费马大定理的证明历程 1. 问题背景：费马猜想的确立 费马大定理源于17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马。他在阅读丢番图《算术》时，在页边写下：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”用数学语言表述，即当整数 \(n > 2\) 时，方程 \(x^n + y^n = z^n\) 没有正整数解。这一断言后被称为“费马猜想”。 2. 早期尝试：n=3,4,5 的特殊情况 n=4 的证明 ：费马本人利用“无穷递降法”证明了 \(n=4\) 的情况，即方程 \(x^4 + y^4 = z^4\) 无正整数解。该方法通过构造更小的解来推导矛盾，成为后续研究的重要工具。 n=3 的突破 ：18世纪，欧拉借助虚数（如 \(\sqrt{-3}\)）证明了 \(n=3\) 的情况，但其证明存在漏洞，后经高斯等人补全。 19世纪的进展 ：数学家们逐步解决了 \(n=5, 7\) 等特定指数，但无法覆盖所有 \(n>2\) 的情况。 3. 理论奠基：代数数论与模形式的兴起 库默尔的贡献 ：19世纪中期，库默尔发现“唯一因子分解”在一般数域中不成立，从而引入“理想数”理论，并证明了正则质数（如 \(n=100\) 以内的多数质数）对应的费马猜想成立。 谷山-志村猜想 ：20世纪50年代，日本数学家谷山丰和志村五郎提出“椭圆曲线与模形式一一对应”的猜想。1980年代，弗雷提出：若费马猜想不成立（即存在反例），则可构造一条特殊的椭圆曲线（弗雷曲线），这条曲线无法模形式化。里贝特随后证明了这一关联，表明 若谷山-志村猜想成立，则费马大定理得证 。 4. 最终证明：怀尔斯的七年攻坚 突破性策略 ：英国数学家安德鲁·怀尔斯于1986年决定证明谷山-志村猜想的特殊情况（半稳定椭圆曲线），以攻克费马大定理。他采用伽罗瓦表示、岩泽理论等工具，将问题转化为计算塞尔默群。 关键转折 ：1993年，怀尔斯宣布证明，但评审发现一处漏洞。他与学生理查德·泰勒合作修正，引入“科利瓦金-弗莱切方法”，于1994年完成补证。 历史意义 ：证明过程推动了数学各领域的融合（如数论、代数几何），并彰显了现代数学的协作性。 5. 影响与延伸 费马大定理的证明不仅是数学问题的终结，更促进了模形式、椭圆曲线等理论在密码学（如RSA算法）和朗兰兹纲领中的广泛应用，体现了数学史中“猜想驱动理论发展”的典型模式。