行圆 （\( \theta = \pi/2 \) 和 \( \theta = 3\pi/2 \)）上，\( \cos\theta = 0 \)，所以 \( K = 0 \)。这些是 抛物点 ，构成了椭圆区域和双曲区域的分界线。 平均曲率 \( H \) ：定义为两个主曲率的算术平均。 \[ H = \frac{k_ 1 + k_ 2}{2} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{r} + \frac{\cos\theta}{R+r\cos\theta} \right). \] 圆环面 不是 极小曲面（\( H \equiv 0 \)），除非退化成特殊情况。 7. 圆环面的拓扑与全局性质 拓扑类型 ：圆环面同胚于两个圆周的笛卡尔积 \( S^1 \times S^1 \)。它是一个紧致的、可定向的二维曲面。 亏格 ：圆环面的亏格为1，意味着它有一个“洞”。根据 高斯-博内定理 ，对于一个封闭曲面，高斯曲率在整个曲面上的积分等于 \( 2\pi \chi \)，其中 \( \chi \) 是欧拉示性数。对于环面，\( \chi = 0 \)。 我们可以验证： \[ \iint_ {\text{Torus}} K\ dA = \int_ {0}^{2\pi}\int_ {0}^{2\pi} \frac{\cos\theta}{r(R+r\cos\theta)} \cdot r(R+r\cos\theta)\ d\phi d\theta = \int_ {0}^{2\pi} \cos\theta\ d\theta \int_ {0}^{2\pi} d\phi = 0 \cdot 2\pi = 0. \] 这与 \( 2\pi \chi = 0 \) 完美吻合，是高斯-博内定理的一个经典例子。 测地线 ：圆环面上的测地线行为非常丰富。除了明显的经线圆和赤道（纬线圆）是测地线外，一般的测地线可以缠绕环面无数圈，其行为取决于初始方向，可能形成周期轨道，也可能在环面上稠密地分布（如无理斜率直线在环面上的投影）。 总结 圆环面是一个兼具简单构造与丰富数学内涵的曲面。我们从其旋转生成法出发，推导了参数方程、第一、第二基本形式，并计算了面积、体积等几何量。最重要的是，我们分析了其曲率性质，揭示了其表面同时存在正、负、零高斯曲率区域的独特现象，并通过高斯-博内定理将其局部曲率与全局拓扑（欧拉示性数为零）联系起来。这些性质使得圆环面成为学习经典微分几何和拓扑的一个标准范例。